Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh.. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển.. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho AI = AM.. Trên
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI (ĐẦU NĂM)
MÔN : TOÁN LỚP 8 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm): Tìm x biết: a) | x –
3
2
| <
3
1 b) – 3x = – 6561
c) (2x – 1)2008 = (2x – 1)2010
Bài 2 (2 điểm): a) Số tự nhiên có dạng A = 1+23 2009
là số nguyên tố hay hợp số? Giải
thích
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 2x2 + y2 +2xy – 8x + 2025
c) Tìm x, y, z biết : 10x2 + y2 + 4z2 + 6x – 4y – 4xz + 5 = 0
Bài 3 (1,5 điểm ): Một khối 8 có
3
2
số học sinh đội tuyển Toán bằng
4
3
số học sinh đội tuyển Anh và bằng
5
4
số học sinh đội tuyển Văn Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh Tính số học sinh của mỗi đội tuyển
Bài 4 (1,5 điểm): Cho x(m + n) = y(n + p) = z(p + m) trong đó x, y, z là các số khác
nhau và khác 0 ,chứng minh rằng:
) y x ( z
m p ) x z ( y
p n ) z y ( x
n m
−
−
=
−
−
=
−
−
Bài 5 (3điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là một điểm nằm giữa
Avà B Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho AI = AM
a) Chứng minh rằng : CM ⊥ BI
b) Trên BC lấy điểm P sao cho BP = 2CP Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC
có chứa điểm A, vẽ tia Px sao cho góc xPB bằng 600 Tia Px cắt tia CA tại D Tính số
đo góc CBD
Trang 2ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI
MÔN :TOÁN LỚP 8 Bài 1(2 điểm):
a) |
3
2
x− | <
3
1 ⇔
3
1
− <
3
2
x− <
3
1 ⇔
3
1
< x < 1 (0,5 điểm) b) – 3x = – 6561 hay: – 3x = – 38 ⇒ x = 8 (0,5 điểm)
c) (2x – 1)2008 = (2x – 1)2010 ⇔(2x – 1)2010 – (2x – 1)2008= 0
⇔ (2x – 1)2008 1– (2x–1)2 = 0
⇔ (2x – 1)2008(1– 2x + 1) (1+ 2x – 1) = 0 (0,5 điểm) ⇔2x – 1= 0 hoặc 2 –2x = 0 hoặc 2x = 0 (0,25 điểm)
⇔x =
2
1
; x = 1 ; x = 0 (0,25 điểm)
Bài 2(2 điểm):
a) 32009 3 nên có thể viết 32009 = 3n (n∈N)
⇒A = 1+23 2009
=13 +23n =13 +(2n)3 (0,25 điểm) =(1+2n) 1– 2n +(2n)2 ⇒ A là hợp số (0,25 điểm)
b) B = 2x2 + y2 +2xy – 8x + 2025
= x2 + 2xy + y2 + x2 – 8x + 16+ 2009
= (x + y)2 + (x – 4)2 + 2009 ≥ 2009 (0,25 điểm) Đẳng thức xảy ra ⇔x + y = 0 và x – 4 = 0⇔x = 4 ; y = – 4 (0,25 điểm)
Giá trị nhỏ nhất của B là 2009 ⇔x = 4 ; y = – 4 (0,25 điểm)
c) 10x2 + y2 + 4z2 + 6x – 4y – 4xz + 5 = 0
9x2 + 6x + 1+ y2– 4y + 4+ 4z2 – 4xz + x2 = 0
(3x + 1)2 + (y – 2)2 + (2z– x)2 = 0 (0,25 điểm)
Do đó : 3x + 1 = 0 và y – 2 = 0 và 2z – x = 0 (0,25 điểm)
⇔ x =
3
1
− ; y = 2; z =
6
1
− (0,25 điểm)
Bài 3 (1,5 điểm): Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh,Văn thứ tự là x, y, z
(x, y, z ∈ N) Ta có z
5
4 y 4
3 x 3
2
=
12
1 5
z 4 12
1 4
y 3 12
1 3
x 2
=
= (0,5điểm)
19
38 15
) 16 18 (
z ) y x ( 15
z 16
y 18
x
=
=
− +
− +
=
=
Tính đúng: x = 36; y = 32; z = 30 và kết luận (0,5điểm)
Bài 4(1,5 điểm ) : Vì xyz≠0 nên : x(m + n) = y(n + p) = z(p + m)
Trang 3⇒
xyz
) m p ( z xyz
) p n ( y xyz
) n m (
(0,25 điểm)
hay :
xy
m p xz
p n yz
n
m + = + = +
(0,25 điểm)
=
yz xz
) n m ( ) p n ( xy
yz
) m p ( ) n m ( xz
xy
) p n ( ) m p (
−
+
− +
=
−
+
− +
=
−
+
− +
(0,5điểm)
=
) y x ( z
m p ) x z ( y
p n ) z y ( x
n m
−
−
=
−
−
=
−
−
(0,5điểm)
Bài 5(3điểm):
Hình vẽ (0,25điểm) a)Tia IM cắt BC tại H (0,25điểm)
ABC
∆ vuông cân tại A nên C∧ =450 , ∆IAM vuông cân tại M nên I∧=450 (0,25điểm) IHC
∆ có C∧ + I∧= 90 0 ⇒ H∧ = 900 ⇒ IH ⊥ BC (0,25điểm) -Chứng minh được M là trực tâm của ∆IBC ⇒ CM ⊥ BI (0,5điểm)
b) Gọi E là điểm đối xứng với B qua PD ⇒ EP = PB = 2PC (0,25điểm)
⇒ ∆BPE cân tại P nên đường trung trực PD cũng là phân giác
⇒ BPD = DPE = 600 ⇒ EPC = 600 (0,25điểm)
- Chứng minh được ∆EPC vuông tại C (0,25điểm)
- Chứng minh được CD là phân giác của ∆PCE
- Chứng minh được ED là phân giác ngoài tại đỉnh E của ∆PCE (0,25điểm)
- Chứng minh được yEP = 1500 ⇒ DEP = 750 (0,25điểm)
- Chứng minh được PBD = 750 hay CBD = 750 (0,25điểm)
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó.
A
C H
M I
B
P
A
K
x
E