1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 2 Tìm các giá trị của m để đồ thị có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.. 3 Tìm số thực a để phương trình: , chỉ có duy nhất một nghiệm t
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Đề chính thức
Số báo danh
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011
Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu I (4,0 điểm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
Câu II (6,0 điểm).
3) Tìm số thực a để phương trình: , chỉ có duy nhất một nghiệm thực
.Câu III (2,0 điểm) Tính tích phân:
Câu IV (6,0 điểm).
1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt Tìm để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất 2) Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng và hai elíp
đi qua điểm M thuộc đường thẳng Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp có độ dài trục lớn nhỏ nhất
3) Trong không gian cho điểm và hai đường thẳng
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục , sao cho (P) cắt hai đường thẳng lần lượt tại A, B thoả mãn
Câu V (2,0 điểm) Cho các số thực thoả mãn:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
HẾT .
Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm có 4 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT
Ngày thi: 24 - 3 - 2011
Câu I
4,0 đ 2,0đ1) Với Tập xác định: ta được hàm số
Giới hạn tại vô cực:
Sự biến thiên:
0,5
Hàm số đồng biến trên các khoảng
Hàm số nghịch biến trên khoảng Điểm cực đại của đồ thị điểm cực tiểu của đồ thị
0,5
Bảng biến thiên:
0,5
Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3)
Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng
0,5
2)
2,0đ Ta có y' có biệt số là tam thức bậc hai của x.
Nếu thì , suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn
0,5
Dấu của y':
0,5
Chọn Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao
-2 -1
-1
3
2
x
y
O
x y' y
1
1
1
3
'
y x1 x2
0 0
Trang 3nghiệm Pt (1) có:
Câu II
0,5
0,5
0,5
2)
BPT đã cho tương đương với
0,5 3)
2,0đ Nhận xét: Nếu là nghiệm của (2) thì cũng là nghiệm của (2),
0,5
suy ra điều kiện cần để (2) có nghiệm duy nhất là Với , thì từ (2) suy ra
0,5 Với thì phương trình (2) trở thành
Vậy
1,0
Câu
III
2,0đ
Ta có:
0,5
Suy ra
0,25
Trang 40,75
0,5
Câu
IV
6,0đ
1)
2,0đ Kẻ DH MN , do (DMN) (ABC) suy ra DH (ABC).Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. 0,5
Ta có: SAMN = AM.AN.sin600 = ; SAMN = SAMH + SANH
= AM.AH.sin300+ AN.AH.sin300 = (x+y) Suy ra = (x+y) x+y= 3xy (0 x,y 1 )
0,5
Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN:
S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN
= AD.AM.sin600+ AD.AN.sin600
+ DH.MN + AM.AN.sin600
Từ
0,5
0,5
2)
2,0đ Hai elíp có các tiêu điểm Điểm Vậy có độ dài trục lớn nhỏ 0,5
nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất
0,5
Gọi là điểm đối xứng với qua , suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0,5
Toạ độ điểm
0,5
3)
2,0đ Giả sử đã xác định được (P) thỏa mãn ycbt.
Suy ra
0,5
H A
B C
D
M N
Trang 50,5
suy ra (loại do (P) chứa trục )
0,5
suy ra (thỏa mãn bài toán)
0,5
Câu V
Ta có: là ba nghiệm thực của phương trình
Từ đồ thị hàm số suy ra pt (3) có ba nghiệm thực khi và chỉ khi
, khi trong ba số a, b, c có hai số bằng 1 và một số bằng -2.
, khi trong ba số a, b, c có hai số bằng -1 và một số bằng 2.
0,5
0,5
khi có hai số bằng -1 và một số bằng 2, hoặc hai số bằng 1 và một số bằng -2
0,25
GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
