Phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác

Bài giảng số 18 PHUONG TRINH LUONG GIAC

+

Cũng giống như các bài toán về hàm số, các bài toán về phương trình lượng giác là một câu hỏi bắt buộc có mặt trong mọi đẻ thi về môn Toán vào các trường Đại học, Cao đăng các năm 2002-2009

Bài giảng này để cập đến các phương pháp giải phương trình lượng giác tùy theo dạng của chúng

Lược đồ chung đề giải các phương trình lượng giác được tiên hành như sau:

1/ Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Ngoài các điều kiện thông thường như đối với mọi phương trình khác (thí dụ như điều kiện về mẫu số, các biểu thức trong căn của các căn bậc chăn có mặt trong phương trình ), riêng đối với phương trình lượng giác cần chú ý đặc biệt đến các điều kiện sau:

Ậ , - LA TA HA rt

+ đê tan x có nghĩa, điều kiện là x # 21 kn, keZ

+ Để cot x có nghĩa, điều kiện là x# kx,ke Z

2/ Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc

3/ So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai

NNNG

Œ “§L PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX | »

1 Dang phuong trinh: asin x + bcos x = 2 (a, b 0)

2 Điều kiện có nghiệm: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a“ + bˆ >c”

3 Cách giải: Có hai cách giải phương trình này:

Phương pháp ï: Đưa phương trình về dạng:

va +b" va?

av +0" a +

Khi do (1) <> sin (x + a) = sina

Phương pháp 2: Xét hai kha nang sau:

—COSX =

vn

+Nêub+c=0= cos =0 thỏa mãn phương trình

=x=m+k2mx,k € Z thuộc vào tập hợp nghiệm

+ Nếu b+c 40 > cos= #0, khi do đặt ¬ t

317

2

„€OSX==———~, ta quy phương trình đã cho

1+t?

Ap dung céng thire sin x =

l+t

về phương trình bậc 2 đối với t, sau đó giải tan — = t

Chu y:

Khi sử dụng phương pháp này người ta thường hay quên xét khả năng cos =0,

ma đặt ngay tan = t, khi đó sẽ dân dén kha năng có thê mat nghiém cua phuong trình

Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D — 2007)

Giải phương trình lượng giác: (sin > +cos > y+ V3 cosx = 2 (1)

Giải

1

Ta có (1) © 1+ sing + VŠeosx =2 €9 sinx + cosx= 2

xi = tk2n |x=- +k2m

Thí dụ 2: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối A - 2009)

Giải phương trình lượng giác:

I—2sinx)cosx CÁC RE — 5 (1) (1+2sinx)(1-sinx)

Giải Điều kiện để (1) có nghĩa là sin x # 1 va sin x # ; (2)

Khi đó:

(Ne cos x — V3 sinx = sin 2x + V3cos2x

So cos{ x +2) =cos{ 2x) > xiấ = 124C Ìx kan

x=<+k2n

T 2n x=-—+k—

18 3

318

Để ý rằng nghiệm x ='2+ k2r bị loại (vì không thỏa mãn (2)), và rõ ràng

yang k= thỏa mãn (2) nên nghiệm của (1) là x = —g + k=, keZ

Nhận xét:

Mặc dù ở đây (1) không có dạng asinx + bcosx = c, nhưng thực chất cách giải (3) là sử dụng phương pháp của cách giải phương trình asinx + bcosx = c, nên ta sắp xếp nó vào dạng này ˆ

Thí dụ 3: (Đề thi tuyên sinh Đại học khỗi B — 2009)

Giải phương trình lượng giác:

sinx + cosxsin 2x + ¥3cos3x = 2(cos4x +sin? x) (1)

_ Giải

Ta có: (l) & sinx +cosxsin2x + V3c0s3x —2sin? x = 2c0s 4x

<> sin x(I ~2sin? x} + cosxsin 2x + !3cos3x =2cos4x

& SinX€os2x + cosxsin 2x + X3cos3x =2cos4x

& sin3x + \3cos3x =2cos4x sin 3x+ — Ầ© cos( 38 -§) =cos4x <> 3x = =+4x+k2n

x=~< +k2r

T1 21m

42 7

Thí dụ 4: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối D — 2009)

Giải phương trình: V3cos 5x — 2sin3xcos2x — sinx =0 (1)

Ta có: (1) © A/3cos5x —(sin5x + sinx)— sinx =0

<> — ~5sin 5x =Sinx & sin( 2 — sx) =sSinx

T 1U

x==—+k—

kí 7U

x=-—+k—

6 2

Thi du 5:

Giai phuong trinh 4(sin*xt+cos*x)+ V3sin 4x =2 (1)

319

Giai Tacé:(1) © a(t sim 2% + 3sin4x =2

“

¬A-~ +X43sin4x =2 <© V3sin 4x +cos4x =-1

3 | | nr) ( T

<> ——-sin 4x +—cos4x =~— <& sin| 4x+— |=sm| ——

x=-—+k~

Thi du 6: Giai phuong trinh: 2/2(s inx + cos x)cosx =3+cos2x (1)

Giai

Ta có: (1) © V2 sin 2x + V2 (14 cos2x) = 3 + cos2x

<> V2 sin2x + (V2 -1)cos2x =3-V2

Ta cé: (v2) +(V2 -1) =5~2V2 <11-6y2 =(3- v2)

Vậy (1) vô nghiệm (vì vị phạm điều kiện a” + b > c3

Thí dụ 7: Giải phương trình: x+ VI3~ x? +xVI3-x? =I)

Giải

+ Nếu cos~ = 0 thi sin x = 0 va cosx = 2cos”~ — 1= I1, khi đó không thỏa

mãn phương trình

Vay cos~ +0

+ Vì cos #0, dat t= tan~ „ từ đó

2t 1-1?

(1) © (14+ V3 -+Í1- V3 =2

e> (3+ V3)? -2(14 v3 )t +14 V3 =0

= 1+v3 tan Ễ = I+ 3 xa eke

Nhận xét: Nếu dùng phương pháp 1/, sau khi biến đôi

320

(1) © TANS a inx + 1EN3 osx = aL (2) 2⁄2 242 2 :

Việc giải (2) bằng phương pháp I về nguyên tắc thì làm được, nhưng để ra

đáp số như trên thì rất khó khăn Vậy với thí dụ này, phương pháp 2 là thích hợp

Tìm m để phương trình: 2sinx + mcosx =l—m có nghiệm thuộc - 4]

Giai

Lập luận như thí du 7, thi cos 5 #0 Vm, vi thé dat t = tan 5 thi phuong

trình đã cho có dạng (sau khi biến đổi):

f() =t—4t+ 1= 2m (1)

2 2

Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ (1) 2) có nghiệm

Ta có Ÿ{) = 2t T— 4 và có bảng biến thiên sau:

-2

Từ đó suy ra (1) và (2) có nghiệm <> -2<2m<6 -1<m <3

Đó là các giá trị cần tìm của m

Nhận xét:

Với thí dụ này phương pháp 2 tỏ rõ hiệu lực hơn hẳn phương pháp 1

Qua các thí dụ trên các bạn chắc đã tự rút ra kết luận khi nào nên sử dụng

phương pháp 1, hoặc phương pháp 2

>>

ee NNNGG

AN

“TT” _§8 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2, BẬC 3 `

NỈ

1 Dạng phương trình ,

a/ Phương trình đăng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx có dạng

asin’x + bcos’x + csinxcosx + d = 0

b/ Phương trình đẳng cap bậc 3 đối với sinx và cosx có dạng

asinx + bsin’xcosx + csinxeos2x + đeosỶx = 0, Cùng với b/ ta xét phương trình đăng cấp bậc 3 đối với sinx và cosx (dạng suy

rộng) sau: asin x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos”x + (msinx + ncosx) = 0

2 Cách giải

— Kiểm tra cos x = 0 có phải là nghiệm hay không?

— Sau đó xét tiếp trường hợp cos x # 0 Dat tan x = t

321

Bang cach chia cả hai về của phương trình cho cos’x với phương trình đẳng

cấp bậc hai và cho cos”x với phương trình đẳng cấp bậc 3, ta quy về phương trình

bậc hai (hoặc bậc ba) đối với t Tìm được t, ta giải tiếp phương trình cơ bản: tan x = t

ta sẽ đi đến nghiệm x cần tìm

Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh khối B - 2009)

„ Giải phương trình lượng giác:

sin? x — V3 cos? x = sin x cos” x — 3 sin? xcosx (1)

Giai Nếu cos x=0 thì từ (1) ta có sin’x = 0 và đó là điều vô lý, nên cosx # 0

Do cos x # 0, nên chia cả hai về của (1) cho COS”x, ta có

tan? x — V3 ~ tan x + x3 tan? =0 (anx+ ()(an x~1)=0

1

x=-—+k® 4

Thi du 2:

Giải phuong trinh sin? x(tan x +1) =3sin x(cosx —sinx) +3 (1)

Giải

Điều kiện để (1) có nghĩa là x # at kak e Z (2)

Khi đó:

ae sin? x (sin x + cosx) = 3sin xcos x(cosx ~sinx) + 3sin x (3)

Do điều kiện (2) nên chia cả hai về của (3) cho cos”x và có

tan? x + tan? x —3tanx +3tan? x~3(1+ tan? x)=0

x =— +kn

X =+.+ kn

Rõ ràng (4) thỏa mãn (2), nên là nghiệm của (1)

Thí dụ 3:

Giải phương trình: 8cos° (x + 3] =cos3x (1)

Tac6é cos| x +— |=cosxcos——sinxsin— =—cos———sinx

322

3

Vậy (1) © fos Bin *) = 4cos? x —3cosx

© v3sin *x +008" x + V3 cos” xsin x —3cosxsin? x —cosx =0 (2)

Rõ ràng cosx # 0 (vi néu cosx = 0 => sinx = 0: v6 li) °

Vi thé chia cả hai vế của (2) cho cos”x và có:

43 tan? x +143 tanx —3tan? 'x—l—tan?x=0

tan x=0 x=kn

© tan x( V3 tan? x — 4tan x + v/3)= 0 © tnx= Ze x=<+kn, keZ

3

Thí dụ 4:

Giải phương trình: sinx + cosx — 4sin x = 0 (1)

+ Nếu cosx=0, từ (1) ta có hệ:

=

Từ (2) Ó) suy ra vô lí Vậy cosx # 0

+ Do cos x i 0, nén chia ca hai vé của (1) cho cos! x và có

tanx(1 + tan’x) + 1 + tan’x — 4tan?x = 0 3tan°x — tanˆx ~ tanx — 1 =0

<> (tanx — 1)(3tan’x + 2tanx + 1)=0< tanx=1 6 x= at kn k eZ

Thi dụ 5:

Cho phương trình: sin x + (2m — 2)sinxcosx — (m+ 1)cos’x =m (1)

Tim m dé phuong trình (1) có nghiệm

Giải

+ Nếu cosx = 0, thi từ (1) ta có: 2

Hệ (2) (3) có nghiệm © m = 1 Vậy m =l là một giá trị cần tìm

+ Nếu cosx # 0 Khi đó chia cả hai về của (1) cho cos’x va

(1 © tan? x+(2m -2)tan x —(m + l)= m + mtan? x

<> (m— 1)tan’x — 2(m — 1)tanx + 2m + 1=0(2)

Dễ thấy A'= ~m”— m + 2, vậy A' >0 © -2 < m<I (dom#£ ])

Kết hợp lại: ~2 <m < 1 là các giá trị cần tìm của tham số m ;

Thí dụ 6:-Cho phương trình: mcosˆx — 4sinxeosx + m — 2 = 0 (1) Tim m dé

(1) có nghiệm thuộc (s2) t

323

Giai

Khi 0< x < 4 thi cosx > 0 (ndi riéng cosx # 0) Vì thê sau khi chia ca hai về

của (1) cho cos’x va rut gọn, ta có:

(1) <> m(tan2x + 2) = 2tan’x + 4tan x+2 © dan x + Manes?

tan?x +2

Khi 0< x < 2 thi 0 < tan x < 1 Vậy s sau khi đặt t = tanx bài toán trở thành:

2 +4t+2 Trẻ»

Tim m dé hé f(t)= +2 ( ) có nghiệm -

0<t<l (3)

| ~4(t? ~t-2)

(? +2)

Vậy l <m< 3 là các giá trị cân tìm.của tham sô m

Nợ AA,

NN

C “3 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI: XỨNG VỚI SIN X VÀ COS X _ `

` rt

cone eee mm

1 Dạng của phương trình

hoặc a(sin x —cos x)* +b(sinxcosx)"+c=0 | (2)

2 Cach giai

_ Voi phuong trình (1) dựa vào hệ thức:

(sinx+cosx)” ~]

sau đó dùng phép thay biến t = sinx + cosx (- V2 <ts 42)

— Với phương trình (2) dựa vào hệ thức

I-(sinx —cosx)Ÿ

sin X COS x = TT” ;

324

sau đó dùng phép thay bién t = sinx — cosx (— V2 <t< V2)

Như vậy ta đã quy được (1) (hoặc (2)) về dạng phương trình đại số của t Sau

đó giải phương trình sinx+cosx = t để suy ra đáp số cần tìm

Thí dụ 1: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối A ~ 2007)

Giải phương trình: (1 + sinˆx)cosx + (1 + cos’x)sinx = 1 + siri2x (1)

Giải

Ta cé: (1) < sin’xcosx + sinxcos’x + sinx + cosx = (sinx + cosxy

<> (sinx + cosx)(sinxcosx + | — sinx — cosx) = 0

©

sinxcosx+1~(sinx+cosx)=0 (3)

Dé thay (2) © sinx =-cosx © tanx=—1 x= —T tk k EZ

Dat sin x + cos x = t (V2 <t <2), khi đó (2) có dạng

2

t l1 t=0 or—2t+1=0 6 t=1o sinx + cosx = 1

x=k2n

c© Zeos( x) =1 > 0s{ x- 2) = cos es keZ

4 x=S+ k2m

2 Vậy nghiệm của (1) là x = at kn; x = k2;x =5t k2n keZ

Thi du 2:

Giải phương trình: 1 + sin*x + cos*x = = sindx (1)

Giải , Taco (1) < 1 + (sinx + cosx)(sin’x — sinxcosx + cos’x) = 3sinxcosx

= | + (sinx + cosx)(1 — sinxcosx) — 3sinxcosx = 0 (2)

Đặt t = sinxcosx (-V2 <t< J2 ) Khi đó (2) có dạng

nẮ- Ea 5 ~0©>+3—3t—5=0

t=-1

(t+ IMP + 2t-5)=0 & | t =-1-V6 <-V2 (loại)

t=-9+ 6 >2 (loại)

3 x=ñn+k2m Vậy sinx†cosx= —l © cos( x-£) =e = cos es ke Z

, 2

325

Thi du 3:

Giải

- Điều kiện để (1) có nghĩa là x # +kn,keZ (2)

Khi đó (1) © 14+ sinx =2V2sinx © SỈnX + €0S X — 2V2 sin x cos x (3)

COSX

Đặt t = sinx+eosx (—⁄2 <t<42 ) Khi đó (3) có dạng:

V2

+ Néu A2, ta có sinx+cosx=x/2 cos(x-7) =1e> X = +k2m, ke Z

+ Nếu t= ——, ta có sinx + cosx = ——=

x 1 on , xa ike c© cos( x2) =—5 =ens © 12 wkeZ

——+k2ñ

12

Vậy phương trình có ba họ nghiệm như trên

Thí dụ 4:

Giải phương trình: |sinx—cosx|+4sin2x=1 (1)

Giải

_ Đặtt= sinx — cosx (-V2 <t < V2 ), khi đó (1) có dạng

(Qo <2

326

It] + 4(1 -t?) = 1 (2)

(ee

- €>|t|=1 © |sinx — cosx| = 1 © (sinx — cosx}=

-/2 <t<0 t=-l

4+t-3=0 -

© sin 2x= 0 © kĩ k€#,

Thí dụ 5:

Cho phương trình sinˆx — cos°x =m (1) Tim m để phương trình có nghiệm

Giải

Ta có (1) <> (sinx — cosx)(1 + sinxcosx) = m (2)

Dit t = sinx—cosx (-V2 <t < V2 ) khi dé (2) cé dang:

1-t? 3 ;

t} 1+ 2 =m<-t +3t=2m

Bài toán trở thành: Tìm m để hệ:

f()=-t+3t=2m — @)

Ta có f() =—3 + 3 và có bảng biến thiên sau:

Vậy (3) và (4) có nghiệm, tức là (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

~2 <S2m <2 © ~l <Sm<1]

có nghiệm

SO,

` NG AAA ` "`

/Z84 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SỬ DỰNG NHIÊU 5

NG >>

NA

Nhìn chung khi đứng trước một phương trình lượng giác đã cho, nếu như thấy phương trình ấy không thuộc vào các dạng cơ bản đã nêu trong các mục §1,§2,§3-

ở trên, thì trước hết cần phải dùng các phép biến đổi lượng giác thông dụng (công

thức cộng, công thức nhân, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, công thức hạ bậc ) để đưa phương trình ban đầu về các dạng cơ bản ở trên, hoặc đưa về

phương trình tích mà mỗi thừa số có dạng phương trình cơ bản

Đây là phương pháp phổ thông nhất và rất có hiệu quả để giải phương trình lượng giác

Thí dụ 1: (Đề thi tuyễn sinh Dai học khối D — 2008)

Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx (1)

Giải

` Ta có (1) © 4sinxcos”x + 2sinxcosx — (1 + 2cosx) = 0

<> 2sinxcosx(1 + 2cosx) — (1 + 2cosx) = 0

= (2cosx + 1)(sin2x — 1)=0

sin2x =] Kai tkn

327

328

Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B — 2007)

Giải phương trình lượng giác: 2sin2x+sin7x—l=sinx (1)

Ta có (1) © (2sin?2x — 1) + (sin7x — sinx) = 0

<> -cos4x + 2cos4xsin3x = 0 <> cos4x(2sin3x — 1) =0

kn

km

x1, 2T,

18 3

Thí dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2006)

2(sin® x+ cos”x) —sin XCOsx

Giải

Dé (1) có nghĩa cần có sinx # _ (2)

Khi đó (1) & 2 _ 2x ~.sin2x=0

<> 3sin’2x+sin2x-4=0 <<] 4 (sin2x=—— loai vi |sin2x{ >1)

sin 2x =-— 3

3

© sin2x=1 x= ithe, k eZ (3)

Kết hợp (2) và (3) suy ra x = = +k2z, k e Z là nghiệm cần tìm

Thí dụ 4: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối A ~ 2005)

Giải phương trình: cos?3xcos2x—cos”x=0 (1)

Giải

Áp dụng công thức “hạ bậc”, ta có:

()© 1+cos6x cos2x— 1 + cos2x =0

<> cos6xcos2x = 1 <= (4cos*2x — 3cos2x)cos2x = |

> 4cos'2x — 3cos’2x — 1 = 0 <> cos’2x = |

<> 14+ cos4x=2 <cos4x=1Ox= kek eZ

Thi du 5: (Dé thi tuyển sinh Đại học khỗi D - 2003)

Giải phương trình: sin? (= - = ea? x — cos” 2 =0 (1)