ABC∆ có trung tuyến AM.. Trong tất cả các tam giác ngoại tiếp một đường tròn cho trước, tìm tam giác có minS cotA cotB cotB cotC cotC cotA A B C 28.. Trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác
Trang 1HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1 Tam giác ABC có b 1
c
b = m ≠ CMR: 2cotA=cotB+cotC
2 b
c
b= m và A=600 CMR: Tam giác ABC đều
3 Tam giác ABC có tan tan 1
A B = CMR:
2
a b
4 ∀∆ABC hãy CMR: cot cot cot
r
5 ∀∆ABC hãy CMR: tan tan tan tan tan tan 1
6 Cho a x= 2 +2x+3;b x= 2 +1;c x= 2 +4x+5
a) Tìm x để , ,a b c là ba cạnh của một tam giác
b) CMR: tam giác đó bán kính đường tròn nội tiếp 3 ( 2 )( 2 )
6
7 Cho a x= 2 + +x 1;b=2x+1;c x= 2+1
a) Tìm x để , ,a b c là ba cạnh của một tam giác
b) CMR tam giác đó có một góc bằng 1200
8 Tam giác ABC có tính chất gì nếu: a) S= 14(a b c a b c+ − ) ( − + )
b) 1 cos 2 2 2
−
9 CMR tam giác ABC cân nếu 2 2 ( 2 2 )
cot cot sin sin 2
+
10 Cho tam giác ABC nhọn CMR: sin , sin , sina A b B c C là ba cạnh của một tam giác
11 ∀∆ABC hãy CMR:
cot cot cot
4
S
+ +
12 Tam giác ABC có a4 = +b4 c4 CMR: tam giác ABC nhọn và 2sin2 A=tan tanB C
13 Tam giác ABC có hai trung tuyến AA BB1, 1
CMR: AA1 ⊥BB1 ⇔cotA=2 cot( B+cotC)
14 Tam giác ABC có trọng tâm G
a) M là điểm bất kỳ CMR: MA2 +MB2 +MC2 =3MG2 +GA2 +GB2 +GC2
b) CMR a2 + + ≤b2 c2 9R2
c) CMR: sin2 sin2 sin2 9
4
15 ABC∆ có B > C, α là góc hợp bởi trung tuyến AM và đường thẳng BC hãy CMR: 2cotα =cotC−cotB
16 M là điểm trong ABC∆ và các góc MAB MBC MCA= = =α Cmr:
cotα =cot A+cotB+cotC
17 ABC∆ có trọng tâm G ; các góc GAB=α,GBC =β,GCA=γ
Cmr: 3( 2 2 2)
cot cot cot
4
S
α + β + γ = + +
Trang 218 ∀∆ABC hãy CMR: ( )cot ( )cot ( )cot 0
19 ABC∆ có a c+ =2b hãy CMR:
a) ac=6Rr b) tan tan 1
= ; c) 3 tan tan
20 CMR ABC∆ đều nếu
1 cos 2
+ − = + −
21 ABC∆ đều Trên cung nhỏ AB của đường tròn ngoại tiếp ABC∆ lấy điểm M sao cho
1, 2
MA= MB= tính MC
22 CMR tam giác ABC cân nếu sin sin sin cot cot
sin sin sin 2 2
23 ABC∆ có trung tuyến AM Đặt góc AMB = α; AB = c; AC = b
a) CMR:
cot
4
S
α = − ; b) Nếu α =450 CMR: 2 cot= C−cotB
24 ABC∆ hãy CMR: 9
2
a b c
R
25 Trong tất cả các tam giác nội tiếp một đường tròn cho trước , tìm tam giác có
a) (a2 + +b2 c m2) ax; b) Smax
26 Trong tất cả các tam giác ngoại tiếp một đường tròn cho trước, tìm tam giác có minS
cotA cotB cotB cotC cotC cotA A B C
28 CMR ABC∆ đều ⇔a2 + + =b2 c2 36r2
29 ABC∆ hãy CMR:
3
27
8
a b c
R
30 Trong tam gi¸c ABC h·y CMR : ab+bc+ca = p2 +r2 + 4rR
31 Trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC lấy lần lượt ba điểm M,N,P sao cho
MB = NC = PA Cho tam giác ABC cố định Hãy tìm min của diện tích tam giác MNP
Trang 31 Tam giác ABC có các đường cao AA BB CC và trực tâm H', ', '
CMR: HA HA ' =HB HB ' =HC HC '
2 Tam giác ABC không cân tại A AM, AD lần lượt là các trung tuyến và phân giác
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB, AC tại E và F
CMR: BE = CF
3 Cho nửa đường tròn đường kính AB; M là điểm trên nửa đường tròn đó Hạ MH ⊥ AB
tại H Đường tròn đường kính MH cắt nửa đường tròn trên tại N , cắt MA, MB tại E và F a) CMR: ABEF là tứ giác nội tiếp
b) CMR: AB, EF, MN đồng quy
4 Tam giác ABC nhọn có các đường cao AA BB CC và trực tâm H', ', '
2
5 Tam giác ABC đều cạnh a Một đường tròn cắt các cạnh AB tại H và F, cạnh BC tại I và
G, cạnh CA tại K và E ( AH < AF , BI < BG , CK < CE)
CMR: AH BI CK+ + = AE BF CG+ +
6 Cho đường tròn tâm O bán kính R cố định d là đường thẳng cố định không cắt (O) ; A
là điểm di chuyển trên d Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là các tiếp điểm)
Hạ OK ⊥d tại K; OK ∩BC E=
a) Tính OE.OK
b) CMR đường thẳng BC đi qua một điểm cố định