De tai lagrang

Đối với chơng trình Toán trung học phổ thông nói chung và chơng trình Toán lớp 12 nói riêng, để vận dụng hớng dẫn học sinh áp dụng đợc các phơng pháp vào làm các bài tập là một nhiệm vụ

Lời nói đầu

Trong quá trình giảng dạy và giáo dục, đổi mới phơng pháp dạy học nâng cao chất lợng dạy và học là nhiệm vụ chung của toàn ngành Đối với chơng trình Toán trung học phổ thông nói chung và chơng trình Toán lớp 12 nói riêng, để vận dụng hớng dẫn học sinh áp dụng đợc các phơng pháp vào làm các bài tập là một nhiệm vụ quan trọng đối với từng giáo viên, không phải giáo viên nào cũng làm đợc

Nội dung đề tài ‘‘Hớng dẫn học sinh vận dụng địng lý Lagrange để

giải phơng trình vô tỷ ’’ Đợc viết nhằm cho giáo viên có một tài liệu

ph-ơng pháp tham khảo bổ trợ với các giáo trình tham khảo khác

Trong mỗi phần tơng ứng đều có nội dung lý thuyết và các ví dụ cụ thể Nội dung đề tài gồm ba phần chính

Phần I : Những vấn đề chung

Phần II : Nội dung đề tài

Phần III: Kết luận chung

Lần đầu tiên tìm hiểu và nghiên cứu đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp phê bình của các thầy cô giáo và bạn đọc để đề tài hoàn thiện hơn

Ngời thực hiện

Sầm Vũ Nam Phần I

những vấn đề chung

I - Đặt vấn đề:

Đặc trng cơ bản của việc dạy học bộ môn toán trong trờng Trung học phổ thông theo đặc thù riêng của bộ môn gần nh đã đợc thống nhất trong

quan niệm của những ngời thầy giáo làm nhiệm vụ giảng dạy bộ môn toán trong trờng Trung học phổ thông theo tôi đó là:

1- Phải rèn luyện cho học sinh tự xây dựng cho mình một khả năng t duy và phơng pháp suy luận khi học toán và giải toán

2- Phải rèn luyện cho học sinh tự thực hiện các kỹ thuật giải toán: Bao gồm kỹ thuật tính toán, kỹ thuật thực hiện các phép biến đổi và suy luận

Tuy nhiên, để giải quyết đợc hai nội dung trên trong quá trình làm nghề dạy toán thì không phải là đơn giản Nó đòi hỏi phải có những

ph-ơng pháp dạy học, mà nói đén phph-ơng pháp dạy học toán là nói đến kiến thức toán học ( hai mặt của một vấn đề ) có quan hệ mật thiết, hữu cơ với nhau Trên thực tế một giáo viên muốn có một phơng pháp dạy toán tốt trớc hết cần

có lợng vốn kiến thức chắc chắn Có nh vậy, mới xác định đợc trọng tâm của bài

Mặt khác, trong tiết dạy toán mỗi bài toán bản thân nó đã là một tình huống có vấn đề Việc học sinh suy nghĩ, tìm tòi lời giải chính là việc phát huy tính năng động cho học sinh Tạo cơ hội cho tìm ra hớng giải quyết

đúng, độc lập giải toán chính là khâu cá biệt hoá, phát huy tính sáng tạo của học trò

Với nhận thức nh vậy, trong các năm qua tôi đã cố gắng tìm tòi, sáng tạo cho mình một số phơng pháp Hớng dẫn học sinh vận dụng địng lý Lagrange để giải phơng trình vô tỷ nhằm giúp học sinh đỡ vất vả hơn với môn toán lớp 12

Đề tài là sự đúc kết, tổng hợp chọn lọc những kinh nghiệm sáng kiến về một số cách giải khi áp dụng đinh lý Lagrange, thể hiện tâm huyết với nghề, với sự nghiệp giáo dục nớc nhà

II - Mục tiêu, phạm vi, đối tợng:

1- Mục tiêu của đề tài:

` Tìm ra các phơng pháp dạy học giải toán phơng trình vô tỷ có hiệu quả, giúp học sinh đỡ khó khăn, vất vả hơn khi học toán

Đề tài tập trung vào hai phần chính:

a) Dạy học một tiết toán ( hớng dẫn tìm hiểu bài toán, thực hiện lời giải)

b) Cách áp dụng dụng đinh lý Lagrange

2- Phạm vi đề tài:

- Tìm tòi nghiên cứu thực hiện, áp dụng trực tiếp vào các lớp đợc phân công giảng dạy

- Tìm hiểu những khó khăn, vớng mắc của học sinh khi học môn toán nói chung và phần giải phơng trình vô tỷ nói riêng

- Tìm ra những nguyên nhân, giải quyết và khắc phục

- Dạy học kết hợp ôn luyện, kiểm tra kiến thức toán học thành công cụ giải toán Giúp học sinh hoàn thiện và bổ sung kiến thức

3 - Đối tợng đề tài:

- Thực hiện, áp dụng, triển khai trên tất cả các lớp khối 12 trờng Trung học phổ thông Phù Yên - Sơn La

Phần II

Nội dung đề tài I- Thực trạng tình hình:

Qua nhiều năm công tác giảng dạy ở bậc Trung học phổ thông qua nhiều học sinh từ yếu đến trung bình, khá và giỏi tôi nhận thấy nh sau:

- Các học sinh từ trung bình trở lên cũng gặp những khó khăn, vất vả, cha định hình đợc cách giải một cách khoa học, tối u

- Khả năng liên hệ tìm các yếu tố liên quan mới đạt mức độ trung bình

- Học sinh rất ngại khi gặp những bài toán cồng kềnh, khó

Chính vì những lẽ đó mà khi làm bài kiểm tra, bài thi dù rất cần cù, chịu khó song hiệu quả cha cao

II- Biện pháp tác động:

- Nghiên cứu các lý thuyết toán học, giáo học pháp áp dụng vào thực tế

- Tìm hiểu những nỗi lo của học sinh khi học toán

- Khắc phục vừa dạy mà ôn luyện kiểm tra để học sinh tự đánh giá khả năng nhận thức lĩnh hội kiến thức của mình, còn giáo viên giảng dạy tìm ra phơng pháp dạy học tối u

- Hệ thống hoá kiến thức, mở rộng nâng cao, xây dựng kiến thức thành một công cụ dạy học, nâng kiến thức thành phơng pháp giải toán

III- Nội dung triển khai:

1- Dạy học một tiết toán: (Hớng dẫn tìm hiểu bài toán, thực hiện lời giải, khai thác mở rộng bài toán)

Phơng pháp dạy học toán là phơng pháp truyền thụ kiến thức toná học, phơng pháp giải toán cho học sinh trong suốt quá trình dạy học môn toán, song nó lại đợc thể hiện ở mỗi tiết dạy

Hớng dẫn học sinh phân tích bài toán để nhằm vào mục đích tìm ra

ph-ơng hớng giải bài toán Đây là khâu khó khăn nhất cho mỗi học sinh khi phải giải quyết một bài toán, bởi vì:

- Dù có kỹ thuật thành thạo trong việc thực hiện các thao tác biến đổi, thực hiện các phép tính, có thuộc hết các định lý, công thức, song không thể dùng đợc khi cha có phơng hớng giải bài toán

- Học sinh đợc rèn luyện khả năng phân tích bài toán chính là phơng pháp biện chứng nhất, rèn cho học sinh khả năng làm việc độc lập và sáng tạo qua việc học toán

Vì đặc thù của mỗi tiết dạy khác nhau do đó cần có những biện pháp khác nhau Tuỳ theo thể loại bài toán mà có thể có một số biện pháp khác nhau

2 - Chuẩn bị cho một tiết dạy:

Đây là một công việc đòi hỏi công phu rất lớn, với những giáo viên có thâm niên trong nghề, vững kiến thúc có thể sẵn sàng lên lớp không cần chuẩn bị, nhng chuẩn bị ở đây là chuẩn bị nhiều mặt khác nhau

a) Trớc hết xác định đơn vị biểu thức, trọng tâm biểu thức phù hợp tùng

đối tợng học sinh

Mỗi bài toán đa ra giáo viên có thể dễ ràng giải đợc, giảng đợc cho học sinh nhng cần phải cho học sinh thấy đợc tại sao lại chọn cách giải, h-ớng giải quyết nh thế Đó chính là nguồn gốc của phơng pháp giải toán, là

đơn vị lý thuyết cần có để giải bài toán, từ đó giải đợc các lớp bài toán dạng toán nh vậy và các bài tập khó hơn

Mỗi tiết dạy giáo viên xác định đợc dạy cái gì là căn bản, không thể để học sinh tự đọc ở nhà mà phải khắc sâu ngay tại lớp vận dụng vào làm các bài tập Tuỳ nhiều mức độ tiếp thu đợc mà còn phụ thuộc vào đối tợng học sinh

b) Giáo viên chuẩn bị đợc kế hoạch của giờ dạy, bố trí đợc thời gian thích hợp cho tùng phần Phần nào của thầy phần nào dành riêng cho trò

Mỗi bài toán bản thân nó là một tình huống có vấn đề phải đợc học sinh giải quyết vấn đề đó một cách độc lập chính là mục đích của phơng pháp dạy học hiện đại, giáo viên phải tạo cơ hội cho học sinh bằng cách làm

rõ cho học sinh thấy đợc sự gắn kết giũa lý thuyết và bài tập Mối quan hệ

đó có thể gần có thể xa, tuỳ theo học lực đối tợng học sinh khác nhau

c) Giáo viên chuẩn bị một phần mẫu cho tiết dạy đó là thời gian dự trữ

và ví dụ dự trữ Thời gian dự trữ là thời gian dành cho các bài tập đề nghị, các vấn đề học sinh yêu cầu giải quyết Các ví dụ dự trữ là những ví dụ ngoài các

ví dụ chính của tiết dạyHSHHHHhhHHổuit3tg43iotp4

, bao gồm cả ví dụ rèn luyện kỹ năng lẫn các ví dụ về nâng cao thăm dò tính sáng tạo phát triển của học trò Thời gian dự trữ còn dành cho cả việc gặp những câu hỏi, câu đề nghị của học sinh Nếu phần thời gian dự trữ dùng hết

ít thì phần còn lại dành cho những ví dụ dự trữ

3- Thực hành trên lớp:

Trong xu thế dạy học hiện đại về mặt hình thức không thấy các đề kiểm tra đề thi toán nào động chạm đến câu hỏi lý thuyết mà thấy toàn bài tập Học sinh ham học toán rất dễ lao vào giải bài tập mà không chú ý đến lý thuyết Vì vậy, ở mỗi tiết dạy giáo viên cần phải chú trọng quan tâm đến giảng lý thuyết một cách sâu sắc, cung cấp đủ lợng kiến thức lý thuyết để giải các bài tập đó ở mỗi phần lý thuyết giáo viên phải tóm tắt thành cơ sở, thành vũ khí phơng tiện để giải toán và học sinh phải biết khi nào thì sử dụng nó

4- Sử dụng phơng pháp áp dụng định lý Lagrange:

4.1 Định lý Lagrange :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [ ]a b ; và f(x) tồn tại trên (a; b) thì luôn tồn tại c∈( a; b) sao cho ' ( ) ( )

( ) f b f a

f c

a b

−

=

−

Từ đó ta có thể sử dụng định lý Lagrange để thực hiện hai yêu cầu đặt

ra cho phơng trình Lagrange

Dạng 1:

Chứng minh phơng trình có nghịêm, dựa trên đánh giá:

Từ định lý Lagrange, nếu f(a) = f(b) thì ∃ ∈c (a b; ) sao cho

( ) f b f a

f c

b a

−

=

− = 0

⇔phơng trình f’(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b)

Vậy để áp dụng đợc kết quả trên vào việc chứng minh phơng trình f(x) = 0 có nghiệm trong ( a; b) điều quan trọng la nhận ra đợc hàm F(x) ( thực chất là nguyên hàm của hàm f(x) ) Cụ thể ta thực hiên các bớc sau

B

ớc 1:

Xác định hàm số F(x) khảvi và liên tục trên [ a; b] và thỏa mãn i) F’(x) = f(x) tức là F(x) = ∫ f x dx( )

ii) F(b) - F(a) = 0

B

ớc 2:

Khi đó ∃ ∈ x0 ( a; b) sao cho '

0

( ) ( ) ( ) F b F a ( ) 0c

b a

−

−

⇔ phơng trình f(x) = 0 có nghiệm x 0 ∈( a; b)

Dạng 2:

Giải phơng trình mũ, bằng việc ta thực việc các bớc sau:

B

ớc 1:

Gọi α là nghiệm của phơng trình.

B

ớc 2:

Biến đổi phơng trình về dạng thích hợp f(a) = f(b), từ đó chỉ ra

đợc hàm số F(x) khả vi và liên tục trên [ a; b]

Khi đó theo định lý Lagrange ∃∈c (a b; ) sao cho

' ( ) ( )

f c

−

− ( *)

Bớc 3: Giải ( *) ta xác định đợc α

Bớc 4 : Thử lại

4.2 Ví dụ minh họa:

4 2.1 Ví dụ 1:

Chứng tỏ rằng với : a + 3b= 27 thì phơng trình

luôn có ít nhất một nghiệm dơng

Giải:

Biến đổi phơng trình về dạng

Xét hàm số F x( )=a x+ −1 3x2 +bx khả vi và liên tục trên (0;+∞)

a

x

+ ( ii) F(3) – F(0) = ( 2a – 27 + 3b ) – a = a + 3b – 27 = 0

Khi đó ∃ ∈x0 ( ) 0;3 sao cho

' 0

0

(3) (0)

3 0 2 1

x

−

Tức là phơng trình ( 1) luôn có ít nhất một nghiệm x0∈( )0;3

4 2 2 Ví dụ 2:

Chứng tỏ rằng với : a + b – c = 0

Phơng trình a 3x+ +1 3b x =4cx x x(3 +1) ( 2) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc ( 0; 1)

Giải:

Biến đổi phơng trình về dạng

Xét hàm số F x( )=a x b+ 3x+ −1 cx2 khả vi và liên tục trên ( )0;1 và

+ ( ii) F(1) – F(0) = ( a + 2b – c ) – b = a + b – c = 0 ( * )

Khi đó ∃ ∈x0 ( )0;1 sao cho

'

(1) (0) 3

1 0 2 2 3 1

−

Tức là phơng trình ( 2 ) luôn có ít nhất một nghiệm x0∈( )0;1

4.2.3 Ví dụ 3:

Giải phơng trình 3 x + 5 x = 2.4 x ( 3)

Giải:

Đặt u = x , điều kiện u ≥ 0

Phơng trình có dới dạng: 3 5 2.4u+ =u u ⇔ 5 4u − = −u 4 3u u ( 4 )

Giả sử phơng trình có nghiệm α , khi đó 3 4 4 3α − = −α α α

Xét hàm số f t( )= +(t 1)α −tα, với t > 0

Từ ( 4 ) ta nhận đợc f(4) = f(3), do đó theo định lý Lagrange tồn tại

( )4;3

f c = ⇔α c+ α− −cα− =

Thử lại ta thấy u = 0 và u = 1 đều thỏa mãn, khi đó

0

1

u

u

=



 =

1

x x



=

 ⇔

0 1

x x

=



 =



Vậy phơng trình ( 3) có nghiệm x = 0 và x = 1

Phần III

kết luận chung

1) Nhận xét chung:

- Toàn bộ đề tài khoa học trên là kết quả điều tra cơ bản tình hình dạy

và học của giáo viên và học sinh trờng trung học phổ thông Phù yên – Sơn

La năm học 2005 – 2006

- Nắm bắt đợc một số vớng mắc trong quá trình nhận thức tiếp thu của học sinh, cũng nh phơng pháp vận dụng giảng dạy của giáo viên và với mong muốn hy vọng kết quả học tập của học sinh đạt kết quả cao hơn trong những năm tiếp theo Qua đó tìm ra một số nguyên nhân để khắc phục những vớng mắc và tìm ra những phơng pháp dạy học hay, thiết thực nhằm nâng cao chất lợng giáo dục, trong các năm học tiếp theo

Đề tài sáng kiến, kinh nghiệm này đợc rút ra trong quá trình giảng dạy các lớp với nhiều loại đối tợng học sinh khác nhau

Đề tài trên là kết quả nghiên cứu, phản ánh quá trình dạy và học của giáo viên và học sinh lớp 12 trờng Trung học phổ thông Phù Yên - Sơn La trong năm học 2005 – 2006

2) Kiến nghi đề xuất:

Để vận dụng đợc các phơng pháp tính tích phân có hiệu quả trong quá trình giảng dạy tôi có một số ý kiến đề suất nh sau:

a) Về phía giáo viên:

Chuẩn bị chu đáo cho một tiết dạy, đặc biệt là về các kiến thức có liên quan

Trong mỗi bài tập cần phân tích đợc bản chất của mỗi dạng toán khi nào áp dụng địng lý Lagrange

Phải lấy học sinh làm trung tâm để phát huy tính tích cực của học sinh

Trong quá trình làm bài cần định hớng rõ ràng và cần tìm ra phơng pháp giải tối u

b ) Về phía học sinh:

Nắm vững các kiến thức về phơng trình

Nắm chắc đợc cách tính đạo hàm, nguyên hàm, khi vận dụng cần biết bài tập nào thì áp dụng 1, bài nào thì áp dụng dạng 2

Cần phân biệt và định hớng đợc rõ ràng từng dạng để từ đó tìm ra cách giải hay và ngắn

Cần có thời gian thích đáng cho mỗi bài tập

3 Hớng nghiên cứu tiếp:

Qua một năm áp dụng và thể hiện đề tài này bản thân tôi nhận thấy, chất lợng học sinh đã đợc nâng cao một cách rõ rệt, cùng với việc áp dụng và thể nghiệm đề tài này tôi nhận thấy việc ‘’Hớng dẫn học sinh vận dụng định

lý Lagrange đê giải phơng trình vô tỷ ‘’ trong chơng trình toán lớp 12 là một

quá trình lâu dài cần có thời gian để thực nghiệm và rút kinh nghiệm, không thể một sớm một chiều đợc Với kết quả bớc đầu nh vậy cũng là một điều

đáng mừng, song không thể dừng lại mà cần phải tiếp tục nghiên cứu vào những năm tới Đó cũng là hớng nghiên cứu tiếp của đề tài trong những năm sau

Trên đây là toàn bộ nội dung đề tài ‘‘H ớng dẫn học sinh vận dụng

định lý Lagrange đê giải phơng trình vô tỷ ’’.

Mục lục

Phần I: Những vấn đề chung Trang 03

I Đặt vấn đề

Mục tiêu phạm vi đối tợng

Trang 03 Trang 04

Phần II: Nội dung đề tài

I. Thực trạng tình hình

II Biện pháp tác động

III.Nội dung triển khai

IVSử dụng phơng pháp áp dung đinh lý Lagrange

Trang 06 Trang 06 Trang 06 Trang 06 Trang 09

PhÇn III: K Õt luËn chung

I Nh©n xÐt chung

II §Ò xuÊt kiÕn nghÞ

III.Híng nghiªn cøu tiÕp

Môc lôc

Trang 13 Trang 13 Trang 13 Trang 14 Trang 16