Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬTI. MỤC TIÊU: KT: Nắm được quy luật của dãy số. Tính toán trên dãy số. KN: Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giá trị của dãy số TĐ: Cẩn thận, sáng tạo.II. CHUẨN BỊ:Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụHs: Dụng cụ học tập. III. TIẾN TRÌNH:1.Ổn định:2.Kiểm tra: (Trong giờ)3.Bài mới:Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:

Buổi 1: DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

I./ MỤC TIÊU:

KT: - Nắm được quy luật của dãy số

- Tính toán trên dãy số

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giá trị của dãy số

TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Buổi 2: A CƠ SỞ LÍ THUYẾT

I./ MỤC TIÊU:

KT: - Nắm được tính chất của tỉ lệ thức,tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Tính toán tìm biến chưa biết trong hệ thức

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải toán tìm biến chưa biết trong hệ thức

2./Kiểm tra: (Trong giờ)

3./Bài mới:

I TỈ LỆ THỨC

1 Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số b a d c (hoặc a : b = c : d)

Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hayngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ

2 Tính chất:

Tính chất 1: Nếu b a d c thì ad  bc

Tính chất 2: Nếu ad  bc và a, b, c, d  0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

b a d c , c a d b , b d a c , d c b a

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.

II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

c b a f d b

c b a f

e d

c b a

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa)

* Chú ý: Khi có dãy tỉ số 2a b3 5c ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5

Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.

Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

4 5

20 3

3 2 20 36

3 18

2 20 12

9 ( sau đó giải như cách 1 của VD1)

3 3 4

3 4

3

z

z y

x y x

3 3 20

9 2 6 3

2x yz  z zz  z   z

5

60 3

+ Với k  2 ta có: x 2 2  4

y  5 2  10

+ Với k   2 ta có: x 2 (  2 )   4





xy x

2

5 4 5



 y

y x

z x

z

y z



 y

y x

z x

z

y z

Bài 4 : Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x 2y, 7y 5z và x yz 32 b) x2 1y3 2 z4 3

và

50 3

Bài 5: Tìm x, y biết rằng:

1182y 1244y 16x6y

Giai Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b c c a a b    Biết a+b+c 0.Tìm giá trị của mỗi tỉ

số đó ?

Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8.

Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinhcủa trường đó?

Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

ab

thì chúng lập thành một tỉ lệ thức

Giải: ab ab  2cdc d2 2 ab ab  2 2(ab 1)   0

=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)

=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

Buổi 3: DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

I./ MỤC TIÊU:

KT: - Ôn tập tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Tính toán tìm biến chưa biết trong hệ thức, chứng minh hệ thức

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải toán tìm biến chưa biết trong hệ thức; chứng minh hệ thức

d c b a

b a

b

k b b kb

b kb b

a

b

a

(1)

k d d kd

d kd d

a d

c b

d c

b a cd

b a cd

kb d dk

b bk cd

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

(

) (

d

b k

d

k b d k d

b k b d dk

b bk d

b a cd

b a d

b c

a cb

ab d

b c

a d

c b

b a cd

ab





 (đpcm)

d c

b a d c

b a

d c

b a cd

d c b

a

b

a

4 3

5 2 4

d c

d c

b a

2007 2006

2006 2005

2007 2006

2006 2005

bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

d c

b a d c

b a

bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

Bài 7: Cho

1

9 9

8 3

2 2

1

a

a a

a a

a a

b a





 2 2

2 2

Bài 10: Cho

1

9 9

8 3

2 2

1

a

a a

a a

a a

Đảo lại có đúng không?

Bài 12: Chứng minh rằng nếu : b a d b thì

d

a d b

b a





 2 2

2 2

b a





 2 2

2 2

b a b a cd

ab d

c

b a d cd c

b ab a cd

ab

.

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b

c b a

3 3 3

Bài 22: CMR nếu a(yz) b(zx) c(xy) Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :

) ( ) (

)

y x a c b

x z

2 1

2

c x b x a

c bx ax P

c b

b a

a



 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

Bài 24: Cho biết : ' ' ' '

Chứng minh rằng:

d

a d c b

c b a

3 3 3

Bài 27: Cho

1 1

2 1

2

c x b x a

c bx ax P

c b

b a

a



 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a 13b3a7b 2c 13d3c 7d

  ; Chứng minh rằng: ab cd

Bài 29: Cho dãy tỉ số : bza cy cxb az aycbx ; CMR: x y z

a b c

Buổi 4 + 5 + 6 + 7 + 8 : Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Buổi 4: LÍ THUYẾT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I./ MỤC TIÊU:

KT: - Nắm được kiến thức cơ bản về GTTĐ

- Tính toán tìm biến chưa biết trong hệ thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải toán tìm biến chưa biết trong hệ thức, chứng minh hệ thức

TĐ: Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của họcsinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn

Nếu x-a  0=> = x-a

Nếu x-a  0=> = a-x

* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai

số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau

b a b

* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.

a

a 

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai

số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu

TQ: a b ab và a b ab  a b 0

2 Các dạng toán :

I Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1 : A(x)  k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho

A

k x A k

x A

) (

) ( )

1





 x c) 21  x15 31 d)8

7 1

5 2

3 : 5 , 2 4

(

) ( ) ( )

( )

(

x B x

A

x B x A x

B x A

Bài 2.1: Tìm x, biết:

a) 5x 4 x 2 b) 2x 3  3x 2  0 c) 2  3x  4x 3 d)

0 6 5

5 2

7 4

5 8

3 Dạng 3: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị

tuyệt đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải như sau:

) (

(

) ( ) ( )

( )

(

x B x

A

x B x A x

B x

điều kiện ( * )

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu a0  a a

Nếu a 0  a  a

Ta giải như sau: A(x) B(x) (1)

 Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được vớiđiều kiện )

 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm đượcvới điều kiện )

- Biến đổi chứng minh hệ thức chúa nhiều dấu GTTĐ.

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để bỏ dấu GTTĐ, chứng minh hệ thức, biến đổi biểu thức

4 Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x

 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở

vế trái của đẳng thức trên Từ đó sẽ tìm được x

GiảiXét x – 1 = 0  x = 1; x – 1 < 0  x < 1; x – 1 > 0  x > 1

4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)Xét khoảng 1  x  3 ta có:

1 5

1

5

1 2 2

1 3 2

1 3 2

3 101

2 101

1

4 3

1 3

2

1 2

1

7 5

1 5

3

1 3

1

13 9

1 9

5

1 5

B A

13

23 17

11 5 , 1 4

3 2

1 3

B A

Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:

a) 5x 1  6y 8  0 b) x 2y  4y 3  0 c) x y 2  2y 1  0

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:

a) 12x 8  11y 5  0 b) 3x 2y  4y 1  0 c) x y 7  xy 10  0

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không

âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tươngtự

7 5







 y y x

25

6 5

4 2008

2007 2

Buổi 6: II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng

thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

I./ MỤC TIÊU:

KT: - Nắm được KT cơ bản về GTTĐ

- Tìm cặp giá trị (x;y) trong hệ thức chúa nhiều dấu GTTĐ

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để bỏ dấu GTTĐ, biến đổi biểu thức TĐ: Cẩn thận, sáng tạo

B A

* Nếu m > 0 ta giải như sau:

m

B

A   (1)

Do A  0 nên từ (1) ta có: 0 B  m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

B

A   (1)

0 0

A

(2)

Từ (1) và (2)  0 A  B m từ đó giải bài toán A  B k như dạng 1 với 0 k  m

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

Đánh giá: A(y)  0  A(x).B(x)  0  nxm tìm được giá trị của x

Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

x x

x

Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

3 1

14 7

y

5 2 3

20 4

x

Buổi 7: III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

I./ MỤC TIÊU:

KT: - Nắm được KT cơ bản về GTTĐ

- Biến đổi chứng minh hệ thức chúa nhiều dấu GTTĐ

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để bỏ dấu GTTĐ, chứng minh hệ thức, biến đổirút gọn biểu thức

* Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3 , 5 x  4 , 1

1 7

Buổi 8: V – Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

chứa dấu giá trị tuyệt đối

I./ MỤC TIÊU:

KT: - Nắm được KT cơ bản về GTTĐ

- Biến đổi chứng minh hệ thức chứa nhiều dấu GTTĐ

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để bỏ dấu GTTĐ, chứng minh hệ thức, biến đổi biểu thức, tìm GT lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

1 Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:

* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chấtcủa bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:

Bài 1.1 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

e) E 5 , 5  2x 1 , 5 f) F   10 , 2  3x  14 g)

12 3 2 5

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

C

Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 2 1

2    

D

Buổi 9 : DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT

KT: - Nắm được quy luật của dãy số

- Tính toán trên dãy số

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính thành thạo giá trị của dãy số TĐ: Cẩn thận, sáng tạo

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên ?

Hướng dẫn:

Bài 3: Cho A 1  7  13  19  25  31 

a) Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?

b) Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n ?

) 12 ( ) 7 ( )

Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3.

b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với

A 4  2 3  2 4  2 5   2 2003  2 2004

Hướng dẫn:

Bài 11:

a) Cho A 2  2 2  2 3   2 60

Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15

b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42

a) Chứng minh: B chia hết cho 2 30

b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61

Hướng dẫn:

Bài 15: Cho A 3  2 2  2 3  2 4   2 2001  2 2002 và B 2 2003

So sánh A và B

Hướng dẫn:

b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?

Buổi 10 : DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

KT: - Nắm được quy luật của dãy số

- Tính toán trên dãy số hữu tỉ

KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính thành thạo giá trị của dãy số hữu tỉ TĐ: Cẩn thận, sáng tạo

1 3

Hướng dẫn:

Bài 19:

a) Tính: 2 2 2 2

1.3 3.5 5.7   99.101b) Cho 13.4 43.7 7.310 ( 3 3) n N*

n n

1 154

1 88

1 40

1 10

2

15

1 10

1 6

1 3

1

4 3 2

1 3 2 1

Hướng dẫn:

Bài 22: So sánh: 2 3 100

2

1

2

1 2

1 2

1 3 97

1

95 5

1 97 3

1 99 1

1 97

1

5

1 3

1 1

3

97 2

98 1

1

4

1 3

1 2 1

2 2

1 100

1

3

1 2

1 2

2 199

; 24

1 1

; 15

1 1

; 8

1 1

1

; 66

Bài 30: Tính B A biết:

A = 171.18 191.20

6 5

1 4 3

1 2 1

1 11

1

12 2

1 11 1

1 110

10

1

102 2

1 101

) 6 ( 1 , 0 ) 3 ( , 0 5 , 0

) 3 ( , 0 ) 6 ( 1 , 0

3 ( 0 , 0

13

3 ) 384615 (

, 0 ) 3 ( , 0

1 (

5 2

3 2 3

N m m

m m

m m m

a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản

b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?

Bài toán 10: So sánh các số sau

a)

25

4 100

Bài toán 11: Tìm x biết

a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ;  2

Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

A Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên

Bài toán 16: thực hiện phép tính

5 : 7

1 2 : 7 : 25 , 5 4 , 2 : 2 2

2 2

2 2

2 7

4 2 64

7 7

1 49

1 49

1 1

2 2

25 21

2

5 196

5 1

7 7

6 8 3

1 12 : 4

49 3

2 8 225 : 3

TH 1 C-C-C Cạnh huyền + Cạnh góc vuông

TH 2 C-G-C Hai cạnh góc vuông

TH 3 G-C-G Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn

TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT :

Tam giác  Cân  ĐỀU  VUÔNG vuông cânĐịnh

ABC A

AB=ACQua Â+Bˆ Cˆ =180 Bˆ Cˆ

C

A

B D

BÀI 6 : Cho tam giác ABC có Â = 80 độ , Bˆ = 60 độ Hai tia phân giác của góc

B và C cắt nhau tại I Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D Chứng minh góc BDC = góc C ?

b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ

A => AC E = 81 độ và

BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp

và AB < BC < CA Tim độ dài 3 cạnh của tam giác PQR Biết ABC  PQR.

A

HD : Gọi độ dài 3 cạnh AB = 2n + 1 ,BC= 2n +3 và

CA = 2n +5

Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= 2 =>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm

B C

BÀI 10: Cho tam giác ABC.Biết AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a Đường qua B song song với CA là b và đườngthẳng qua C và song song vơi AB là c Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c ; a và c ; a và b Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ?

A HD : Chứng minh

);

BÀI 11 : Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC , kẻ BH  AM và CKAM Chứng minh : a/ BH // CK

A b/ M trung điểm của HK

BÀI 14 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ Tia phân giác góc A cắt

BC tại D Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ?

HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK

A => ABE  KCA (cgc) => AE = AK D

B C K

E

BÀI 16 : Cho tam giác ABC Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại

A là ADB ;ACE có AB = AD ; AC = AE Kẻ EH vuông góc BC ; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH Chứng minh rằng

A a/ DB = CF

b/ BDC  FC Dˆ

D E F c/ DE // BC & DE = BC

2 1

BÀI 18 : Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D ; E sao cho AD = BE Qua

D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N Chứng minh DM + EN = BC ?

A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC tại K.Tacó EN//BK EB//NK nên chứng minh được NK=EB;EN=BK

BÀI 19 : Cho tam giác ABC có Â = 600 Các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại

ˆ ˆ ˆ

ˆ C BC  

B

0

4 1

120 ˆ

ˆC I I 

I B

CDI BIE BIK CIK((gcg gcg))IE IDIK IK IDIE

Chứng minh : a/ AM = 21 AD b/ AM  DE

H E HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôi

AM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đi chứng minh DE = AK

- Xét ABK& DAE:ADAB(gt);AEBK( AC)

Và ˆ ˆ 180 ( ˆ ˆ 180 0 )

2 1 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 180 0 ( )

1 B C A B K A B C A vibu A B

Vậy : A BˆK D AˆE ABK  DAEAK DEAM DE2

B M C b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có

B AˆK D AˆH  90 0 Dˆ D AˆH  90 0 A DˆH  90 0

BUỔI 13: TAM GIÁC VUÔNG

I./ MỤC TIÊU:

KT: - Nắm được KT cơ bản về tam giác vuông

- Chứng minh Tam giác bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau Tính số đo góc

KN: - Kĩ năng suy luận theo sơ đồ suy ngược lùi Kĩ năng vẽ hình, khai thác hình TĐ: Cẩn thận, sáng tạo

II./ CHUẨN BỊ:

Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ