Phương trình lượng giác và cách giải không mẫu mực
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI
KHÔNG MẪU MỰC
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa
Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực
Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp
I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một
vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất:
0
0 0
2 2
B
A B
A
Bài 1 Giải phương trình:
0 2 sin 4 tan 3 2 sin 4 tan
GIẢI
m n Z
n x
m x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
, 2 6 6
2
1 sin
3
3 tan
0 1 sin
2
0 1 tan 3
0 ) 1 sin 2 ( ) 1 tan
3
(
0 1 sin 4 sin 4 1 tan 3 2 tan
3
0 2 sin 4 tan 3 2 sin 4 tan
3
2 2
2 2
2 2
Trang 2Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11
ĐS x 2k
6
(kZ)
II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình )
(
)
(x g x
f , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R:
) , ( ,
)
f và g(x) A, x (a,b) thì khi đó:
A x g
A x f x
g x f
) (
) ( )
( ) ( Nếu ta chỉ có f(x) A và g(x) A, x( b a, ) thì kết luận phương trình
vô ngiệm
Bài 2 Giải phương trình:
0 cos5xx2
GIẢI
x x
x
5
cos 0
Vì 1 cosx 1 nên 0 x2 1 1 x 1
2
, 2 1
,
Do x2 0 và cos5 x 0 nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 3 Giải phương trình:
1 cos
sin1996x 1996x (1)
GIẢI
(1) sin1996x cos1996x sin2x cos2x
) cos 1 ( cos ) 1 (sin
x
x
, 0 ) 1 (sin
sin 1 sin
0
1994 2
x
x
, 0 ) cos 1 ( cos 0 cos
1
0
1994 2
2
2
1 cos
0 cos
1 sin
0 sin
0 ) cos 1 ( cos
0 ) 1 (sin
sin
1994 2
1994 2
Z n m
n x
n x
m x
m x
x x x x
x x
x x
Trang 3Vậy nghiệm của phương trình là: ( )
k
x
k
x
Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin 1
sin sin
bx ax bx ax bx
ax
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin 1
sin sin
bx ax bx ax bx
ax
Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:
1 cos
.
sin
1 cos
.
sin
1 cos
.
cos
1 cos
.
cos
bx ax
bx ax
bx ax
bx ax
III PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM
Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau:
Dùng tính chất đại số
Áp dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương trình f(x) 0 có 1 nghiệm x ( b a, ) và hàm f đơn điệu trong ( b a, ) thì f(x) 0 có nghiệm duy nhất là x
Phương trình f(x) g(x) có 1 nghiệm x ( b a, ), f (x) tăng (giảm) trong ( b a, ), g (x) giảm (tăng) trong ( b a, ) thì phương trình f(x) g(x) có nghiệm x là duy nhất
Bài 4 Giải phương trình:
2 1
cos
2
x
x với x 0
Trang 4Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11
GIẢI
Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm x 0
2 cos ) (
2
x x x
0 ,
0 sin
)
(
Hàm f luôn đơn điệu tăng trong 0 ,
f(x) 0 có 1 nghiệm duy nhất trong 0 ,
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x 0
B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Bài 1: Giải phương trình:
0 2 sin 2 cos
2
2 x x x
GIẢI
Ta có (1) x2 2xcosx cos2x sin2x 2 sinx 1 0
1 sin cos
0 1 sin
0 cos
0 ) 1 (sin )
cos
x
x x x
x x
x x
x
Phương trình vô nghiệm
Bài 2: Giải phương trình:
1 cos
sin 4x 15x
GIẢI
Ta có: sin4x cos15x 1
x x
x
4
cos sin
cos
) cos 1 ( cos )
1 (sin
sin2 x 2 x 2 x 13 x
Vì sin2 x(sin2 x 1 ) 0 , x
Và cos2x( 1 cos13x) 0 , x
Do đó (1)
0 ) cos 1 ( cos
0 ) 1 (sin sin
13 2
2 2
x x
x x
Trang 5
1 cos
0 cos
1 sin
0 sin
x x x x
) , (
2 2
2
Z n m
n x
n x
m x
m x
ĐS x k
2 hay x 2k , (kZ)
C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI
Bài 3: Giải các phương trình:
1
4
1 ) 4 ( cos
x
2 cot ) cos sin ( 2 , 3 , 4 , )
4
1 (tanx x n n x n x n
GIẢI
1 Ta có:
(1)
4
1 4
) 2 2 cos(
1 4
) 2 cos 1 (
2 2
x x
( 1 cos 2x)2 ( 1 sin 2x)2 1
2
2 ) 4 2 cos(
1 2 sin 2 cos
x
x x
4
Z k k x
k x
2.Với điều kiện
2
k
x ta có tanx và cotx luôn cùng dấu nên:
1 cot 4
1 tan 1 cot 4
1 tan 2 cot 4
1 tan cot
4
1
n x x
x x
x x
x x
Trang 6Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11
Dấu "=" xảy ra
2
1 tan
4
1 tan cot
4
1
4
1 tan
2
x
) ( 2
1 arctan 2
1
Với nZ,n 2 thì:
1 sin cos
sin
1 2 2
2 2
2 2
Z m k m
n khi k x
hay k x
m n khi k x
(đều không thoả mãn điều kiện
2
k
x của phương trình) Vậy với n 2 ,nZ thì phương trình vô nghiệm
2
1
x
Bài 4: Giải phương trình:
1 1 3 cos
1 3 cos 1 cos
1
x
x x
GIẢI
Điều kiện:
0 3 cos
0 cos
x x
Khi đó (1) cosx cos2 x cos 3x cos23x 1
Vì
4
1 0
) 2
1 ( 4
2 a a aa
a
Do đó
4
1 cos
4
1 3 cos 3
2
1 3 cos 3 cos 2
1 cos
x
x x
x
x x
2
1 3 cos
2
1 cos
4
1 3 cos 3 cos
4
1 cos cos
2 2
Vậy phương trình (1) vô nghiệm
D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Trang 7Bài 1: Giải phương trình:
x x
3
sin 2 cos
HƯỚNG DẪN
x x
x x
x
x x x
x x x
, 1 sin
2
, 1 cos sin
, cos cos
, sin sin
4
3 3
2 3
2 3
Vậy phương trình tương đương:
1 sin 2
1 cos sin
4
3 3
x
x x
x
Bài 2: Giải phương trình:
0 2 tan
sinx x x với
2
x
HƯỚNG DẪN
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x 0
Đặt f(x) sinx tanx 2x liên tục trên
2
;
0
2
; 0 ,
0 cos
) 1 cos )(cos
1 (cos )
(
x x
x x
x x
0 1 cos cos
2
5 1 1 cos
0
2
5
f
đơn điệu tăng trên
2
;
0
Bài 3: Giải phương trình:
cos 4x cos 2x2 5 sin 3x
x
Bài 4: Giải phương trình:
x x
x
x sin cos sin
ĐS xk (kZ)
Bài 5: Giải phương trình:
0 1 sin
2
2 xy
x
Trang 8Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11
ĐS
k y
x
2 2
1
hay
k y
x
2 2 1
(kZ)