Bài tập Matlab - bài 2 Sơ lược lý thuyết ma trận trong quang học

Khi sử dụng ma trận để mô tả dạng hình học của ảnh qua những hệ thống thấu kính đặt trên cùng một trục quang học phải thỏa mãn hai điều kiện xấp xỉ sau:•Xem ánh sáng là các tia riêng lẻ

HV: LÊ PHÚC QUÝ TRẦN THỊ THỦY PHẠM THỊ HỒNG HẠNH CBHD: TS LÊ VŨ TUẤN HÙNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VẬT LÝ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGHÀNH: QUANG HỌC



BÀI TẬP MATLAB

Giới thiệu

Năm 1857, nhà toán học Cayley đã phát minh ra ma trận.

Những năm 1920 Heisenberg áp dụng ma trận vào cơ học lượng tử.

Và sau đó, được ứng dụng nhiều để tính toán trong quang học

Giả sử chúng ta có cặp phương trình tuyến tính:

U = Ax + By

V = Cx + Dy Trong đó: A, B, C, D là các hằng số đã biết.

x và y là các biến.

Chúng ta có thể viết lại hệ phương trình trên dưới dạng ma trận như sau:

Trong đó, mỗi nhóm kí hiệu [] gọi là ma trận.

 

 

 

Q P

B A N

TC RA

QD PB

QC PA

D C

B A T R

Q P MN







n k

kj ik

A C

12

24

793

.12.31.14.3

3.12.21.14.231

2413

12

34489

.27.413.29.4

9.37.113.39.19

13

7924

31

MN L

4111

.21.43.22.4

1.31.13.32.113

1224

31

34483

.62.141.64.14

3.42.111.44.113

1

24614

411

N LM

Tích của các ma trận chỉ có tính kết hợp chứ không có tính giaohoán.

* Tích của nhiều ma trận

 tích của ma trận L, M, N ta có thể tính theo hai cách:

L(MN) hoặc (LM)N

Ví dụ:

B Q A P D

C

B A T

R

Q P MN

Q P

B A N

Khi sử dụng ma trận để mô tả dạng hình học của ảnh qua những hệ thống thấu kính đặt trên cùng một trục quang học phải thỏa mãn hai điều kiện xấp xỉ sau:

•Xem ánh sáng là các tia riêng lẻ chứ không phải là các mặt sóng.

•Chỉ xét những tia gần trục, những tia này gần như song song với trục  sử dụng xấp xỉ bậc nhất cho hàm sin và hàm tan các góc hợp bởi các tia này và trục.

1 Ma trận truyền tia

Một tia sáng  các mặt khúc xạ sẽ đặc trưng bởi 2

thông số là tọa độ và góc mà nó tạo với trục Oz.

Mặt phẳng vuông góc với trục Oz gọi là mặt phẳng

quy chiếu (Reference Plane – RP).

Tại mặt phẳng quy chiếu, mỗi tia được đặc trưng bởi

độ cao y và góc V tạo với trục Oz.

Khi tia sáng truyền qua hệ thống thấu kính khúc xạ chỉ có 2 quá trình truyền cơ bản: Truyền qua

Truyền qua: tia sáng truyền thẳng qua môi trường đến mặt khúc xạ kế tiếp

chúng ta cần biết độ dày t của môi trường và chiết suất khúc xạ n.

Khúc xạ tại mặt phân cách

Khúc xạ tại mặt phân cách giữa hai môi trường có chiết suất khác nhau.

Để xác định được độ lệch của tia khúc xạ chúng ta cần biết bán kính cong của mặt khúc xạ và hai giá trị chiết suất của hai môi trường.

2

V

y D C

B

A V

y

Nếu tia sáng truyền qua mặt phẳng quy chiếu thứ nhất được đặc trưng: y1 và V1

sau đó qua mặt phẳng quy chiếu thứ hai được đặc trưng: y2 và V2.

Chúng ta có thể biểu diễn y2, V2 theo y1, V1 dưới dạng ma trận như sau:

Xét tia sáng truyền qua một môi trường có chiều dài t và chiết suất n:

n n

2

10

T1

2

&

1

V

y V

y

1 0

1 T

hay

1 0



Ma trận được gọi là ma trận truyền qua

Xét tia sáng truyền tới một mặt cầu bán kính r phân

cách hai môi trường chiết suất n1 và n2.

r y i

2 2

2

1

0

1

2

&

1

V

y r

n n V

2 2

2

1

01

V

y r

n n V

1 2

r

n n

0 1

f

R

ma trận khúc xạ của thấu kính mỏng :

Trong đó: f là tiêu cự thấu kính.

Quy ước: f > 0 với thấu kính hội tụ

f < 0 với thấu kính phân kỳ.

Ngoài ra người ta còn dùng khái niệm độ tụ với quy ước dấu tương tự.

P R

4 Ma trận truyền tia cho một hệ thống

Xét sự truyền ánh sáng qua một hệ thống gồm n mặt khúc xạ

Tóm lại, hệ thống gồm n mặt khúc xạ sẽ có 2n+2 mặt phẳng quy chiếu.

RP1“ vào” nằm bên trái cách mặt khúc xạ thứ nhất một khoảng d1

RP2 và RP3 lần lượt nằm sát bên trái và bên phải của mặt khúc xạ thứ 1, tiếp tục

RP4 và RP5 nằm sát bên trái và bên phải của mặt khúc xạ thứ 2….

RP2n và RP2n+1 nằm sát bên trái và bên phải mặt khúc xạ thứ n.

RP2n+2 “ra” nằm cách mặt khúc xạ thứ n một khoảng d2.

4 Ma trận truyền tia cho một hệ thống

Ma trận truyền tia M cho một hệ thống được tích của các ma trận truyền tia thành phần theo thứ tự ngược chiều truyền của ánh sáng.

B A V

Qua (2n+2) mặt phẳng quy chiếu:

ma trận truyền tia qua hệ thấu kính:

có (2n+1) ma trận truyền tia

Giả sử ma trận M đặc trưng cho hệ thống quang học Khi đó:

5 Xác định tính chất của một hệ quang học dựa vào ma trận truyền tia

2

V

y D C

B A V

y

Trong đó: (AD – BC) = 1

a> Nếu D = 0  V2 = Cy1 + 0V1

 tức là tất cả các tia từ một điểm ở mặt

phẳng vào đều tạo với trục một góc V2 mà

không phụ thuộc vào V1 và mặt phẳng quy

chiếu RP1 được gọi là mặt phẳng hội tụ đầu

tiên của hệ thống.

Để hiểu ý nghĩa của các đại lượng A, B, C, D, chúng ta lần lượt xét các

trường hợp nếu một trong 4 đại lượng bằng 0.

b> Nếu B = 0  y2 = Ay1 + 0V1

 tất cả các tia ở điểm O tại mặt phẳng quy

chiếu RP1 sẽ truyền qua điểm I ở mặt phẳng

quy chiếu RP2.

Do đó, O và I là các điểm vật và ảnh tương

ứng và là độ khuyếch đại của hệ thống.

c> Nếu C = 0  V2 = DV1

 chùm tia tới song song đi vào hệ thống

với góc V1 so với trục sẽ rời khỏi hệ thống

theo hướng khác, hướng này họp với trục

một góc V2.

 Trong đó: là độ khuyếch đại góc tạo

bởi hệ thống.

e> Nếu A = 0 hoặc D = 0 thì từ bt (AD – BC) = 1  BC = -1.

Nếu B = 0 hoặc C = 0 thì A là nghịch đảo của D.

d> Nếu A = 0  y2 = BV1,

 tất cả các tia song song đi vào hệ thống sẽ

hội tụ tại một điểm trên mặt phẳng quy chiếu

RP2 và RP2 được gọi là mặt phẳng hội tụ thứ

hai của hệ thống.

Problem2: Một thanh thủy tinh chiều dài 2.8cm và chiết suất 1.6 có hai mặt

biên là hai mặt cầu lồi bán kính 2.4cm Một vật chiều cao 2cm, đặt trong

không khí, nằm trên trục tọa độ cách mặt cầu trái của thanh thủy tinh trên một

khoảng 8cm Tìm vị trí và kích thước của ảnh tạo bởi hệ thống.

Bài giải

Hệ quang học đã cho gồm 5 thành phần truyền tia theo thứ tự:

Môi trường không khí chiết suất n1 → Mặt cầu phân cách bán kính r1 → Môi trường thủy tinh chiết suất n2 → Mặt cầu phân cách bán kính r2 → Môi trường không khí chiết suất n1.

Hai ma trận truyền tia sử dụng trong hệ quang học là:

Ma trận truyền qua & Ma trận khúc xạ.

% BAI LAP TRINH PROBLEM 2 - BAI TOAN THUAN (CHO VAT TIM ANH)

clc

clear all

% Khai bao bien su dung

syms X2 h2 % vi tri va chieu cao anh

% BUOC 1: NHAP VAO CAC GIA TRI DA BIET

X1=input('Nhap vao khoang cach giua vat va thanh thuy tinh (cm): ');

h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (cm): ');

r1=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm): ');

while r1<0

disp('vui long nhap so lon hon 0')

r1=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm): ');

end

r2=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm):');

while r2>0

disp('Vui long nhap so nho hon 0')

r2=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm):');

end

n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat (khong khi):');

n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai(thuy tinh):');

L=input('Nhap vao chieu dai cua thanh thuy tinh (cm):');

% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA KHUC XA

M1=[1 X1/n1;0 1]; % Ma tran truyen qua trong khong khi

M2=[1 0;-(n2-n1)/r1 1]; % Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r1

M3=[1 L/n2;0 1]; % Ma tran truyen qua trong thanh thuy tinh

M4=[1 0;-(n1-n2)/r2 1]; % Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r2

M5=[1 X2/n1;0 1]; % Ma tran trong khong khi

M=M5*M4*M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

% BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI VA CHIEU CAO CUA ANH

A=M(1,1); % He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M

B=M(1,2); % He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M

disp('Anh cach thanh thuy tinh mot khoang la:')

X2=solve(B); % Vat that cho anh that nen giai B = 0

X2=double(X2)% Chuyen ket qua sang so thap phan

disp('Chieu cao cua anh:');

h2=subs(A*h1)% The X2 vao A de tim h2

% BAI LAP TRINH PROBLEM 2 - BAI TOAN NGHICH (CHO ANH TIM VAT)

clc

clear all

% Khai bao 2 bien su dung la vi tri va chieu cao vat

syms X1 h1

% BUOC 1: NHAP VAO CAC GIA TRI DA BIET

X2=input('Nhap vao khoang cach giua anh va thanh thuy tinh (cm):');

h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (cm):');

r2=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm):');

while r2<0

disp('nhap so lon hon 0')

r2=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm):');

end

r1=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm) :');

while r1>0

disp('vui long nhap so nho hon 0')

r1=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm) :');

end

n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat (khong khi):');

n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai(thuy tinh):');

L=input('Nhap vao chieu dai cua thanh thuy tinh (cm):');

% BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI VA CHIEU CAO CUA VAT

A=M(1,1); % He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M

B=M(1,2); % He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M

disp('Vat cach thanh thuy tinh mot khoang la:')

X1=double(solve(B)) % Vat that cho anh that nen giai B = 0

disp('Chieu cao cua vat:');

h1=subs(h2*A) % The X1 vao A de tim h1

% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA KHUC XA

M1=[1 X2/n2;0 1]; % Ma tran moi truong khong khi

M2=[1 0;-(n1-n2)/r2 1];% Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r2

M3=[1 L/n1;0 1]; % Ma tran truyen qua mtr trong thanh thuy tinh

M4=[1 0;-(n2-n1)/r1 1];% Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r1

M5=[1 X1/n2;0 1]; % Ma tran truyen qua moi truong khong khi

M=M5*M4*M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

Problem 4 (trang 47): Một vật cao 2 inches đặt cách màn 10 feet Tiêu cự thấu kính là bao nhiêu để ảnh thu được trên màn cao 40 inches và màn đặt cách thấu kính bao nhiêu?

Bài giải

Hệ quang học đã cho gồm 3 thành phần truyền tia theo thứ tự: Môi trường

không khí chiết suất n1 = 1 → Thấu kính mỏng tiêu cự f → Môi trường không khí

chiết suất n1 = 1.

% BAI LAP TRINH PROBLEM 4 - BAI TOAN THUAN

clc

clear all

syms x f % Khai bao 2 bien su dung la vi tri va tieu cu thau kinh

% BUOC 1: NHAP VAO CAC GIA TRI DA BIET

L=input('Nhap vao khoang cach giua vat va man (feet):');

disp('Chuyen sang don vi inches la:');

L=L*11.97 % 1 feet = 11.97 inches

h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (inches):');

h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (inches):');

n1=1; % Chiet suat cua khong khi

% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA MA TRAN THAU KINH MONG

M1=[1 x/n1;0 1]; % Ma tran truyen qua moi truong khong khi

M2=[1 0;-1/f 1]; % Ma tran khuc xa qua thau kinh tieu cu f

M3=[1 (L-x)/n1;0 1]; % Ma tran truyen qua khong khi tu thau kinh den vat

M=M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

% BUOC 3: GIAI HE PHUONG TRINH TIM VI TRI VA TIEU CU THAU KINH

A=M(1,1); % He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M

B=M(1,2); % He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M

D=M(2,2); % He so D la phan tu dong 2 cot 2 cua ma tran M

% Theo dinh nghia, A la do khuyech dai, vi vay:

A=-h2/h1; % Dau tru the hien anh va vat nguoc chieu nhau

x=solve(D-1/A); % D = 1/A

disp('Tieu cu cua thau kinh la (inches):')

f=solve(subs(B));

f=double(f) % Chuyen ket qua sang so thap phan

disp('Khoang cach tu thau kinh den vat (feet):')

x=subs(x); % The gia tri f da biet de tinh x

x=x/11.97 % Chuyen tu don vi inches sang feet

% BAI LAP TRINH PROBLEM 4 - BAI TOAN NGHICH

clc

clear all

syms x f % Khai bao 2 bien su dung la vi tri anh va tieu cu thau kinh

% BUOC 1: NHAP VAO CAC GIA TRI DA BIET

L=input('Nhap vao khoang cach giua vat va man (feet):');

disp('Chuyen sang don vi inches la:');

L=L*11.97 % 1 feet = 11.97 inches

h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (inches):');

h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (inches):');

n1=1; % Chiet suat cua khong khi

% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA MA TRAN THAU KINH MONG

M1=[1 x/n1;0 1]; % Ma tran truyen qua moi truong khong khi

M2=[1 0;-1/f 1]; % Ma tran khuc xa qua thau kinh tieu cu f

M3=[1 (L-x)/n1;0 1]; % Ma tran truyen qua tu thau mtr trong thanh thuy tinh

M=M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

% BUOC 3: GIAI HE PHUONG TRINH TIM VI TRI VA TIEU CU THAU KINH

A=M(1,1); % He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M

B=M(1,2); % He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M

D=M(2,2); % He so D la phan tu dong 2 cot 2 cua ma tran M

% Theo dinh nghia, A la do khuyech dai, vi vay:

A=-h1/h2; % Dau tru the hien anh va vat nguoc chieu nhau

x=solve(D-1/A); % D = 1/A

disp('Tieu cu cua thau kinh la (inches):')

f=solve(subs(B));

f=double(f) % Chuyen ket qua sang so thap phan

disp('Khoang cach tu thau kinh den anh (feet):')

x=subs(x); % The gia tri f da biet de tinh x

x=x/11.97

PROBLEM 5 (trang 48)

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự 8cm đặt cách một thấu kính kì có tiêu cự -12cm một khoảng 6cm Một vật cao 3cm đặt trên trục chính về phía bên trái thấu kính hội tụ, cách thấu kính hội tụ 24cm, tìm vị trí và chiều cao của ảnh.

Bài giải:

Hệ quang học đã cho gồm 5 thành phần truyền tia theo thứ tự: Môi trường

không khí → Thấu kính hội tụ có tiêu cự f1 → Môi trường không khí → Thấu kính phân kì có tiêu cự f2→ Môi trường không khí.

% PROBLEM 5(trang 48) BAI TOAN THUAN

clc

clear all

syms X2 h2 % khai bao bien vi tri anh va chieu cao anh

% BUOC 1:NHAP CAC GIA TRI DA BIET

X1= input('Nhap khoang cach tu vat toi thau kinh thu nhat(m): ');

f1=input('Nhap tieu cu thau kinh thu nhat(m): ');

h1=input('Chieu cao vat(m): ');

L= input('Khoang cach hai thau kinh(m): ');

P1= input('Nhap do tu thau kinh thu nhat(m): ');

while P1<0

disp(' vui long nhap lai so duong')

P1= input('Nhap do tu thau kinh thu nhat(m): ');

end

f2= input('Nhap tieu cu thau kinh thu hai(m): ');

P2=input('Nhap do tu thau kinh thu hai(m): ');

while P2>0

disp( 'Vui long nhap lai so am')

P2=input('Nhap do tu thau kinh thu hai(m): ');

End

%BUOC 2: VIET BIEU THUC MA TRAN TRUYEN QUA VA MA TRAN KHUC XA

M1=[1 X1;0 1]; % Ma tran truyen qua tu thau kinh thu nhat toi vat

M2=[1 0;-P1 1];% Ma tran khuc xa cua thau kinh thu nhat

M3=[1 L;0 1]; % Ma tran tru qua kh khi tu th kinh thu 1 toi th kinh thu 2

M4=[1 0;-P2 1];% Ma tran khuc xa cua thau kinh thu hai

M5=[1 X2;0 1]; % Ma tran truyen qua khong khi tu anh den thau kinh thu hai

M=M5*M4*M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

% BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI ANH VA CHIEU CAO ANH

A=M(1,1); % phan tu A la dong 1 cot 1 cua ma tran M

B=M(1,2); % phan tu B la dong 1 cot 2 cua ma tran M

disp('Vi tri anh la(m): ')

X2=double(solve(B))

disp('Chieu cao anh la(m) : ')

h2=double(subs(h1*A))

% PROBLEM 5(trang 48) BAI TOAN NGHICH

clc

clear all

syms x1 h1 %Khai bao bien vi tri va kich thuoc vat

% BUOC 1:NHAP CAC GIA TRI DA BIET

f1=input('Nhap tieu tu cua thau kinh thu nhat(cm): ');

a=input('Nhap khoang cach giua 2 thau kinh(cm): ');

x2=input('Nhap vi tri cua anh(cm): ');

h2=input('Nhap chieu cao cua anh(cm): ');

%BUOC 2: VIET BIEU THUC MA TRAN TRUYEN QUA VA MA TRAN KHUC XA

M1=[1 x1;0 1];% Ma tran truyen qua tu thau kinh thu nhat toi vat

M2=[1 0;-1/f1 1]; % Ma tran khuc xa cua thau kinh thu nhat

M3=[1 a;0 1];% Ma tran tru qua kh khi tu th kinh thu nhat den th kinh thu 2

M4=[1 0;-1/f2 1];% Ma tran khuc xa cua thau kinh thu hai

M5=[1 x2;0 1];% Ma tran truyen qua khong khi tu thau kinh thu hai den anh

M=M5*M4*M3*M2*M1;% Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

% BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI ANH VA CHIEU CAO ANH

A=M(1,1); % phan tu A la dong 1 cot 1 cua ma tran M

B=M(1,2); % phan tu B la dong 1 cot 2 cua ma tran M

C=M(2,1); % phan tu C la dong 2 cot 1 cua ma tran M

D=M(2,2); % phan tu D la dong 2 cot 2 cua ma tran M

fprintf('Vi tri cua vat la: ');

x1=solve(B)%Vat that anh that nen cho B=0

fprintf('Chieu cao cua vat la: ');

h1=subs(h2/A)