Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a.. Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B khỏc gốc O .Viết phương trỡnh đường thẳng d tiếp xỳc với đường trũn C tại M sao cho M là trung
Trang 1
ĐỀ CHÍNH THỨC
Cõu I ( 2 điểm ) Cho hàm số y x= −3 3mx+2( )C m
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số ( )C1
2 Tỡm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của( )C m cắt đường trũn tõm I( )1;1 , bỏn kớnh bằng 1 tại
hai điểm phõn biệt A, B sao cho diện tớch tam giỏc IAB đạt giỏ trị lớn nhất
Cõu II ( 2 điểm ) 1 Giải phương trỡnh: sin 4 cos 4 4 2 sin ( ) 1
4
2 Giải hệ phương trỡnh
Cõu III ( 1 điểm ) Tớnh tớch phõn ∫ +
+
x x
x I
1
2ln 3 ln 1 ln
Cõu IV ( 1 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O và AB = 4a, hỡnh chiếu vuụng
gúc của đỉnh S lờn mặt phẳng (ABCD) trựng với trung điểm I của đoạn thẳng OA Biết khoảng cỏch từ I đến mặt phẳng (SAB) bằng 2
2 SI Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a
Cõu V (1 điểm) Cho x > 0, y > 0 thỏa món x y xy2 + 2 = + +x y 3xy Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 2 (1 2 ) 3
2
xy
P x y
xy
II/PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm ) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
Phần A Theo chương trỡnh chuẩn
Cõu VIa ( 2 điểm )1 Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho đường trũn (C) : (x + 6)2 + (y – 6)2 = 50 Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B khỏc gốc O Viết phương trỡnh đường thẳng d tiếp xỳc với đường trũn (C) tại M sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB
2 Trong khụng gian tọa độ (Oxyz) cho A(5;3;-4) , B(1;3;4) Hóy tỡm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tam giỏc CAB cõn tại C và cú diện tớch bằng 8 5
Cõu VIIa (1 điểm) Cho z , 1 z là cỏc nghiệm phức của phương trỡnh 2 2z2−4z+ =11 0 Tớnh giỏ trị của biểu thức
2
1 2
z z
+
Phần B.Theo chương trỡnh nõng cao
Cõu VIb ( 2 điểm)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, cho hai đờng tròn:
(C1): x2 + y2 - 10x = 0 và (C2): x2+ y2 + 4x - 2y - 20 = 0 Viết phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm nằm trên đờng thẳng: x + 6y - 6 = 0
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phơng trình :
x2+y2+ −z2 2x+2z− =2 0 và các điểm A(0 ;1; 1), B(-1; -2; -3), C(1; 0;-3)
Tìm điểm D trên mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất
Cõu VIIb ( 1 điểm) Tính tổng sau:
S = − C + − C + − C + + − C
…………Hết………
Thớ sinh khụng sử dụng tài liệu Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm
Họ và tờn ……… Số bỏo danh ………
Sở GD- ĐT Hng Yên
Trường THPT Minh Châu
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2010 – 2011
Mụn : Toỏn - Khối A
Thời gian làm bài : 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Trang 2I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
I
(2điểm)
1.(1,0 điểm)
Hàm số (C 1 ) có dạng y x= − +3 3x 2
• Tập xác định: ¡
• Sự biến thiên
- lim , lim
→−∞ = −∞ →+∞ = −∞
0,25
- Chiều biến thiên: y' 3= x2 − = ⇔ = ±3 0 x 1
Bảng biến thiên
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1 , 1;) ( +∞), nghịch biến trên khoảng
(-1;1)
Hàm số đạt cực đại tại x= −1,y CD =4 Hàm số đạt cực tiểu tại x=1,y CT =0
0,25
•Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (1; 0) và nhận I(0; 2) làm điểm uốn
f(x)=x^3-3x+2
-1
1 2 3 4
x
y
0,25
2.(1,0 điểm)
Ta có y' 3= x2−3m
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y' 0= có hai nghiệm phân biệt ⇔ >m 0 0,25
Vì 1
' 2 2 3
y= x y − mx+ nên đường thẳng ∆ đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương
Ta có ( , ) 2 2 1 1
m
m
−
+ (vì m > 0), chứng tỏ đường thẳng ∆ luôn cắt đường tròn tâm
I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt
Với 1
2
m≠ , đường thẳng ∆ không đi qua I, ta có: 1 1 2 1
.sin
ABI
S∆ = IA IB AIB≤ R =
0,25
Nên S∆IAB đạt giá trị lớn nhất bằng ½ khi sinAIB = 1 hay tam giác AIB vuông cân tại I
1
2 2
R IH
⇔ = = (H là trung điểm của AB)
2
2 2
4 1
m
m m
+
0,25
Câu
II(2.0đ) PT ⇔ 2sin 2x cos 2x + 2cos2 2x = 4(sin x + cos x)
⇔ (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x)
0.25
Sở GD- ĐT Hng Yªn
Trường THPT Minh Ch©u
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn : Toán – Khối A
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian giao đề
Trang 31
(1.0đ)
x
= − +
Chứng minh được phương trình cos 3x + sin x = 2 vô nghiệm
KL: x =
2
Giải hệ phương trình
1,00
Điều kiện: x+2y+ ≥1 0
Phương trình (1) trở thành : 2t2 – t – 6 = 0
2 / 3 t/m 2
=
+ Hệ 2 2 23
1 1 ( / ) 2
1 2
x y
t m x
y
=
0,25
III
Tính tích phân ∫ +
+
x x
x I
1
2ln 3 ln 1
∫
+
1 2 e
1
xdx ln x 3 dx x ln 1 x
x ln
+) Tính =∫e + dx
x x
x I
1 1
ln 1
ln
1 ln 1 ln ; 2
x
Khi x=1⇒t=1;x=e⇒t= 2
0,25
1
t
0,25
Trang 4+) TÝnh I x lnxdx
e 1
2
2 =∫ §Æt
=
=
⇒
=
=
3
x v x
dx du dx
x dv
x ln u
3 2
+
1
0,25
= +
=I1 3I2
I
3
e 2 2 2
5− + 3
0,25
Trong mp(ABCD) từ điểm I kẻ IH song song BC với H thuộc AB Do BC ⊥ AB
=> IH ⊥AB Mà SI ⊥(ABCD) => SI ⊥ AB
Hay AB ⊥(SHI) Từ I trong mặt phẳng (SHI) kẻ IK ⊥SH tại K
⇒IK d I SAB= ( ;( ))= 2
2 SI (1)
0,25
4
BC = AC = => IH =
4
BC a
Mà 12 12 12
IS + IH = IK (2) (Do tam giác SIH vuông tại I đường cao IK)
Từ (1) và (2) => 22 12 12
Lại có thể tích khối chóp S.ABCD là V =
3 2
a
S
K
B
A
C
D
I H
O
Trang 5V 1,00
Ta có x y xy2 + 2 = + +x y 3xy
⇔ xy x y( + ) = + +x y 3 (1)xy do x >0 ; y > 0 nên x + y > 0
+
(x y) 1 ([ x y) 4] 0 x y 4
0,25
Mà P = (x + y)2 + 2 - 1
xy Lại có (1)
1
+
1
+
Nên P = (x + y)2 +1 + 3
x y+
0,25
Đặt x + y = t ( t ≥4) 2 3
t
⇒ = + + =
Ta có f t'( ) = 2t -
3
0 t>4
t
−
= > ∀ mà f t( ) liên tục trên nửa khoảng [4;+∞) Nên f t( ) đồng biến trên nửa khoảng [4;+∞) => 71
4
P= f t ≥ f =
0,25
Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng 71
Giả sử A(a;0) ; B(0;b) ( a , b khác 0) => đường thẳng d đi A , B có phương trình :
1 hay bx+ ay - ab = 0
d là tiếp tuyến của (C) tại M ⇔ M thuộc (C) và d vuông góc với IM 0,25 Đường tròn (C) có tâm I(-6 ; 6) , d có VTCP là ur= −( ; )a b
M là trung điểm của AB nêm M ;
2 2
a b
, 2 6;2 6
uuur
Do đó ta có hệ phương trình
0,25
v
= −
Vậy d có phương trình : x -y +2 = 0 ; x - y +22 = 0 ; x + 7y +14 = 0 ; 7x + y – 14= 0 0,25
Trang 62 1,00
C thuộc mặt phẳng (Oxy) nờn C( a ; b ;0) 0,25 Tam giỏc ABC cõn tại C
Ta cú AB = 4 5 , trung điểm BC là I(3;3;0)
1
2
ABC
S∆ = CI AB= ⇒CI = => ( ) (2 )2
Từ (1) ; (2) ta cú 3
7
a b
=
=
hoặc
3 1
a b
=
= −
Vậy cú hai điểm C(3 ; 7 ;0) , B(3;-1;0)
0,25
VI b 1) Gọi A, B lần lợt là giao điểm của 2 đờng tròn (C1) và (C2)
suy ra toạ độ của A và B thoả mãn hệ:
2 2
2 2
10 0
4 2 20 0
2 49 2 140 100 10 50 2 150 100 0
2 2
4 1
1
7 10
3
x x
y x
x
y x
y
=
⇔ == − ⇔ =
Vậy A(2; 4), B(1; -3)
0,25
Gọi I là tâm đờng tròn cần tìm
Vì I ∈ (∆): x + 6y - 6= 0 ⇒ I(6 - 6a; a) 0;25 Theo giả thiết thì đờng tròn (C) cần tìm đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
IA = IB = R ( Có: IAuur=(6a−4; 4−a), IBuur=(6a− − −5; 3 a) )
⇔ (6a−4)2+ −(4 a)2 = (6a−5)2+ − −( 3 a)2 =R
⇔(6a−4)2+ −(4 a)2 =(6a−5)2+ − −( 3 a)2
⇔36a2−48a+ + −16 16 8a a+ 2 =36a2−60a+25 9 6+ + a a+ 2
⇔ 2a = -2 ⇔ a = -1
0,25
Lúc đó: I(12; -1), R= 100 25 5+ =
Vậy (C ): (x - 12)2 + (y + 1)2 = 52 0,25
Ta có: x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0
⇔ (x - 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 22
=> Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-1), R = 2
Ta có:
0,25
Trang 7( 1; 3; 4)
, (8; 8; 4) 4(2; 2;1) (1; 1; 4
AB
AB AC AC
uuur
uuur uuur uuur
mp (ABC) có vec tơ pháp tuyến là nr=(2; 2;1)−
Do đó mp(ABC) có PT: 2(x - 0) - 2(y - 1) + 1(z - 1) = 0 ⇔ 2x - 2y + z + 1 = 0
Gọi H là hình chiếu của điểm D trên mp(ABC)
Ta có: 1
3
ABCD ABC
V = S∆ DH mà S∆ ABC không đổi
=> VABCD lớn nhất ⇔ DH lớn nhất
Bài toán quy về tìm điểm D ∈ (S) sao cho DH lớn nhất
0,25
Gọi (∆) là đờng thẳng đi qua I(1;0;-1) và vuông góc
với mp(P) ⇒ ∆ có phơng trình:
1 2
0 2 ( ) 1
= +
= − +
Gọi D1, D2 lần lợt là giao điểm của (∆) với mặt cầu (S) => toạ độ D1, D2 thoả mãn hệ Phơng
trình:
1 2 2 1 ( 1) ( 1) 2
y t
= +
= −
= − +
− + + + =
1 2 2
1
2 3
y t
t
= +
= −
= ±
0,25
Ta thấy d(D1; (P)) = 8
3 > d(D2; (P))=
4
3 => Điểm cần tìm là 1
7 4 5
; ;
3 3 3
D − −
VIIb
Ta có:
2010
0
k
=
2010
0
k
=
⇒ 2010 2010 1 3 3 5 5 2009 2009
2010 2010 2010 2010
(1 ) (1 )
2
0,25
Lấy tích phân 2 vế của (1) với cận từ 1 đến 2 ta đợc:
2010 2010 2010 2010
(1 ) (1 )
2
2011 2011
0,25
Trang 8
VËy: 32011 22011 1
4022
S = − − .
0,25
VIIa
Giải pt đã cho ta được các nghiệm: 1 1 3 2 , 2 1 3 2
Suy ra
2 2
Đo đó
2
1 2
11
4
z z
+
= =
Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.
, ngày 23 tháng 3 năm 2011
