PHUONG TRINH LUONG GIACCO LOI GIAI CHI TIET

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1... PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 3... Giải các phương trình sau:... PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI, BẬC BA Đ

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

- - Công thức cơ bản

● sin x2 +cos x2 =1 ● tanx.cot x=1 ● tanx sinx

cosx

=

● cot x cosx

sinx

os

2

2

1

1 tan x

c x

2

1

1 cot x

sin x

 Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba

cos x sin x cos2x

2cos x 1 1 2sin x

-ê

-ê

● sin x2 1 c 2xos

2

c x

2

+

=

● sin3x=3sinx 4sin x- 3 ● cos3x=4cos x 3cosx3

- Công thức cộng cung

● sin a b( ± ) =sina.cosb cosa.sinb± ● c os(a b ± )= cosa.cosb sina.sinb m

● tan a b( ) tana tanb

1 tana.tanb

+

1 tana.tanb

+

● tan π x 1 tanx

æ ö÷ +

ç + ÷=

tan x

æ ö÷

-ç - ÷=

 Công thức biến đổi tổng thành tích

● cosa cosb 2cosa b.cosa b

=

sina sinb 2sin cos

tana tanb

cosa.cosb

+

tana tanb

cosa.cosb

 Công thức biến đổi tích thành tổng ● cos a b( ) cos a b( )

cosa.cosb

2

● sin a b( ) sin a b( )

sina.cosb

2

-= ● cos a b( ) cos a b( )

sina.sinb

2

=

 Một số công thức thông dụng khác

● sinx cosx 2sin x π 2cos x π

+ = ççç + ÷÷= ççç - ÷÷

è ø è ø ● sinx cosx 2sin x π 2cos x π

- = çç - ÷= çç + ÷

● cos x sin x 14 4 1sin 2x2 3 1cos4x

+ + = - = ● cos x sin x 16 6 3sin 2x2 5 3cos4x

+

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Bài 1 Giải các phương trình sau

1) sin 3x cos3x 3

2

3 3sinx− =1 4sin x+ 3 cos3x

5) 3sin3x cos3x− = 2 6) tanx−3cotx=4 sin( x+ 3 cosx)

9) cos 2x= 3 sin 2x+ 2 sinx+cosx( ) 10)cos5x−sin 3x= 3 cos3( x−sin 5x)

11)sin4x c− os4x=2 3 sinxcosx+1 12)sin 8x c− os6x= 3 sin 6( x c+ os8x)

13)cos7x-sin5x= 3 os5x-sin7x(c ) 14) 3 os5x+sin5x-2cos2x=0c

15)3sin 3x− 3 os9x=1+4sin 3c 3 x 16)4 sin( 4 x c+ os4x)+ 3 sin 4x=2

17)2 2 sinx+cosx osx=3+cos2x( )c 18)cos 2x= 3 sin 2x+ 2 sinx+cosx( )

19)

4

π

Bài 2 Giải các phương trình sau

1)

2

2) 3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0c

3) s inx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc ( 3x)

1 2sin osx

3

1 2sin 1 sinx

x c x

−

=

5) cos2x- 3sin2x- 3sinx cosx 4- + =0

6) 3cos2x sin2x 2sin 2x 2 2

6

æ p÷ö

÷

1 cosx cos2x cos3x 2

3 3sinx 3

2cos x cosx 1

sinx sinx

-9) 3sin2x+cos2x=2cosx 1- 10)3cosx sin2x- = 3cos2x+ 3sinx 11)8 sin x cos x - 3 3cos2x( 6 + 6 ) =11- 3 3sin4x - 9sin2x

12) 3sin2x 2cosx 1( + +) 3cosx 2 cos2x+ = +cos3x

13)( )3 ( )

sinx cosx+ - 2 sin2x 1+ +sinx cosx+ = 2

14) 2(cosx+ 3sinx)cosx=cosx 1+ - 3sinx

15)sin3x+cos3x sinx- +cosx= 2cos2x

16)sin x2 +4sinx+ 3sin2x 3cos x 2+ 2 - = +(1 2sinx sinx) ( + 3cosx)

x π +x π −x+ c x+ π c x+ π =

II PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 3 Giải các phương trình:

2

13)2 2 cos 32 x− +(2 2 cos3) x+ =1 0

14)

2

x + x = x −

15)

2

 + +  + − =

x

cos2x 3cosx 4cos

2

2

x + x −  π − x  =

x

cos

23)cos x sin x4 - 4 +cos4x=0

24)5 sinx cos3x sin3x 3 cos2x

1 2sin2x

25)cos 3xcos2x cos x2 - 2 =0

26)cos x4 sin x4 cos x sin 3x 3 0

æ pö÷ æ pö÷

27)5sinx 2 3 1 sinx tan x- = ( - ) 2

sin2x 3cos2x 5 cos 2x

6

æ p÷ö

29)2 cos x sin x( 6 6 ) sinxcosx

0

2 2sinx

-=

cosx

æ p÷ö

= +

31)

cosx 2sinx 3 2 2cos x 1

1

1 sin2x

-= +

cosxcos cos sinxsin sin

33)sin x4 cos x4 1cot2x 1

+

= - 34)3cos4x 8cos x 2cos x- 6 + 2 + =3 0

cot x tanx 4sin2x

sin2x

sin x cos x cos 2x

16

sin 5cos xsin

38)sin2x cot x( +tan2x) =4cos x2

3

4

æ p÷ö

41)

4 sin 2x cos 2x

cos 4x

+

=

æp ö÷ æp ö÷

42)48 14 22 (1 cot2xcot x) 0

cos x sin x

43)cot x 1 cos2x sin x2 1sin2x

sin x cos x 2 sin x cos x cos2x

4

45)sin2x 2tanx+ =3 46)cos2x+cosx 2tan x 1( 2 - ) =2

Dạng phương trình:

• PT đối xứng: a( sinx + cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 (1)

4 sin(

2 x+π

Điều kiện: t ∈[− 2; 2]

⇒ sinx.cosx =

2

1

2 −

t

Thay vào pt (1) được pt bậc hai ẩn t

• PT nửa đối xứng: a( sinx - cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 (2)

4 sin(

2 x−π

Điều kiện: t ∈[− 2; 2]

⇒ sinx.cosx =

2

1−t2 Thay vào pt (2) được pt bậc hai ẩn t

Bài 4 Giải các phương trình sau:

1) sin3x + cos3x = 1 2) 3 3 3

sin cos 1 sin 2

2

3) ( )4

sinx−cosx = +1 sin cosx x

2

3 1 sin

x

π

6) 2sin3x−sinx=2 cos3x−cosx+cos 2 x

7) 3tan2 x+4 tanx+4cotx+3cot2x+ =2 0 8) tan2 x(1 sin− 3x)+cos3x− =1 0

tanx+cotx+tan x+cot x+tan x+cot x=6 10) 2 3

sinx+sin x+cos x=0

11)sinx+ sin 2x+ sin 3x+ sin 4x= cosx+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4x 12)3 cot( x−cosx) (−5 tan - sinx x) =2

13)5 sinx+cosx( )+sin 3x c− os3x=2 2 2 sin 2( + x) 14) 3

3

1 os2x 1 os

1 os2x 1 sin

15) 2 ( )3

cos 2x+2 sinx+cosx −3sin 2x=3 16)

sin x+cos x+2 sinx+cosx −3sin 2x=0

17)(1 sin+ 2x)cosx+ +(1 cos2 x)sinx= +1 sin 2x

2 1 sinx

+

19)1 sin+ x+cosx+sin 2x+2cos 2x=0

20)2sin x2 2sin x tanx2

4

æ p÷ö

23)sin x cos x3 3 cos2x tan x tan x

æ pö÷ æ pö÷

24)

3

26)cos x4 +sin x 2 1 sin xcos x sinxcosx4 - ( - 2 2 ) =sinx+cosx

IV PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI, BẬC BA ĐỐI VỚI SINX, COSX

Là phương trình có dạng:

a.sin sin cos sin cos cos 0





1) sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin2xcosx 2) sin2x(tanx+ =1) 3sinx(cos - sinx x)+3

3) 8cos3 cos3

3

 + =

4) sinx+cos - 4sinx 3x=0

5) cos3x−4sin3 x−3cos sinx 2 x+sinx=0 6) sin sin 2x x+sin 3x=6 cos3x

x

x

3 5sin 4 cos 6sin 2cos

2cos 2

x

tan sinx x−2sin x=3 cos 2x+sin cosx x

3

1 cos x tan x

1 sin x

-=

-11) sin x cos x3 + 3 =2 sin x( 5 +cos x5 )

4

æ p÷ö

ç - ÷=

4

æ p÷ö

14) 4 sin x cos x( 3 + 3 ) =cosx+3sinx

15)

2

sin x tanx 1+ - sinx cosx sinx- - 1 0=

16) 8cos x3 cos3x

3

æ p÷ö

ç + ÷=

V PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Bài 7 Giải các phương trình sau:

1)sin 2 cos 2 3sin cos 1 0 2) sin 2x cos 2x cosx 2cos2x – sin x 0

3) 4sin 4)sin 3 cos sin cos 3 sin cos

3

2 5)2sin (1 cos 2 )

π

π

2

sin 2 1 2cos 6)(1 sin ) cos (1 cos )sin 1 sin 2 7)2sin 2 sin 7 1 sin 8)1 sin cos sin 2 cos 2 0

9)(2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin 10

11)sin tan cos 0 12)

x

x

+ π

Bài 16 Giải các phương trình sau:

( )

1)2sin sin 2 2)sin cos 2 cos

sin 2 cos 2 3) tan cot 4)(2sin 1) tan 2 3(2cos 1) 0

cos sin 5) cos 2 1 2cos s

2

in cos 0 6)4sin 4sin 3sin 2 6cos 0

7) tan 2 8)2 2 cos

cos cos 1 9) 2 1 sin 10) tan

sin cos

x

x

−

+

2 cos cos sin 1 tan tan

2

x

Bài 17 Giải các phương trình sau:

1)3 - tan tan 2sin 6 cos 0 2)sin 2 cos 2 3sin - cos - 2 0 3)9sin 6cos – 3sin 2 cos 2 8   4)sin tan 2 3(sin - 3 tan 2 ) 3 3 5) tan - tan

2

sin 2 cos 3 - 2 3 cos - 3 3 cos 2 8 3 cos - sin - 3 3 0

8)

.sin 3 sin sin 2 6)2 sin - cos

-4 7)

(1 sin ) cos 9)2sin

-4

π

π

2

2sin - tan

10) cot 2sin( ) 11) cos cos 2sin – 2 0 

2

sin 3 sin 5 12) cos cos3 2cos5 0 13)      

x

π

=

+

VI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH

Bài 18 Giải các phương trình sau:

2

2

1) 0 2)cos 2 tan

cos

2 os sin sin x cos 2cos 4

3)cot tan 4) 0

1 2sin cos

1 2sin 1 sin

x x

x

x

+

−

−

=

2 4

1 sin cos 2 sin

1 4

7)cotx t anx 4sin 2 8)cotx 1 sin sin 2

9) 10) cos sin 2 sin 4

x x

x

x

π

+

+

4

tan cot

2 cos sin

x

x

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP (các bài thi thử đại học)

Bài 21 Giải các phương trình sau:

3)(2 cos 1) cot

c x

x

−

2

3

cos cos 1

sin cos

3 tan +1

x

x x

x x

+

=

2

Bài 22 Giải các phương trình sau:

1) 3 2 cos 2 3 2cos sin 0 2) 2cos 1 cot

sinx cos 1

4

5)

tan cot 2

x

x

x

π

−

−

= +

2

n ) 6)2sin sin 2 sin cos 1 0 cot 1

7) tan 2 (sin sin 3 ) 8) 2 cos 1

x

−

−

+

Bài 23. Giải các phương trình sau

2 2

1 sin 2 cos 2 1)2(sin cos ) sin 3 cos3 3 2(2 sin 2 ) 2) cos (sin 2 2cos )

1 tan 2cos 2 sin 2 1

3) 1 2 2 sinx cosx 4) os2x + 3 osx + 5sinx = 3 2 3

sin 2 3 os2x

5)

s

x

x c x

π

+

+

3

1 sin 2 cos 2

1 6) 2 sin sin 2

s n2 2cos sin 1 7)sin 2 cos sin cos cos 2 sin cos 8) 0

sin

9)

1 cos

x x

x

+ +

2 3

2 2sin ( )

x

π

π

+

Bài 24 Giải các phương trình sau

( 4 4 ) ( )2 2

2

1) cos cos3 1 2 sin 2 2)2cos 6 2cos 4 - 3 cos 2 sin 2 3

4

5) cos 2 5 2(2 cos

x

π

2

3 )(sin cos ) 6) tan - 3 cos - sin tan

2 sin( ) cos( )

7) (cos sin tan )

8) cos9 2cos3 2 sin(3 ) 3sin

4 9) cos10 2 cos 4 6cos3 cos cos 2 cos 8cos cos 3

x

x

π

π

x