b Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị C vaứ trục hoành.. b Tỡm tọa độ trực tõm H của tam giỏc ABC.. Với giá trị nào của m thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 1 tạo với các trục
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010 Mụn: TOÁN - Khối 12 - Giỏo dục trung học phổ thụng
( Thời gian làm bài 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề )
*******
I PHẦN BẮT BUỘC (7,0 điểm )
Cõu 1 (3,0 điểm)
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
4 2 2
x
y x= − b) Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) vaứ trục hoành
Cõu 2 (2,5 điểm)
a) Tớnh cỏc tớch phõn:
1 ln
e
I=∫x xdx và
6
2 1
3
J = ∫x +x dx b) Giải phương trỡnh 2 5
0 2
x + + = trờn tập số phức x
Cõu 3 (1,5 điểm)
Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;-2;1) và mặt phẳng (α) cú phương trỡnh: 2x+2y-z+1=0
a) Viết phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm là A và tiếp xỳc với mặt phẳng (α)
b) Tỡm tọa độ hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A trờn đường thẳng ∆ cú phương trỡnh:
1 1
x− = −y= z
II PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thớ sinh chọn một trong hai phần (Phần A hoặc phần B)
1 Phần A theo chương trỡnh chuẩn:
Cõu 4A (1,0 điểm)
Tỡm nguyờn hàm F(x) của hàm số f(x) = xe biết rằng đồ thị (C) của hàm số y = F(x) đi qua giao x
điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =3- 2x
x
Cõu 5A (2,0 điểm)
Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho cỏc điểm A(1;2;1), B(2;-2;3) và BC (3;0; 2)uuur= − a) Viết phương trỡnh mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B và C
b) Tỡm tọa độ trực tõm H của tam giỏc ABC
2 Phần B theo chương trỡnh nõng cao:
Cõu 4B (1,0 điểm)
Cho hàm số
2
y
x 1
=
− (m là tham số) (1)
Với giá trị nào của m thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác
có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích)
Cõu 5B (2,0 điểm)
Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho cỏc điểm A(2;1;-1), B(1;-3;2) và BC ( 3;1;2)uuur= − a) Viết phương trỡnh mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B và C
b) Tỡm tọa độ tõm I của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC
-Hết -
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm
Họ và tờn thớ sinh: ……… Số bỏo danh: ………
Chữ ký của giỏm thị 1: ……… Chữ ký của giỏm thị 2: ………
C 2010-2011
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM CỦA ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 -2010
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
4 2 2
x
y x= −
TXĐ : D= ¡
xlim
2
y 0
x 0
2
=
⎡
=
BBT
-∞
-∞
1 2
+
-+
0 1
2
y
y /
x
0.5
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ −; 1) và (0;1)
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;0)− và (1;+∞)
CĐ 1;1
2
⎛− ⎞
⎝ ⎠và
1 1;
2
⎝ ⎠ ; CT ( )0;0
0.25
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ ( )0;0 ; (± 2;0)
= − = ⇔ = ± ⇒ = Điểm uốn ( 2 1; )
2 4
±
Đồ thi:
1 2
x y
0.5
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh
Gọi S là diện tích cần tìm ta cĩ:
Câu 1
3.0 đ
2 x4
∫
Trang 3
2
3 5 0
8 2
x x
a) Tính tích phân
1 ln
e
I =∫x xdx
Tính
1 ln
e
I=∫x xdx Đặt u lnx du 1dx
x
2 2
x
dv xdx= ⇒ =v
0.5
2 1 1
ln
e e
1
2
1( 1) 4
e
I
e
0.25
Tính
6
2 1
3
J = ∫x +x dx Đặt t= 3+x2 ⇒ = +t2 3 x2⇒2tdt=2xdx 0.25
x= ⇒ =1 t 2; x= 6⇒ = t 3
3
3 3 2
8 19 9
t
2
x + + = x
5
2
Δ = − = − ⇒ Δ có các căn bậc hai là : δ = ± 3 i 0.5
Câu 2
2.5đ
Vậy phương trình có hai nghiệm là: 1;2 1 3
2
i
0.25 a) Viết phương trình mặt cầu (S)
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (α) nên (S) có bán kính
( ;( ))
Câu 3
1.5đ
Vậy (S):( 1)2 ( 2)2 ( 1)2 4
9
Trang 4b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆ có
phương trình: 1 1
x− = −y= z
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với ∆ ⇒ (P) nhận uuurΔ(2; 1; 2)−
làm VTPT do đó PTTQ của (P) là 2(x-1)-(y+2)+2(z-1)=0
⇔2x y− +2z− = 6 0
0.25 0.25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆ ta có tọa độ
H là nghiệm của hệ phương trình:
5 9
9
10 9
t
x
z t
y
x y z
z
⎧ =
⎪
⎪
= +
⎪ =
⎩ Vậy: (19 4 10; ; )
9 9 9
Tính ∫xe dx x Đặt u x x du dx x
dv e dx v e
( )
xe dx xe= − e dx xe= − + ⇒e C F x =xe − +e C
3 - 2x
x
x→±∞ = − ⇒ Tiệm cận ngang là: y = -2
0
3 - 2x lim
x
x→± = ±∞ ⇒ Tiệm cận đứng x = 0
Giao điểm của hai đường tiệm cận là (0; 2)I −
0.25
Câu 4A
1đ
I∈ C ⇔ − + = − ⇔ = −C C
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C
BC (3;0; 2)uuur= − , AB (1; 4;2)uuur = − ⎡⎣BC, ABuuur uuur⎤ = − − −⎦ ( 8; 8; 12), (2; 2;3)nr tacó
, BC, AB
Mặt phẳng (α) nhận nr làm VTPT và đi qua điểm A do đó PTTQ của mặt
phẳng (α) là: 2(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0 ⇔2x+2y+3z− = 9 0 0.25 b) Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC
H là trực tâm của tam giác ABC cho nên AH⊥BC⇔uuur uuurAH BC =0,
CH⊥ AB⇔CH ABuuur uuur= và H thuộc mặt phẳng (α)
0.25
BC OC OBuuur uuur uuur= − ⇔OC OB BCuuur=uuur uuur+ ⇒OC (5; 2;1)uuur = − ⇒C(5; 2;1)− 0.25
Câu 5A
2đ
AH BC= ⇔ x− − z− = ⇔ x− z− =
uuur uuur
Trang 5Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trỡnh:
x z
⎧
⎪ − + − =
⎨
⎪ + + − =
⎩ 37
17 31 17 47 17
x y
z
⎧ =
⎪
⎪
⎪
⇔⎨ = −
⎪
⎪ =
⎪⎩
Vậy (37; 31 47; )
17 17 17
Cho hàm số
2
x 1
=
− (m là tham số) (1) 2
* Khi m = 0 đồ thị hàm số suy biến thành đường thẳng do đú nú khụng cú
* Khi m≠ lim0 0
1
x
m x
− Tiệm cận xiờn của đồ thị hàm số
Gọi S diện tích tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1) và cỏc trục tọa
Cõu 4B
1đ
2
2
1
2
a) Viết phương trỡnh mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C
BC ( 3;1; 2)uuur= − , AB ( 1; 4;3)uuur= − − n ⎡r =⎣BC, ABuuur uuur⎤⎦=(11;7;13) 0.5
Mặt phẳng (α) nhận nr làm VTPT và đi qua điểm A do đú PTTQ của mặt
phẳng (α) là: 11(x-2)+7(y-1)+13(z+1)=0 ⇔11x+7y+13z−16 0= 0.25
b) Tỡm tọa độ tõm đường trũn ngoại tiếp của ∆ABC
Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc ABC ta cú I cỏch đều A, B,
C và I thuộc mặt phẳng (α) do đú I thuộc cỏc mặt phẳng trung trực của AB,
BC và mặt phẳng (α)
0.25
PTTQ của mặt phẳng trung trực của AB là: -x - 4y + 3z -4 = 0 0.25
Cõu 5B
2đ
BC OC OBuuur uuur uuur= − ⇔OC OB BCuuur=uuur uuur+ ⇒OC ( 2; 2; 4)uuur = − − ⇒C( 2; 2; 4)− − 0.25
Trang 6PTTQ của mặt phẳng trung trực của BC là: -3x + y + 2z -5 = 0 0.25
Suy ra tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
x y z
⎧
⎪− − + − =
⎨
⎪− + + − =
⎩
185 339 98 339 521 339
x
y z
⎧ = −
⎪
⎪
⎪
⇔⎨ =
⎪
⎪ =
⎪⎩
Vậy ( 185 98 521; ; )
339 339 339
Nếu học sinh làm bài không theo hướng dẫn chấm nhưng đúng vẫn cho đủ điểm theo từng câu
- HẾT -