PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG - QUANG HỌC GẦN TRỤC BÀI 3

Nhắc lại một số kết quả đạt được đối với hệ tạo ảnh gần trục Nếu gọi y1, V1 là hai thông số đặc trưng cho ánh sáng đi vào hệ và y2, V2 là hai thông số đặc trưng cho ánh sáng đi ra khỏi h

Trang 1

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Nhắc lại một số kết quả đạt được đối với hệ tạo ảnh gần trục

Nếu gọi y1, V1 là hai thông số đặc trưng cho ánh sáng đi vào hệ và y2, V2 là hai thông

số đặc trưng cho ánh sáng đi ra khỏi hệ thì mối liên hệ giữa 2 cặp thông số này được diễn tả bằng hệ phương trình:

Hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau:

hay

Bảng 1: Một số ma trận truyền tia thường sử dụng trong các hệ quang học

Trang 2

2 Mô tả sự lan truyền sóng trong Quang hình học

Khảo sát một chùm sáng hay tập hợp của nhiều tia sáng phát ra từ cùng một điểm.

Đối với mỗi tia sáng trong chùm, gọi r1 là tỷ số giữa độ cao y1 của tia và góc v1 của tia, tức:

Nếu chúng ta thừa nhận mỗi tia sáng trong chùm tia là pháp tuyến của một mặt sóng, mặt sóng thu được sẽ có dạng mặt cầu.

Sử dụng lại hệ phương trình (1) đã dẫn ra ở trên:

Trang 3

Chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:

(2)

Đặt

R1, R2 mang ý nghĩa là bán kính rút gọn của mặt sóng trước khi đi vào hệ và sau khi rời khỏi hệ Việc sử dụng bán kính rút gọn sẽ rất thuận tiện, bất cứ khi nào một tia sáng đi qua một mặt phẳng biên giữa hai môi trường, thì không có sự thay đổi giá trị R của mặt sóng.

Biểu thức (2) được viết lại:

Đây là nội dung của định luật ABCD Nó cho phép chúng ta tính toán đơn giản bằng cách nào độ cong của mặt sóng cầu ở tâm thay đổi tử mặt phẳng quy chiếu này đến mặt phẳng quy chiếu tiếp theo.

3 Đặc trưng ma trận của một hệ cộng hưởng quang học

Hệ cộng hưởng quang học là một bộ phận quan trọng trong máy phát laser, giúp tạo môi trường mật độ đảo lộn để ánh sáng phát ra có cường độ lớn, độ đơn sắc cao, tính kết hợp cao và tính định hướng lớn Cấu tạo cơ bản của hệ cộng hưởng bao gồm một môi trường hoạt tính đặt giữa hai gương có độ phản xạ cao: một gương phản xạ hoàn toàn và một gương phản xạ một phần Ánh sáng phát ra từ môi trường hoạt tính sẽ bị phản xạ nhiều lần giữa hai gương, dẫn đến sự tăng mạnh về cường độ.

Chúng ta sẽ khảo sát một hệ cộng hưởng laser tiêu biểu có sơ đồ minh họa như hình bên dưới:

Trang 4

Một thỏi khuyếch đại laser (môi trường hoạt tính) chiều dài L được đặt giữa hai gương phản xạ cách nhau một khoảng b Vì thỏi laser tương đương với một bản phẳng song song, ma trận dịch chuyển đặc trưng cho khoảng trống giữa 2 gương sẽ có độ dày rút gọn:

Với n là chiết suất của vật liệu laser.

Đặt mặt phẳng quy chiếu RP1 tại mặt phẳng gương phản xạ một phần và xem như tia tới đầu tiên đi tới RP1 theo hướng +z sau khi phát ra từ môi trường khuyếch đại Sau

đó, một phần của tia sáng sẽ bị phản xạ trở lại bởi gương phát (gương phản xạ một phần), đi qua môi trường khuyếch đại đến gương phản xạ hoàn toàn, bị phản xạ ngược trở lại, đi qua môi trường khuyếch đại một lần nữa, rồi đến gương phát Quá trình cứ thế tiếp diễn.

Nếu chúng ta đặt mặt phẳng quy chiếu RP2 tại vị trí ngẫu nhiên so với RP1, chúng ta

có thể viết được ma trận truyền tia tổng hợp M liên hệ với 2 mặt phẳng quy chiếu này và đặc trưng cho “chuyến đi xoay vòng” qua hệ cộng hưởng.

Gọi P1, P2 là độ tụ của hai gương phản xạ ở hai đầu, chúng ta có:

Trang 5

Để xác định công thức nào sẽ được dùng, chúng ta tính giá trị của biểu thức

và xét xem nó nằm trong khoảng nào: trong khoảng từ 0 đến 1, trên khoảng này hoặc dưới khoảng này.

Nếu λ1 và λ2 là trị riêng của ma trận đơn trị (unimodular) thì một trong những vector riêng của nó sẽ có các thành phần nằm trong tỷ số và Những tỷ

số này là các giá trị hay các giá trị R, chúng không thay đổi khi lan truyền trong hệ cộng hưởng Nếu một mặt sóng với độ cong này tồn tại trong hệ cộng hưởng, nó sẽ tái sản sinh chính nó.

Nếu một giá trị R không thay đổi khi lan truyền, chúng ta có 2 phương trình:

và Khử R2 chúng ta nhận được phương trình bậc 2 theo R1:

Lời giải của phương trình:

Trang 6

4 Sự lan truyền của chùm Gauss và thông số độ cong phức của nó

Chùm Gauss là một thuật ngữ để chỉ một chùm bức xạ kết hợp bị giới hạn nhiễu xạ, năng lượng của nó chỉ tập trung gần trục lan truyền và giảm nhanh khi xa trục theo hàm Gauss Cách thức chùm Gauss lan truyền trong không gian tự do xuất phát từ phương trình sóng Gần trục quang học, sự phân bố biên độ A(r,z) của mode Gauss cơ bản được mô tả bởi:

Trong biểu thức này, số hạng thể hiện sự thay đổi pha dọc theo trục lan truyền,

số hạng thể hiện sự lệch pha bé phụ thuộc vào z theo biểu thức

(Ở đây: λ là bước sóng của ánh sáng)

Hệ số r2 chứa phần thực và phần ảo Phần thực diễn tả, theo hướng bán kính, độ lớn của biên độ thay đổi theo hàm Gauss Vì vậy, bán kính ω là “bán kính vết”, tại đó biên độ ánh sáng giảm đi lần và cường độ bức xạ giảm đi giá trị tại trung tâm Phần ảo mô tả sự dao động bậc hai pha của trường sóng theo bán kính và số hạng R đặc trưng cho bán kính cong của bề mặt có pha không đổi, các mặt sóng lan truyền theo hướng +z.

Khi chùm Gauss lan truyền trong không gian, hiệu ứng nhiễu xạ làm cho nó giãn rộng và phân tán đi một ít, vì vậy cả bán kính vết ω và bán kính cong R thay đổi ít theo trục

z Xuất phát từ phương trình sóng, quy luật kiểm soát hai thông số này là:

Trang 7

Hình trên minh họa tính chất của các thông số này khi được vẽ trong mặt phẳng yz Người ta thấy rằng đường cong thể hiện quỹ tích bán kính là một hyperbol, có khoảng cách gần trục z nhất là ω0 tại z = 0 và đường tiệm cận của nó tại góc

Các bề mặt có pha không đổi là những mặt phẳng gần “cổ” của chùm Gauss và chúng

có độ cong cực đại tại khoảng cách tính từ tâm Vùng chính giữa có chiều dài

Trang 8

2z0, có tiết diện của chùm gần như là hằng số và đôi khi được nhắc tới như là “trường gần” (near field) và vùng tiệm cận phân kỳ như là “trường xa” (far field).

Số hạng ban đầu diễn tả sự thật là cường độ điện trường ở vùng cổ chùm hay tâm chùm lớn hơn ở vùng “trường xa”, nơi mà chùm bị giãn rộng Nhưng năng lượng tổng cộng trong chùm là như nhau tại mọi giá trị của z, 86% năng lượng nằm lại bên trong contours

Phương trình xác định bán kính vết ω(z) và bán kính cong R(z) ở trên cho phép chúng ta tính toán cách thức chùm Gauss lan truyền trong không gian tự do hay băng qua khoảng trống Rõ ràng rằng, nếu một chùm Gauss gặp phải một thấu kính mỏng hay một bề mặt hội tụ có độ tụ P, thì bán kính vết của nó sẽ không thay đổi, nhưng của nó sẽ bị giảm

Một phương pháp chặt chẽ giúp cả hai thông số chùm này có thể cùng được xác định

là chúng ta kết hợp chúng thành một “thông số cong phức” a(z) Thay vì viết hệ số r2 trong biểu thức biên độ , chúng ta đơn giản viết , với q được hiểu là số phức.

Trang 9

Đối với sự khúc xạ bởi thấu kính mỏng hay bề mặt có độ tụ P, chúng ta có 4 phương trình Theo định nghĩa:

và Thứ ba, thể hiện sự thay đổi của độ phân tán và cuối cùng, ω1 = ω2 thể hiện tính bất biến của bán kính vết Kết hợp những phương trình này, chúng ta tìm được

.

Ngoài ra, chúng ta còn có thể sử dụng định luật ABCD với để tìm các thông số đặc trưng cho chùm như: bán kính vết, bán kính cong, vị trí cổ chùm, bán kính cổ chùm, (Bảng 2)

Bảng 2: Mối liên hệ giữa các ma trận của một hệ cộng hưởng và các tính chất quang

và θ nằm trong khoảng từ 0 đến π)

λ1 = exp(iθ) = cosθ + isinθ

Trong đó:

Trang 10

Bán kính cong R

Với nhánh dương:

Với nhánh âm:

Tỷ số vector riêng Thông số cong phức q

Để có dao động, thừa số cần thiết

phải là exp(2t) Các phương trình

ở trên xác định bán kính cong

của mặt sóng ngõ ra.

Các thông số chùm Gauss

1 Bán kính cong

2 Sự phân kỳ của mặt sóng

3 Bán kính chùm

4 Vị trí cổ chùm

5 Bán kính cổ chùm

6 Thông số chùm đồng tiêu

7 Nửa góc trường xa

Phân tích thành các thông số chùm Gauss, chúng ta có thể xác định từ phương trình cho 1/q:

(Đo tại mặt phẳng quy chiếu ở ngõ ra)

Từ phương trình cho q, chúng ta nhận được:

(nằm bên trái mắt phẳng quy chiếu)

Hệ hoạt động tốt khi số Fresnel

lớn và thừa số đủ lớn Nhận xét mô hình Rất yếu nếu số Fresnel không được giữ ở giá trị nhỏ.

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Trang 11

Bài tập 1 (Trang 108 hình III.9):

Một buồng cộng hưởng quang học bao gồm một gương cầu lồi có độ tụ P1 = 0.25 và một gương phẳng đặt cách nhau 1m, hai mặt phản xạ quay vào nhau Xác định tính bền hay không bền của hệ cộng hưởng và các yếu tố của nó.

Giải

Hệ cộng hưởng đã cho bao gồm 4 thành phần quang học: Gương phản xạ độ tụ P2 = 0

→ Môi trường giữa 2 gương chiết suất n chiều dài L → Gương cầu phản xạ độ tụ P1 → Môi trường giữa 2 gương chiết suất n chiều dài L.

Hai loại ma trận truyền tia được sử dụng trong bài:

 Ma trận truyền qua:

 Ma trận phản xạ:

Với : độ tụ của gương; r: bán kính cong của gương

Quy ước: Gương lồi (r > 0, P < 0); gương lõm (r < 0, P > 0)

Sau đây là phần lập trình cho bài toán thuận:

% ********************************************************************************

% Truong Dai hoc Khoa hoc Tu nhien

% Bo mon Vat ly Ung dung

% Giang vien huong dan: TS Le Vu Tuan Hung

% Ho ten hoc vien: Phan Trung Vinh

Trang 12

% ********************************************************************************

% BUOC 1: NHAP VAO CAC SO LIEU DA BIET

L=input('Nhap vao khoang cach giua guong phan xa cau va guong phang (m): ');

P1=input('Nhap vao do tu cua guong phan xa cau loi (Phai la so am): ');

while P1>0

P1=input('Phai la so am Vui long nhap lai: ');

end

P2=0; % Do tu cua guong phang bang 0

n=input('Nhap vao chiet suat moi truong giua hai guong: ');

lamda=input('Nhap vao buoc song anh sang khao sat (nm): ');

lamda=lamda*10^-9; % Doi don vi tu nm sang m

%

% ********************************************************************************

% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA MA TRAN PHAN XA

M1=[1 0;-P2 1]; % Ma tran phan xa cua guong phang do tu P2 = 0

M2=[1 L/n;0 1]; % Ma tran truyen qua chieu dai L

M3=[1 0;-P1 1]; % Ma tran phan xa cua guong cau do tu P1

M=M4*M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua he cong huong

%

% ********************************************************************************

% BUOC 3: XAC DINH TINH BEN CUA HE CONG HUONG VA CAC YEU TO CUA HE

A=M(1,1); % He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M

B=M(1,2); % He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M

C=M(2,1); % He so C la phan tu dong 2 cot 1 cua ma tran M

D=M(2,2); % He so D la phan tu dong 2 cot 2 cua ma tran M

Trang 13

Kết quả thu được từ đoạn chương trình trên:

Nhap vao khoang cach giua guong phan xa cau va guong phang (m): 1

Nhap vao do tu cua guong phan xa cau loi (Phai la so am): -0.25

Nhap vao chiet suat moi truong giua hai guong: 1

Nhap vao buoc song anh sang khao sat (nm): 657

HE CONG HUONG KHONG BEN

 Trường hợp 1: Nhập vào các dữ kiện: Hệ cộng hưởng không bền nhánh dương;

Khoảng cách L (L = 1m) giữa hai gương phản xạ; Chiết suất môi trường n (n = 1) giữa hai gương và Bán kính cong R (R = 3m) Xác định bán kính r1 của gương cầu phản xạ lồi.

Ở đây, công thức sử dụng để tính r1:

Trang 14

Sau đây là phần lập trình:

% ********************************************************************************

R=input('Nhap vao ban kinh cong cua he (m): ');

%

% ********************************************************************************

%

% ********************************************************************************

% BUOC 3: XAC DINH BAN KINH CUA GUONG PHAN XA LOI

disp('HE CONG HUONG KHONG BEN NHANH DUONG')

Trang 15

P1=double(P1) % Chuyen ket qua sang so thap phan

disp('Ban kinh cua guong phan xa loi la (m):')

r1=-2*n/P1

Nhap vao ban kinh cong cua he (m): 3

HE CONG HUONG KHONG BEN NHANH DUONG

Do tu cua guong phan xa loi la:

 Trường hợp 2: Nhập vào các dữ kiện: Hệ cộng hưởng không bền nhánh dương;

Khoảng cách L (L = 1m) giữa hai gương phản xạ; Chiết suất môi trường n (n = 1) giữa hai gương và Trị riêng λ1 (λ1 = 2) Xác định bán kính r1 của gương cầu phản xạ lồi.

Phần lập trình:

% ********************************************************************************

lamda1=input('Nhap vao tri rieng cua he: ');

%

% ********************************************************************************

%

% ********************************************************************************

% BUOC 3: XAC DINH BAN KINH CUA GUONG PHAN XA LOI

Trang 16

disp('HE CONG HUONG KHONG BEN NHANH DUONG')

P1=double(P1) % Chuyen ket qua sang so thap phan

disp('Ban kinh cua guong phan xa loi la:')

r1=-2*n/P1

Nhap vao tri rieng cua he: 2

HE CONG HUONG KHONG BEN NHANH DUONG

Do tu cua guong phan xa loi la:

Bài tập 2 (Trang 126 hình III.11.a):

Một buồng cộng hưởng quang học gồm 2 gương cầu lõm có bán kính 10m đặt cách nhau 34cm và quay mặt phản xạ vào nhau Buồng cộng hưởng này bền hay không bền? Tính các yếu tố trong nó?

Giải

Hệ cộng hưởng đã cho bao gồm 4 thành phần quang học: Gương phản xạ độ tụ P2 → Môi trường giữa 2 gương chiết suất n chiều dài T → Gương cầu phản xạ độ tụ P1 → Môi trường giữa 2 gương chiết suất n chiều dài T.

Hai loại ma trận truyền tia được sử dụng trong bài:

Trang 17

 Ma trận truyền qua:

 Ma trận phản xạ:

Với : độ tụ của gương; r: bán kính cong của gương

Quy ước: Gương lồi (r > 0, P < 0); gương lõm (r < 0, P > 0)

Sau đây là phần lập trình cho bài toán thuận:

% ********************************************************************************

T=input('Nhap vao khoang cach giua guong phan xa cau va guong phang (m): ');

P1=input('Nhap vao do tu cua guong phan xa cau lom thu nhat (Phai la so duong): ');

lamda=input('Nhap vao buoc song anh sang khao sat (nm): ');

lamda=lamda*10^-9; % Doi don vi tu nm sang m

%

% ********************************************************************************

M2=[1 T/n;0 1]; % Ma tran truyen qua chieu dai L

M4=[1 T/n;0 1]; % Ma tran truyen qua chieu dai L

%

% ********************************************************************************

% BUOC 3: XAC DINH TINH BEN CUA HE CONG HUONG VA CAC YEU TO CUA HE

m=(A+D)/2;

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	800 KB