Bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học

Muốn làm đợc các bài toán về dãy số ta cần phải nắm đợc các kiến thức sau: Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một sốchẵn… Vì vậy, nếu: Dãy số bắ

CHUYấN ĐỀ “DÃY SỐ”

Kế hoạch bồi dỡng gồm 7 buổi; mỗi buổi 2 tiết

Buổi 1: Tiết 1: Cung cấp kiến thức về dãy số

Xác định quy luật của dãy số

Tiết 2: Dạng 1: Điền thêm số vào sau, giữa hoặc trớc một dãy số

Buổi 2: Tiết 1: Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không

Buổi 5: Luyện tập chung (2 tiết)

Buổi 6: Tiết 1: Kiểm tra 40 phút

Tiết 2: Chữa bài

Buổi 7: Trả bài kiểm tra, nhận xét bài làm của học sinh

- Ra bài tập tự luyện

1 Muốn làm đợc các bài toán về dãy số ta cần phải nắm đợc các kiến thức sau:

Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một sốchẵn… Vì vậy, nếu:

Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lợng các số lẻ bằng số lợng các sốchẵn

b Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lợng các số trong dãy

số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trớc số đầu tiên

2 Các bài toán về dãy số có thể phân ra các nhóm sau:

3 Cách giải các dạng toán về dãy số:

Dạng 1: Điền thêm số vào sau, giữa hoặc trớc một dãy số

Trớc hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:

+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) bằng số đứng trớc nó cộng(hoặc trừ) với một số tự nhiên a.+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) bằng số đứng trớc nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên qkhác 0

+ Mỗi số (kể từ số thứ 3) bằng tổng 2 số đứng trớc nó

+ Mỗi số (kể từ số thứ 4) bằng tổng của số đứng trớc nó cộng với số tự nhiên d rồicộng với số thứ tự của số ấy

+ Số đứng sau bằng số đứng trớc nhân với số thứ tự

+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trớc

+ Mỗi số (kể từ số thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trớc trừ đi 1

Vậy dãy số đợc viết đầy đủ là: 1; 2; 3; 5; 8; 13; 34; 55; 89; 144…

2 Viết tiếp 3 số vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27

Ta nhận thấy: 8 = 1 + 3 + 4 27 = 4+ 8 + 15

15 = 3 + 4 + 8

Từ đó ta rút ra đợc quy luật của dãy số là: Mỗi số (kể từ số thứ 2) bằng tổng của ba số

đứng trớc nó

Viết tiếp ba số, ta đợc dãy số sau: 1; 3; 4; 8; 15; 27; 50; 92; 169

3 Tìm số đầu tiên của các dãy số sau :

a… ; … ; 32 ; 64 ; 128 ; 25 ; 512 ; 1024 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số

b ; ; 44 ; 5 ; 66 ; 77 ; 88 ; 99 ; 110 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số

Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số đầu tiên là: mỗi số của dãy số gấp đôi sốđứng liền trớc đó.

Vậy số đầu tiên của dãy là: 1 ì 2 = 2

Vậy số đầu tiên của dãy là : 1 ì 11 = 11

4 Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau :

Dãy số còn thiếu hai số là: 68 và 203 ; 1823

5 Lúc 7giờ sáng, một ngời đi từ A đến B và một ngời đi từ B đến A ; cả hai cùng đi

đến đích của mình lúc 2giờ chiều Vì đờng đi khó dần từ A đến B ; nên ngời đi từ A, giờ

đầu đi đợc 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km Ngời đi từ B giờ cuối cùng đi đợc15km, cứ mỗi giờ trớc đó lại giảm 1km Tính quãng đờng AB

*) Giải:

2 giờ chiều là 14 giờ trong ngày

2 ngời đi đến đích của mình trong số giờ là:

Dãy số kể tiếp thêm 5 số nào?

Số nào suy nghĩ thấp cao?

Đố em đố bạn làm sao kể liền?

Lưu ý dạng1: Trong bài toán về dãy số thờng ngời ta khụng cho biết cả dãy số (vì dãy

số có nhiều số không thể viết ra hết đợc) vì vậy, phải tìm ra đợc quy luật của dãy mới tìm

đợc các số mà dãy số không cho biết Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy sốkhông cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật

Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không?

- Xác định quy luật của dãy;

- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không?

Ví dụ:

1 Cho dãy số: 2; 4; 6; 8;…

a Nêu quy luật viết dãy số?

b Số 93 có thuộc dãy trên không? Vì sao?

b Ta nhận thấy các số trong dãy là số chẵn, mà số 93 là số lẻ, nên số 93 không phải

là số thuộc dãy trên

2 Cho dãy số: 2; 5;8 ;11;14; 17;……

Viết tiếp 3 số vào dãy số trên?

Số 2000 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?

*) Giải:

Ta thấy: 8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; ………

Dãy số trên đợc viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số bằng số đứngliền trớc nó cộng với 3.(Dãy cách đều 3 đơn vị, số đầu tiên của dãy là 2) Vậy 3 số tiếptheo của dãy số là: 20, 23, 26

* Số 2000 thuộc dãy số trên Vì (2000 – 2 ): 3

3 Em hãy cho biết:

a Các số 60; 483 có thuộc dãy 80; 85; 90;…… hay không?

b Số 2002 có thuộc dãy 2; 5; 8 ; 11;…… hay không?

c Số nào trong các số 798; 1000; 9999 có thuộc dãy 3; 6; 12; 24;…… giải thích tạisao?

*) Giải:

a Cả 2 số 60; 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:

- Các số của dãy đã cho đều lớn hơn 60

- Các số của dãy đã cho đều chia hết cho5,mà 483 không chia hết cho5

b Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số của dãy khi chia cho 3 đều d 2, mà

2002 chia 3 thì d 1

c Cả 3 số 798; 1000; 9999 đều không thuộc dãy 3; 6; 12; 24;… vì:

* Mỗi số của dãy (kể từ số thứ 2) bằng số liền trớc nhân với 2 hoặc quy luật là :

- Các số của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3

- Các số của dãy (kể từ số thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ

4 Cho dãy số: 1996; 1993; 1990; 1997;…; 55; 52; 49.

Các số sau đây có phải là số của dãy không?

100; 123; 456; 789; 1900; 1995; 1999?

*) Giải:

Nhận xét: Đây là dãy số cách đều 3 đơn vị.Và số có giá trị bé nhất trong dãy chia cho

3 d 1.Nên kể từ số thứ hai của dãy lấy đem chia cho chia cho 3 đều d 1

- Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49 Do đó, số 1999 không

phải là số của dãy số đã cho.

- Mỗi số trong dãy số đã cho là số chia cho 3 d 1 Do đó số 100 và số 1900 khôngthuộc dãy số đó

Các số 123; 456; 789 và 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó cũng không phải là

số thuộc dãy số đã cho

* Bài tập tự luyện:

1 Cho dãy số: 1; 4; 7; 10;…

a Nêu quy luật của dãy số

b Số 31 có phải là số thuộc dãy trên không, nếu phải thì số thứ bao nhiêu?

c Số 1995 có thuộc dãy này không? Vì sao?

2 Cho dãy số: 1004; 1010; 1016;…; 3008.

Số 2004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?

3 Cho dãy số: 1; 7; 13; 19;…;

a Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số tiếp theo

b Trong hai số 1999 và 2001 thì số nào thuộc dãy số trên ? Vì sao?

Lưu ý dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không?

Ta cần xem dãy số cho trớc và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chiahết cho một số nào đó hoặc có cùng số d) thỡ số đó thuộc dãy đã cho

Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy.

* Cách giải ở dạng này là:

- Sử dụng phơng pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây) Ta có công thứcsau:

Số các số hạng của dãy = số khoảng + 1.

- Nếu quy luật dãy là: Số hạng đứng trớc ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy số thì số đóbằng tổng bấy nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) thì đợc tính theo công thức:

a Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

b Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 2002 là số mấy?

Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trớc cộngvới 2 Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị.

2 Cho 1; 3; 5; 7; ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên Hỏi 1981 là số hạng thứ bao

nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?

Lưu ý dạng 3: Có các yêu cầu sau:

+ Tìm tất cả các chữ số của dãy

+ Tìm tất cả các số hạng của dãy

Khi giải cũng tính bằng một công thức nh ở phần cách giải đã nói

Số đầu của dãy = tổng ì 2 : số số hạng – số hạng cuối.

Số cuối của dãy = tổng ì 2 : số số hạng – số đầu

Ví dụ:

1 Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên

*) Giải: 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

1; 3; 5; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33; 35; 37

3 + 35 = 38 7 + 31 = 38Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta đợc các cặp số đều có tổng số là 38

Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ cũn lại số hạng ở

chính giữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm số hạngcòn lại không sắp sẽ rất khó khăn Vậy ta có thể làm cách 2:

19 – 1 = 18 (số hạng) (trừ ra số đầu hoặc cuối cùng của dãy)

Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu, hoặc số

cuối) để còn lại số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng

với số hạng đã để lại thì đợc tổng của dãy số.

- Từ ví dụ trên, ta thấy khi giải toán bằng phơng pháp của lý thuyết tổ hợp, phải phân biệt rạch ròi cặp sắp xếp thứ tự với cặp không sắp xếp thứ tự

Lưu ý dạng 4: Có các yêu cầu:

+ Tìm tổng các số hạng của dãy

+ Tính nhanh tổng

* Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp sao cho có

tổng đều bằng nhau, sau đó tìm cặp số, tìm tổng các số hạng của dãy Chú ý: Khi tìm sốcặp số mà còn d một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số d đó vào

* Bài tập tự luyện:

1 Tính tổng:

a Của tất cả các số lẻ bé hơn 100

b 1 + 4 + 9 + 16 + …… + 169

2 Tính nhanh tổng của các só trên mặt đồng hồ? Cho ví dụ tơng tự rồi suy ra cách tính

của dãy số cách đều?

Đố em, đố chị, đố anh Tìm ra phơng pháp tính nhanh mới tài.

4 Dãy các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 428 có tất cả bao nhiêu số.

5 Dãy các số tự nhiên liên tiếp từ 25 đến 746 có tất cả bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu

số lẻ?

a Số 1997 có phải là số thuộc dãy số này hay không?

b Số 561 có phải là số của dãy số này hay không? Nếu số đó đúng là số của dãy số

đã cho thì số đó ở vị trí thứ mấy của dãy số đó?

B i 4: à (7 điểm)

Dãy các số tự nhiên liên tiếp từ 46 đến 455 có tổng của các số lẻ hơn tổng các số chẵnbao nhiêu đơn vị?

Trỡnh bày bài khoa học,chữ viết đẹp: 1 điểm.

CHUYấN ĐỀ “TèM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG (HOẶC HIỆU) VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ Để”

Kế hoạch bồi dỡng gồm 8 buổi; mỗi buổi 2 tiết.

Buổi 1: Tiết 1: Ôn kiến thức cơ bản Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó.

Tiết 2: Bài tập nâng cao (BTNC) dạng toán ẩn tổng số.

Buổi 2: Tiết 1: BTNC dạng toán ẩn tỷ số.

Tiết 2: BTNC dạng toán ẩn cả tổng và tỷ số.

Buổi 3: Luyện tập chung (2tiết)

Buổi 4: Tiết 1: Ôn kiến thức cơ bản Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.

Tiết 2: BTNC dạng toán ẩn hiệu số.

Buổi 5: Tiết 1: BTNC dạng toán ẩn tỉ số.

Tiết 2: BTNC dạng toán ẩn cả hiệu và tỉ số.

Buổi 6: Luyện tập tổng hợp cả chuyên đề (2 tiết).

Buổi 7: Tiết 1: Kiểm tra (40 phút)

Tiết 2: Chữa bài kiểm tra.

Buổi 8: Trả bài kiểm tra, nhận xét Ra bài tập tự luyện.

Khi giải bài toỏn tỡm hai số khi biết tổng số và tỉ số của hai số đú trước hết phải tỡmđược:

a) Tổng số của hai số đú.(Tổng đú cú khi được phỏt biểu bằng nhiều hỡnh thức khỏc

nhau mà khụng cho rừ tổng số)

Chẳng hạn : Tổng số của hai số đú bằng tớch giữa số lẻ nhỏ nhất cú hai chữ số với số

chẵn lớn nhất cú hai chữ số Khi đú tổng của hai số đú là:

11 ì 98 = 1078

b) Tỉ số của hai số đú (Cú khi tỉ số này cũng được phỏt biểu dưới hỡnh thức khỏc)

Chẳng hạn: Tỉ số của hai số bằng thương giữa số lớn nhất cú hai chữ số với số lẻ nhỏ

nhất cú hai chữ số Lỳc đú tỉ số của hai số là:

99 : 11 = 9

c) Tỡm tổng số phần bằng nhau của hai số.

d) Tỡm giỏ trị của mỗi phần

Giỏ trị 1 phần = Tổng cỏc số : Tổng số phần

e) Tỡm mỗi số phải tỡm.( số lớn ,số bộ)

Bài toỏn: Tổng của hai số bằng số lớn nhất cú 4 chữ số Tỉ số giữa số lớn so với số bộ

bằng số nhỏ nhất cú hai chữ số Tỡm hai số đú

Phõn tớch: Số lớn nhất cú 4 chữ số là 9999 Vậy tổng của hai số đú là 9999.

Số nhỏ nhất cú hai chữ số là 10 Vậy tỉ số giữa số lớn so với số bộ là 10 hay số lớn

bằng 10 lần so với số bé Từ đó vẽ sơ đồ ta tìm được hai số đó.

Giải: Số lớn nhất có 4 chữ số là số 9999 Vậy tổng của hai số đó là 9999 Số nhỏ nhất

có hai chữ số là số 10 Vậy tỉ số giữa số lớn so với số bé là 10 hay số lớn bằng 10 lần sốbé

1 a) Khi viết thêm một chữ số 0 vào bên phải một số, ta được số mới Số mới đó bằng

bao nhiêu lần số ban đầu?

b) Cho biết tổng của số mới với số ban đầu là 297 Hỏi số ban đầu là bao nhiêu?

Thay chữ số 0 vừa viết thêm ở số mới thứ nhất bằng chữ số 4, ta được số mới thứ hai 1) So sánh số mới thứ hai với số mới thứ nhất.

2) So sánh số mới thứ hai với số đã cho

b) Nếu tổng của số mới thứ hai với số ban đầu là 433 thì số ban đầu đã cho là baonhiêu?

Híng dÉn gi¶i:

a) 1/ Số mới thứ hai hơn số mới thứ nhất 4 đơn vị

2/ Số mới thứ hai bằng 10 lần số đã cho cộng với 4

b) Theo đề bài, ta có sơ đồ: 4

3 Tìm một số biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó một chữ số 7 ta được số mới

và tổng của số mới với số phải tìm là 1074

Híng dÉn gi¶i:

Khi viết thêm một chữ số 7 vào bên phải một số bất kỳ, ta được số mới bằng 10 lần

số ban đầu cộng với 7 Vì vậy ta có sơ đồ: 7

Số hạng 2

Tổng số

250

Nhìn vào sơ đồ ta thấy:

Số hạng thứ nhất là: 125 : ( 1 + 4 ) = 25

Số hạng thứ hai là: 25 × 4 = 100

Phép cộng đó là: 25 + 100 = 125

Đáp số: 25 + 100 = 125

5 Tìm một số có hai chữ số biết rằng nếu viết thêm vào bên phải và bên trái số đó mỗi

bên một chữ số 3 ta được số mới và tổng của số mới với số phải tìm bằng 3322

Híng dÉn gi¶i:

Cách 1: Khi viết thêm vào bên phải một số một số có hai chữ số một chữ số 3 ta được

số mới thứ nhất có ba chữ số bằng 10 lần số phải tìm cộng với 3 đơn vị

Khi viết thêm vào bên trái số có ba chữ số một chữ số 3 thì chữ số 3 đó ở hàng nghìnnên được số mới thứ hai lớn hơn số mới thứ nhất 3000 đơn vị

Như vậy, số mới thứ hai bằng 10 lần số phải tìm cộng với 3003

Giải ra ta có đáp số: 29

Cần lưu ý: Chữ số viết thêm bên trái số đó đứng ở hàng nào để xác định số đó tăng

thêm bao nhiêu đơn vị

Bài tập tự luyện:

6 Cho một số, nếu viết thêm vào bên phải số đó một chữ số ta được số mới và tổng

của số mới với số đã cho bằng 1994 Tìm:

a) Số đã cho

b) Chữ số viết thêm

7 Cho một số Nếu viết thêm vào bên phải số đó một chữ số ta được số mới Đem số

mới chia cho số đã cho ta có phép chia có tổng các số: số bị chia, số chia, số thương, số dưbằng 1093 Tìm:

a) Số đã cho

b) Chữ số viết thêm

8 Cho một số, biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó một số có hai chữ số ta

được số mới Đem số mới chia cho số đã cho ta có phép chia có tổng các số: số bị chia, sốchia, số thương, số dư bằng 9181 Tìm:

a) Số đã cho

b) Chữ số viết thêm.

9 Cho số có hai chữ số Nếu ta viết thêm vào bên phải hoặc bên trái số đó chính số đó

ta được số mới có 4 chữ số và tổng của số mới với số đã cho bằng 8466 Tìm số đã cho

10 Cho hai số có hai chữ số mà số lớn bằng 3 lần số bé Nếu đem số bé viết vào bên

phải và bên trái số lớn ta được 2 số mới mỗi số có 4 chữ số Tổng của hai số có 4 chữ số

đó bằng 4848 Tìm hai số đã cho

11 Cho hai số có hai chữ số mà nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 4 Nếu

đem số lớn ghép vào bên phải hoặc bên trái số bé ta được hai số có 4 chữ số và tổng củahai số có 4 chữ số đó bằng 12120 Tìm hai số đã cho

12 Cho một số có chữ số ở hàng đơn vị là 3 Nếu xoá chữ số 3 đó ta được số mới Biết

tổng của số mới đó với số đã cho là 135 Tìm số đã cho

II.2 Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của hai số đó.

Người ra đề bài thường phát biểu về hiệu của hai số hoặc tỉ số của hai số dưới hìnhthức khác, nên khi giải bài toán: Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó nhất thiếtphải tìm được:

a) Hiệu của hai số phải tìm

b) Tỉ số của hai số phải tìm

c) Tìm số phần ứng với hiệu số

d) Tìm giá trị của mỗi phần

Giá trị 1 phần = hiệu các số : hiệu số phần

Giải: (Sau khi phân tích như trên ta giải tiếp như sau):

Ta có sơ đồ: