SKKN sử DỤNG véc tơ GIẢI TOÁN HÌNH học

nên ý thức sửdụng cũng như kĩ năng thực hành giải toán của các em học sinh còn hạn chế, dẫn đếnviệc học sinh THPT chỉ đơn thuần biết đến các dạng toán thực hành biến đổi véc tơ mà ít khi

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 LỜI GIỚI THIỆU

Hình học là môn học hay và khó đối với các em học sinh THCS Khi học lênTHPT, các em được cung cấp thêm kiến thức hình học mới như véc tơ để thêm công

cụ nghiên cứu hình học Tuy vậy, do là kiến thức mới mẻ, kĩ năng của học sinh cònnhiều hạn chế, các tài liệu tham khảo thường chỉ là tập hợp các bài giải có sử dụngkiến thức véc tơ mà không có định hướng kiến thức, kĩ thuật sử dụng nên ý thức sửdụng cũng như kĩ năng thực hành giải toán của các em học sinh còn hạn chế, dẫn đếnviệc học sinh THPT chỉ đơn thuần biết đến các dạng toán thực hành biến đổi véc tơ

mà ít khi thấy được ứng dụng, sức mạnh của kiến thức mới Lý do như kiến thứcmới mẻ, các dạng toán đa dạng nhưng khó mà đôi khi không rõ ứng dụng, cách giảngdạy còn hànlâm…khiến cho người học là học sinh gặp nhiều khó khăn, lúng túng

Với tham vọng hướng dẫn cho các em học sinh THPT có thêm một công cụgiải toán mới đồng thời giúp các em thấy được cái hay cái đẹp của kiến thức mới mẻnày Đề tài mong muốn:

- Thể hiện véc tơ có thể ứng dụng giải toán

- Rèn luyện kỹ năng sử dụng véc tơ để giải toán: rèn luyện sử dụng các phéptoán véc tơ, xây dựng bộ véc tơ gốc, cách biểu diễn véc tơ

- Giúp cho học sinh thấy được sức mạnh của phương pháp, ứng dụng của kiếnthức

Các bài tập sử dụng dưới đây là kết quả sưu tầm của tác giả, hầu hết lời giải đều dotác giả tự thực hiện

2 SÁNG KIẾN “ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ”

♠ Ôn tập kiến thức véc tơ trong mặt phẳng và trong không gian.

♠ Rèn luyện thêm kĩ năng tính toán, biểu diễn véc tơ

♠ Kĩ năng chọn bộ véc tơ cơ sở phù hợp

♠ Cung cấp thêm một phương pháp giải toán mới

♠ Cung cấp một hệ thống các bài có mức độ từ dễ đến khó

♠ Gợi ý cho học sinh lớp 10, lớp 11 phương pháp giải toán hình học bằng kiếnthức véc tơ

5 NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ

Áp dụng lần đầu vào ngày tháng năm 2016

6 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ

1 Hai véc tơ bằng nhau: a b a b

r r

r r

2 Trong mặt phẳng toạ độ véc tơ ur cùng phương với véc tơ vr � k u kv:r  r.

3 Cho hai véc tơ không cùng phương ar và br Khi đó mọi véc tơ xr đều phân

tích được một cách duy nhất theo hai véc tơ ar và br, nghĩa là có duy nhất một

cặp số (h, k) sao cho x ha kbr r r

Bình luận: đây là cơ sở cho phương pháp ứng dụng véc tơ chứng minh hình

học… bằng việc xây dựng một bộ 2 véc tơ không cùng phương hợp lý.

4 Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (khác 0 và khác 1):

với mọi điểm O

Bình luận: Đây là công thức hay được sử dụng trong các tính toán GV dạy

SGK cơ bản xây dựng thêm công thức này cho HS.

5 AB OB OAuuur uuur uuur  với mọi điểm O

6 Hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm lần lượt là G, G’

' ' A'    

 A BB CC

7 Hai véc tơ ,a br r

vuông góc �a br r. 0.

II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1) 3 điểm A, B, C thẳng hàng nếu thoả mãn một trong các trường hợp sau: a) Tồn tại một số k sao cho uuurAB k AC uuur

b) Với mọi điếm S, nếu tồn tại đẳng thức: SA xSB ySCuur uur uuur với x y  1.

Lưu ý, nếu chỉ có đẳng thức SA xSB y ACuur uur uuur thì ta chỉ chứng tỏ được rằng 4điểm S, A, B, C đồng phẳng

2) Cho ba véc tơ không đồng phẳng ,a br r

và cr Khi đó mọi véc tơ xr đều phântích được một cách duy nhất theo ba véc tơ ,a br r

và cr, nghĩa là có duy nhất một

cặp số m,n, k và p sao cho x ma nb pcr  r r r

Bình luận: đây là cơ sở cho phương pháp ứng dụng véc tơ chứng minh hình

học… bằng việc xây dựng một bộ 3 véc tơ không đồng phẳng hợp lý.

3) 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng nếu thoả mãn một trong các trường hợp sau: a) 3 véc tơ uuur uuur uuurAB AC AD, ,

4a) Cho 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng với một điểm S bất kì, ta có:

SA xSB ySC zSDuuur uuuur  uur uuur thì x y z 1   

4b) 3 véc tơ a,b,c r r r

đồng phẳng �(x, y) : a xb yc.r r r

CHƯƠNG II: MỘT VÀI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

I PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRÊN MẶT PHẲNG

Khi dạy và học về véc tơ, ta thấy được một số ứng dụng của véc tơ nhưchứng minh hai tam giác cùng trọng tâm, CM thẳng hàng, vuông góc Các ví dụ đưa

ra đều quen thuộc, người HS ít đột phá sử dụng véc tơ để giải những bài toán hìnhhọc vốn đã được giải bằng một phương pháp khác

Đành rằng phương pháp véc tơ không hẳn có ưu điểm hơn các phương phápkhác, nhưng người HS cần có ý thức bồi dưỡng tư duy, ý thức tránh lối mòn trong tư

tơ để giải nó chưa

1

Tính góc Chứng minh quan hệ vuông góc

Bài 1.(THTT T9/257) Chứng minh rằng trong một tam giác vuông 2 trung tuyếnthuộc hai cạnh góc vuông cắt nhau theo một góc nhọn có giá trị côsin không nhỏhơn 0,8

Hướng dẫn: Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác

ABC Đặt AB c AC b ,  .

Phương pháp véc tơ:

Việc đầu tiên HS phải chọn một bộ véc tơ cơ sở (VTCS) gồm hai véc tơ không cùng phương Kinh nghiệm chọn là:

+ Hai véc tơ cùng gốc (dễ biểu diễn véc tơ)

+ Hai véc tơ vuông góc hoặc tính được tích vô hướng.

Bài 2.Gọi K là trung điểm của cạnh AB của hình vuông ABCD, L là điểm chia trongđường chéo AC theo tỉ số .

BÌNH LUẬN: Bài tập trên không khó giải với nhiều HS lớp 10 Ở đây ta rèn luyện 3

kĩ năng: chọn bộ véc tơ gốc, biểu diễn véc tơ và tính tích vô hướng Những kĩ năng này cần thiết cho nội dung véc tơ trong không gian học ở lớp 11, 12.

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC, H thuộc đoạn AC Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AH và DC Chứng minh rằng: BM 

MN

Hướng dẫn

Phương pháp véc tơ:

Không giảm tổng quát ta chọn hình chữ nhật ABCD sao cho AB1,AD d .

B1- Chọn bộ véc tơ gốc uuur uuurAB AD,

(Điểm H chia AC theo tỉ số

Bài 4.(APMO 98) Cho tam giác ABC Gọi D là chân đường cao hạ từ A Gọi E, F làđiểm khác D nằm trên một đường thẳng đi qua D sao cho AE vuông góc với BE,

AF vuông góc với CF Fọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, EF Chứngminh rằng đường thẳng AN vuông góc NM

đôi một vuông góc Ta có : | | 1;| |ar  cr  t Giả sử:

DB b c DE xa yc DFuuur ,r uuur r r uuur; ( )kx ar( )ky cr (2 véc tơ cùng phương) Khi đó:

uuur uuur uuur uuuur r

, suy ra điều phải chứng minh

BÌNH LUẬN: Lời giải không phụ thuộc hình vẽ, tính toán nhiều tuy vậy phương

pháp giải tiến hành lại rõ ràng.

2 Chứng minh quan hệ cùng phương, thẳng hàng, song song , đồng quy.

trung điểm các cạnh của ∆ABC CMR điểm D và trọng tâm của 2 tam giác ABC,MNP thẳng hàng

Hướng dẫn

Phương pháp véc tơ:

Ta có DA  DB  DC   DG ; DM  DN  DP   DG. Áp dụng quy tắc hình bình hành ta

có 2DG DGuuur uuuur 1 suy ra đpcm

lượt lấy 2 điểm M, N sao cho k

CE

CN AC

NE MA

k

(

NE

k   

Mà BE   ( BA  BC ) nên

BC k BE ) k

(

BN

BA ) k ( BC

M, đường thẳng đi qua đỉnh B song song với AD cắt AC tại N CMR: MN// DC

Hướng dẫn

Phương pháp véc tơ:

HD ĐặtON  n OA ; OM  m OB  NM  mn CD

(Do ON/OA = OB/OD; OM/OB = OA/OC)

đường trung bình DE (// AB) của tam giác Đường phân giác góc B cắt DE tại P.Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng

Tam giác PEB cân tại E nên PE = EB = 

EC DC

DB





 Giả sử BE cắt AD tại B’, CK cắt BE tại C’, AD cắt

CK tại A’ Chứng minh rằng 3 tam giác ABC, DKE và A’B’C’ có cùng trọng tâm

' C y C ' C

y (

k '

BC k

k k x

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, AB AC ;BC .= = = Từ B kẻ đường cao BH.Tìm tỉ số HA

.HC

; CA BA BCuuur uur uur=

BH.AC uur uuur= �(BA BC)(BA kBC) uur uur uur- - uur = �BAuur +kBCuur - ( k)BA.BC + uur uur=

Mà BA.BC BAuur uur=uur+BCuur- (BA BC)uur uur- �BA.BC 4  4 uur uur= + - =

LM lấy điểm B sao cho LB/BM = 4/1 Gọi C là giao điểm của KB và AM Biếtdt(KLC) = 2(đvdt) Tính diện tích của tam giác KLM

Hướng dẫn

Phương pháp véc tơ:

Giả sử KCx KB(   x  ) (1).

) KLC ( dt

) KLB ( dt ) KLB ( dt

) KLM ( dt

y KL y

x y)

(

x = 5

cho AM = 3MC, NC = 2NB Gọi O là giao điểm của AN và BM Tính diện tích(ABC) biết diện tích(OBN) bằng 1(đvdt)

Hướng dẫn

Phương pháp véc tơ:

.dtdt((KLCKLB))

) KLB ( dt

) KLM ( dt )

BK chia diện tích tam giác ABC theo tỉ số nào ?

Hướng dẫn

Phương pháp véc tơ:

x FC

AE

 Gọi M là giao điểm của BD và CE Xác định vị trí của E, Dsao cho diện tích tam giác BMC đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó theo diện tíchcủa tam giác ABC

Hướng dẫn

Phương pháp véc tơ:

m DA

CD EB

AC ) BMC ( dt

) BDC ( dt ) BDC ( dt

) ABC ( dt ) BMC ( dt

) ABC ( dt

) ABC ( dt x BM

x CA x ) m ( ) x (

CB ) x (

y x ) m (    



) m ( m

m m x

ABC (

II PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

Từ kinh nghiệm biểu diễn véc tơ trong mặt phẳng, HS có thể mở rộng phươngpháp véc tơ trong không gian giải quyết được nhiều dạng toán như CM đồng phẳng,

CM song song, CM vuông góc, tính góc, tính tỉ số đoạn thẳng…

Sau đây là một số minh họa

1. QUAN HỆ SONG SONG

, 2

uuur uuur uuur r ur

Do 3 véc tơ uur uuuur uuurAI AM AN, ,

đồng phẳng nên tồn tại 2 số m, n sao cho: uurAI mAM nANuuuur uuur hay

O

I M

N

Bài 1 (Bài 32-t56, SBTHH11): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành, M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB (O BD �AC)

a) Tìm I SD� (AMN). b) Tính SI .

ID

Bài 2 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Hãy xác định đường thẳng (d) cắt cả hai đường thẳng AC’ và BA’ đồng thời song song với B’D’

b) Gọi I  ( )d �AC J';  ( )d �BA'. Tính .

'

AI AC

hay MN AD ASuuuur uuur uuur , ,

uuuur uuur uuur

đồng phẳng nên tồn tại 2 số m, n sao cho: GMuuuurmAD nASuuur uuur hay

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Hai điểm M và N lần lượt

thay đổi trên các đoạn thẳng SB, AC sao cho: BM NC x(0 x 1).

MS  NA   � Gọi G là

trọng tâm tam giác SCD.

a) CMR MN luôn song song một mặt phẳng cố định khi x thay đổi.

b) Tìm x để (GMN) //(SAD).

c) Tìm x để NG//(SAB).

NG SAB � GN AB ASuuur uuur uuur , , đồng phẳng hay

GNuuurmAB n ASuuur uuur hay

Bài 4 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M là một điểm trên đoạn AB’

sao cho AM/MB’ = 5/4 mp(P) qua M và (P) song song với A’C và BC’ cắt CC’ tại

N Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mp(P) Tính .

'

NC NC

Từ giả thiết ta có MN, A’C, BC’ đồng phẳng hay ta có sự biểu diễn:

BÌNH LUẬN: Nhiều học sinh khi giải bài tập này rất dễ vẽ nhầm hình do lấy

điểm M trên đoạn AB’ không chính xác dẫn tới điểm N nằm ngoài đoạn CC’ Bằng cách giải trên ta có thể “điều chỉnh” hình vẽ hợp lý dẫn tới thiết diện dựng được

SA  SB  SC  SG  � SA aSA SB bSB SC cSC SG tSGuur uuur uur',  uuur uuur',  uuur uuur',  uuur'.

Ta có 3SG SA SB SCuuur uur uur uuur   �3tSGuuuur'aSAuuur'bSBuuur'cSCuuur'.

Trong mặt phẳng xét điểm I: aIAuur' bIBuuur' cICuuur r' 0,  khi đó

aSAuuurbSBuuurcSCuuur  a b c SIuur hay 3tSGuuuur' (   a b c SI)uur hay SG’ // SI vậy I thuộcđường thẳng SG hay I SG� ( )P G'.

Suy ra 3tSGuuuur' (   a b c SG)uuur' hay 3t a b c  

Cách khác: Gọi I’, I lần lượt là trung điểm đoạn B’C’ và BC Ta có:

a) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua điểm A và song song với BD.

b) Dễ thấy KH // BD Gọi I là giao điểm của SO với AM Dễ thấy O’ là trung điểm

uur uuur uuur uuur uuur

Gọi I là điểm nằm trên mp(AHMK) thoả mãn: IA bSH bIK d IMuur uuur uur uuur r0. Khi đó

SA bSH bSK d SM      b c d SI

hay SI // SO’ suy ra I SO� (AHMK) uur uuur

s

D

B A

C

O

M

H K

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Điểm M di động trên cạnh SC, (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD.

a) CMR (P) luôn chứa một đường thẳng cố định.

b) Tìm H H:  ( )P �SB K K, :  ( )P �SD. CMR SB SD SC

SH SK SM có giá trị không đổi.

a 2

a 2

C

B A

S

HD Dùng bộ 3 véc tơ gốc: SA SB SCuur uur uuuv , ,

dễ thấy đôi một có tích vô hướng dễ tính

Bài 7 Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC  AB a BC CA a ,   2 Tính góc giữa các đường thẳng (SA BC SB AC, ),( , ).

b d a

MN  AN AM  r ur r 

uuuur uuur uuuur

Ta có ' uuuuuruuuurA M MN 0 suy ra tam giác A’MN vuông tại M

uuuur uuur uuur r ur r

Suy ra ' uuuur uurA C IJ 0 c) Việc tính góc thực hiện như bài tập 12

Bài 8 Gọi M, N, I, J, K lần lượt là trung điểm của đoạn AC, CC’, AD, BB’, DD’ của

C' B'

Bài 10 (Vinh, kD-2000) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2 Gọi

E, F tương ứng là các trung điểm của các cạnh AB và DD’

1) CMR đường thẳng EF song song với mp(BDC’) và tính độ dài EF.

Bài 9 (KB-03) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình

thoi cạnh a, góc BAD� = 60 0 Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AA’ và CC’

CMR 4 điểm B’, M, N, D cùng thuộc một mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MBN là hình vuông

2) Gọi K là trung điểm của cạnh C’D’ Tính khoảng cách từ đỉnh C tới mp(EKF) và xác định góc giữa 2 đường thẳng EF và BD.

Hướng dẫn

Đặt ar=AA',buuur r=AB,duuur r=ADuuur, ba véc tơ đôi một vuông góc, độ dài bằng 2

1) Ta chứng minh: ba véc tơ EF,BD,BC'uur uuur uuur đồng phẳng

BC AC AD a d uuuur uuuur uuur r ur

K

I

B E

A J

I F

E

C' D'

B' A'

B A

Ta có đẳng thức sau: 1 1 '

EF  BD BC

uuur uuur uuuur

nên ba véc tơ EF,BD,BC'uur uuur uuur đồng phẳng

suy ra đường thẳng EF song song với mp(BDC’)

* Giả sử H là hình chiếu của C lên (EFK) Ta có

CHuuur uur=CE+EHuuur uur=CE+mEF nFKuur+ uur

Ta tìm m, nsao cho: CHuuur uur uuur uur^EF,CH^FK

CEuuur b d mEFr ur uuur  ar b d nFKr ur uuur  ar br

Suy ra CH EFuuur uuur. 0�7m3n2 ; 0 1 1

BÌNH LUẬN: tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp

véc tơ rất phức tạp học sinh nên tọa độ hóa để tính thì ngắn gọn.

KẾT LUẬN

Để áp dụng được phương pháp VÉC TƠ cho các quan hệ hình học, ta cần lựachọn bộ véc tơ gốc phù hợp, nếu không tính toán sẽ rất phức tạp Phương pháp thíchhợp cho những bài toán chứa sẵn yếu tố vuông góc lấy từ tam giác cân, vuông, hìnhchữ nhật hay tứ giác có các đường chéo vuông góc với nhau…

Giải bài toán theo cách này có ưu điểm là thuật toán đơn giản nhưng tính toán nhiều

và không phải mọi bài toán hình có thể làm theo cách làm này

Các bài toán trên có thể giải bằng phương pháp tọa độ, đơn giản hơn Tuy vậy

có nhiều bài toán giải bằng PP véc tơ lại sáng sủa hơn, đặc biệt là những bài toánchứng minh quan hệ thẳng hàng hay song song

Số lượng các bài tập còn ít, đơn điệu Hy vọng với sự bổ sung của nhiềungười, nội dung này sẽ phong phú hơn

Học sinh lớp 11, 12 sử dụng phương pháp véc tơ trong HHKG cũng sẽ thu đượckết quả rất tốt

Phương pháp tọa độ trong không gian có rất nhiều ứng dụng trong luyện thiđại học, do khuôn khổ đề tài nên không đề cập GV và HS có thể tìm thấy trongnhiều tại liệu luyện thi Ở đây tác giả chỉ dừng lại ở phương pháp véc tơ trong khônggian vì nội dung này ít được để ý mặc dù ứng dụng khá rộng rãi và không quá khó đểthực hiện

III BÀI TẬP THỰC HÀNH

Sau đây là một số bài tập tương tự, có thể giải được bằng phương pháp véc tơ GV

có thể sử dụng làm tư liệu bồi dưỡng HSG.

BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Qua 3 đỉnh A, B, C vẽ cácđường thẳng song song với nhau cắt (O) lần lượt tại A, B, C. Chứng minh rằngtrọng tâm của các tam giác ABC  , BCA  , CAB  thẳng hàng.

FA

FS EF

ER DE

DQ CD

CP BC

BN AB

I Gọi E, F lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng DC và CI Chứng minh rằng AE DF

điểm B’, C’ sao cho AB.AB’ = AC.AC’ Gọi M là trung điểm của đoạn BC Chứngminh rằng: AM  B’C’

PB

PA NA

NC MC

MB



 Chứng minh rằng: CP  MN và CP = MN

BC) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và DC Chứng minh rằng: MN  DF

sao cho AP = AQ Kẻ AH vuông góc DP tại H Chứng minh rằng CH QH

góc của H lên AC, M là trung điểm của HD Chứng minh rằng AM  BD

điểm cạnh AB, E là trọng tâm ∆ACD Chứng minh rằng: IE  CD

góc từ C tới AB, E là chân đường vuông góc từ D đến AC, F là điểm thuộc đoạn

DB

DA FE

DE

 Chứng minh rằng BE  CF

người ta lấy điểm M khác A và B Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của điểm M trên cácđường thẳng AD, AB, BC, CD Chứng minh rằng PQ  RS và giao điểm của chúngnằm trên một đường chéo của hình chữ nhật