Đề thi HSG lớp 9 và thi vào cấp 3

K là trung điểm của đoạn thẳng AE.Đờng thẳng EF đi qua E và vuông góc với đòng thẳng AB F  AB cắt đờng thẳng đi qua C và vuông góc với đờng thẳng BC tại D.. Đờng thẳng AM cắt các đờng t

bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học s phạm hà nội Đề chính thức

đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên năm 2005

Môn: Toán 2 Ngày thi thứ hai: 15/06/2005 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1 Cho P(x) =

(x-2

3

)3+(x+

2

1

)3+(x+1)3+(x+2)3 , thực hiện các phép tính có thể viết P(x) dới dạng P(x)= a x3 + b x2 +c x +

d

Hãy tính tổng S = a + b + c +d

Câu 2 Cho 4 số tơng đơng a,b,c,d Đặt:

x = 2a + b - 2 cd , y = 2b + c - 2 da

z = 2c + d - 2 ab , t = 2d + a - 2 bc

Chứng minh rằng trong 4 số x, y, z, t có ít nhất hai số dơng.

Câu 3: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho số T = 2n + 3n + 4n là bình phơng của một số nguyên.

Câu 4: Cho tam giác đều ABC, E là một điểm thuộc cạnh AC (E ≠ A)

K là trung điểm của đoạn thẳng AE.Đờng thẳng EF đi qua E và vuông góc với đòng thẳng AB (F  AB) cắt đờng thẳng đi qua C và vuông góc với đờng thẳng BC tại D.

a./ Chứng minh tứ giác BCKF là hình thang cân.

b./ Chứng minh KE.EC = ED.EF

c./ xác định vị trí của E sao cho đoạn KD có độ dài ngắn nhất Câu 5: Trên mặt bàn có 2005 đồng xu kích thớc bằng nhau, mỗi đồng

xu có hai mặt: một mặt màu xanh, một mặt màu đỏ, tất cả các đồng xu

đều ngửa mặt xanh lên trên Thực hiện trò chơi sau đây: mỗi lợt chơi phải đổi mặt 4 đồng xu nào đó trên mặt bàn Hỏi sau 2006 lợt chơi có thể nhận đựoc tất cả2005 đồng xu trên mặt bàn đều ngửa mặt đỏ lên trên hay không? Giải thích tại sao.

Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

bộ giáo dục và đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã hội chủ nghĩa việt nam

trờng đại học s phạm hà nội Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Đề chính thức

Đề thi tuyển sinh vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2008

Môn thi: Toán học

(Dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên tin)

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: Ba số dơng a, b, c thoả mãn: b ≠ c , a + b ≠ c và a + b = ( a + b - c )2

Chứng minh đẳng thức:

c b

c a c

b b

c a a















2 2

) (

) (

Câu 2:

1 Với mỗi số dơng a thoả mãn a3 = 6(a+1), Chứng minh phơng trình sau vô nghiệm:

x2 + ax + a2 - 6 = 0

2 Tìm tất cả các giá trị của a và b sao cho:

2(a2 +1)(b2+1) = (a+1)(b+1)(ab+1)

Câu 3: Ba số nguyên dơng a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn đồng thời các điều kiện:

i) a là ớc của b + c + bc ii) b là ớc của a + c + ac iii) c là ớc của a + b + ab

1, Hãy chỉ ra một bộ ba số (a; b; c) thoả mãn các điều kiện trên

2, Chứng minh rằng a, b, c không thể đồng thời là các số nguuyên tố

Câu 4: Cho tam giác ABC Một đờng tròn (C ) đi qua các điểm A, B và cắt các cạnh CA, CB

tại các điểm L, N tơng ứng (L ≠ A, L ≠ C, N ≠ B, N ≠ C) Gọi M là trung điểm của cung LN của đờng tròn (C ) v M nà M n ằm trong tam giác ABC Đờng thẳng AM cắt các

đờng thẳng BL và BN tại các điểm D và F tơng ứng Đờng thẳng BM cắt các đờng

thẳng AN và AL tại các điểm E và G tơng ứng Gọi P là giao điểm của AN và BL

1, Chứng minh DE // GF

2, Nếu tứ giác DEFG là hình bình hành, hãy chứng minh:

a) Tam giác ALP đồng dạng với tam giác ANC

b) DF  EG

Câu 5: Cho 13 điểm phân biệt nằm trong hay trên cạnh một tam giác đều có cạnh bằng 6cm

Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong số 13 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vợt quá 3 cm

Hết

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

đại học quốc gia hà nội cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã hội chủ nghĩa việt nam

trờng đại học ngoại ngữ Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên ngoại ngữ năm 2008

môn thi: toán

đề chính thức

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 08 - 06 - 2008 Đề thi gồm: 01 trang

(Chú ý: Thí sinh không sử dụng bất kì tài liệu nào, CBCT không giải thích gì thêm)

Câu 1: ( 2,0 điểm)

Cho biểu thức:

P = (

y x

y y x

y x x y y x

y x x

y y x

y x















)

3

Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với x, y thoả mãn điều kiện:

x > 0 , y > 0 và x ≠ y

Câu 2: (3,0 điểm )

1) Giải phơng trình:

3

3 x 1  x 2  1  x  3x 2

2) Tìm x, y là các số nguyên tố thoả mãn đẳng thức: x2 - xy - y + 2 = 0

Câu 3: (3,0 điểm)

Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và C là điểm chính giữa của cung AB Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC Đờng thẳng đi qua hai điểm A và K cắt đờng tròn (O) tại điểm

M (M ≠ A) Kẻ CH vuông góc với AM (với H là chân đờng vuông góc) Đờng thẳng OH cắt đ-ờng thẳng BC tại N, đđ-ờng thẳng MN cắt đđ-ờng tròn (O) tại điểm D (D ≠ M)

1) Chứng minh tứ giác BHCM l hình bình hành.à M n

2) Chứng minh hai tam giác OHC và OHM bằng nhau

3) Chứng minh ba điểm BHD thẳng hàng

Câu 4 (1,0 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nhỏ hơn –1 của phơng trình:

) 1

2





x x

Câu 5 (1.0 điểm)

Cho a, b là các số không âm thoả mãn a2 + b2 ≤ 2 , hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

) 2 ( 3 ) 2 (

a b a b a b a

-hết -Họ và tên thí sinh: Ngày sinh:

Số báo danh: Phòng thi:

bộ giáo dục và đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã hội chủ nghĩa việt nam trờng đại học s phạm hà nội Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc

đề chính thức

đề thi tuyển sinh vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2008

Môn thi: Toán học

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào khối chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: Cho biểu thức:

2 :

2

b a a

ab

a ab b

b b a

b a b a

b































với a > 0 , b > 0, a ≠ b

1 Rút gọn biểu thức P

2 Tìm a và b sao cho b =  2

1



a và P = -1

Câu 2: Cho phơng trình: 2  2 1 2







1 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

2 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình, tìm tất cả các giá trị của m sao cho:

55 1

2 1 2

2 1 2 1 1

2 2

1

x x x x x

x x

x











Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại C Trên cạnh AB lấy điểm M tuỳ ý (M ≠ A,

M ≠ B) Ký hiệuO, O1, O2 lần lợt là tâm các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMC, BMC.

1.Chứng minh 4 điểm C, O1, M, O2 cùng nằm trên một đờng tròn (C).

2 Chứng minh điểm O cũng nằm trên đờng tròn (C).

3 Xác định vị trí của M để đờng tròn (C) có bán kính nhỏ nhất.

Câu 4: Các số thực a, b, c, d thoả mãn đồng thời các điều kiện:

i) ac - a - c = b2 - 2b

ii) bd - b - d = c2 - 2c iii) b ≠ 1, c ≠ 1.

Chứng minh đẳng thức: adbcbcad.

Câu 5 Các số thực không âm x,y,z đôi một khác nhau và thoả mãn: (z+x)

(z+y)=1.

Chứng minh bất đẳng thức:

1 1

1

2 2









x

Hết

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4 điểm): Cho phơng trình (ẩn x):

2 1 2 2 2 5 5 2 2 3 7 0 *

4



















M

a, Giải phơng trình khi m = 3.

Gọi x1,x2,x3 là các nghiệm của phơng trình (*) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

3 2 3 1 2 1

2 3

2 2

2

1 x x x x x x x x x

Câu 2 (3 điểm):Giải hệ phơng trình: 



















xy y

x xy

xy y

x y x

27 )

1 (

10 1

2 2 2 2 2

Câu 3(3 điểm): Cho x, y là x + y ≤ 2.

1 1

12

y x xy

xy





12

41

Câu 4 ( 2,5 điểm ): Cho đa thức f (x) = ax2 + bx + c ( a, b, c là cá số

nguyên và a ≠ 0 ) Biết f (2005) = 3

Tìm tất cả các số nguyên không thể là nghịêm của phơng trình:

ax2 + bx + c = 0 ( ẩn là x ).

Câu 5 ( 7,5 điểm ): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đờng tròn (O).Các đờng cao AD, BE, CF kéo dài cắt đờng tròn (O) lần lợt tại A1, B1,

C1.

a) Tính tổng:

CF

CC BE

BB AD



b) Điểm M di chuyển động trên cung nhỏ BC (trừ B, C) của đờng tròn (O) Gọi I, K lần lợt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC.

Chứng minh : IK luôn đi qua một điểm cố định.

c) Chứng minh : Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:

6 2 sin

1 2 sin

1 2 sin

1







C B

A

sở giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh

môn: toán

đề chính thức Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian

giao đề )

Bài 1 (4 điểm)

a Tính giá trị biểu thức:

2

3 1 1 2

3 1 2

3 1 1 2

3 1

















M

b.Giải phơng trình: 1 x 8  x  1 x8  x  3

Bài 2: (2 điểm)

Cho phơng trình x2  3 3  2x  5  1 0 (1)

Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình (1) Tính giá trị của biểu thức:

2

2006 1

2007 2

2007 1

2008 2

2008

x

Bài 3: (4 điểm)

a Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: xyxyx2 y2

b Cho x > 0 , y > 0 , thoả mãn

4

3



y x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy

xy y x

A 2 2 2  2  5





B i 4 à M n (2,5 điểm)

Giải hệ phơng trình:  

























11 2 8

0 1 12 3 1 2

3

2 2

2 2 3

x y x

y x x

y x x

Bài 5 (7,5 điểm)

1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Đờng tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC Nối AI kéo dài cắt đờng tròn (O) tại K (K ≠ A).

a Cho BC cố định, A chuyển động trên cung lớn BC Tìm vị trí của A để

AI lớn nhất.

b Chứng minh rằng: IB.IC = 2r.IK

2 Cho đờng tròn (O) nội tiếp hình vuông ABCD cạnh a Gọi tiếp điểm trên các cạnh BC và CD lần lợt là H và K Gọi E là điểm chuyển động trên cung nhỏ HK Tiếp tuyến của đờng tròn tâm O tại E cắt AB tại M, cắt AD tại N Tìm vị trí của

E để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất.

- hết

bộ giáo dục và đào tạo

Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên năm 2006

Môn: Toán (dành cho ngày thi thứ nhất) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (1,5 điểm)

Cho a, b, c là ba số phân biệt khác không và thoả mãn điều kiện abc 0.

Đơn giản biểu thức:











































c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b

a P

Câu 2 (1,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T xyxz trong đó x, y, z là ba số

d-ơng thay đổi luôn thoả mãn điều kiện xyz xyz  1

Câu 3 (2 điểm)

Giải hệ phơng trình: 



















2 2

2 2

35

14 3

7 2

4

y z

x

x xz

y x xz

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho đờng tròn (O) tâm O, đờng kính AB E là một điểm nằm trong đoạn OA; M là một điểm nằm trong đoạn AE; CD là dây cung vuông góc với đờng kính AB tại điểm

E Đờng thẳng DM cắt (O) tại điểm N (khác điểm D) Đờng tròn (O1) tâm O1 bán kính

r tiếp xúc với (O) tại điểm J thuộc cung nhỏ CN và tiếp xúc với các đờng thẳng CM và

DN tại các điểm I và K tơng ứng Biết AM = a ; ME = b ; EB = c

1./ Chứng minh tam giác O1KM đồng dạng với tam giác MBC

2./ Tính độ dài các đoạn OO1, KM và O1M theo a, b, c và r

3./ Chứng minh rằng:

b a r

1 1 1





Câu 5 (1,5 điểm)

Tìm các chữ số x, y, z, t, u thoả mãn điều kiện xyztu xyztu trong đó x, y là chữ số hàng chục, đơn vị của số xy; z, t, u là chữ số hàng trăm, chục, đơn vị của số

ztu; x, y, z, t, u là chữ số hàng vạn, nghìn, trăm, chục, đơn vị của số xyztu

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học s phạm hà nội Đề chính thức

(1)

đề thi tuyển sinh lớp 10thpt chuyên năm 2006

Môn: Toán (dành cho ngày thi thứ hai) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1:(2,5 điểm)

Giải phơng trình: 3x 4x 16x 72  6

Câu 2: (1,5 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x, y thoả mãn phơng trình

y 1y4 x 12 x2

Câu 3: (1,0 điểm)

Giả sử x1 và x2 là hai số nguyên dơng đã cho ; a và b theo thứ tự là trung bình cộng và trung bình nhân của x1 và x2 Biết rằng tỉ số

b

a

là một số nguyên dơng

Chứng minh rằng x1 = x2

Câu 4: (4,0 điểm)

Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm A và B Biết rằng (C1) có tâm O1 và bán kính r1 = 1 cm ; (C2) có tâm O2 và bán kính r2 = 2 cm ; AB = 1 cm và hai

điểm O1 và O2 ở hai phía của đờng thẳng AB

Xét đờng thẳng (d) qua A, cắt (C1 ) và (C2) tại các điểm M và N sao cho A nằm trong đoạn MN Tiếp tuyến của (C1) tại M và tiếp tuyến của (C2) tại N cắt nhau tại

điểm E

1./ Chứng minh rằng tứ giác EMBN là tứ giác nội tiếp

2./ Tính độ dài các cạnh của tam giác AO1O2

3./ Chứng minh rằng 2EM + EN ≤ 4 3  15cm

4./ Giả thiết thêm rằng ba điểm A, B, E thẳng hàng Chứng minh rằng (d) là đ-ờng phân giác ngoài của góc O1AO2.

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho X là một tập hợp gồm 700 số nguyên dơng đôi một khác nhau, mỗi số không lớn hơn 2006 Chứng minh rằng trong tập hợp X luôn tìm đợc hai phần tử x, y sao cho x - y thuộc tập hợp E = 3 ; 6 ; 9

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

trờng đại học quốc gia hà nội đề thi tuyển sinh lớp 10

trờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2006

Môn: Toán (vòng 1) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I:(2,0 điểm)

Giải hệ phơng trình:    

















4 1

4

2

xy y

x

y x xy x

Câu II: (2,0 điểm)

Với những giá trị của x thoả mãn điều kiện x ≥  12, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x) 2x2 5x 2 2 x 3 2x











Câu III: (2,0 điểm)

Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số thoả mãn đồng thời hai tính chất:

(i) Khi chia số đó cho 100 ta đợc số d là 6, (ii) Khi chia số đó cho 51 ta đợc số d là 17

Câu IV: (3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy lần lợt các điểm M, N, P, Q sao cho : MN// AC, PQ//AC và góc AMQ = 30o

1) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng MQ, C' là điểm đối xứng với C qua đờng thẳng NP Giả sử đờng thẳng QA' cắt đoạn thẳng NP tại E, đờng thẳng PC' cắt

đoạn thẳng MQ tại F Chứng minh rằng năm điểm E, F, Q, D, P nằm trên cùng một đ-ờng tròn

2) Biết AC = 3MN, tính diện tích hình thang MNPQ theo a

Câu V: (1,0 điểm)

Chứng minh rằng mỗi số dơng a cho trớc, đa thức

f(x) = x4 + ax2 + 2 luôn là tổng bình phơng của hai đa thức bậc hai

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: