Phương trình lượng giác chứa căn và giá trị tuyệt đối

Phương trình lượng giác chứa căn và giá trị tuyệt đối

CHƯƠNG VII

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN

Cách giải : Áp dụng các công thức

B

2

B 0

A B

≥

⎧

= ⇔ ⎨

=

⎩

Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng

giác nên ta xử lý điều kiện B ≥0 bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ các bài toán quá phức tạp

Bài 138 : Giải phương trình 5cos x cos 2x 2sin x 0 *− + = ( )

( )* ⇔ 5cos x cos 2x− = −2sin x

2

sin x 0 5cos x cos 2x 4 sin x

≤

⎧

⇔ ⎨

⎩

sin x 0

≤

⎧⎪

=

2

sin x 0 2cos x 5cos x 3 0

≤

⎧

⇔ ⎨

⎩

sin x 0

1

2

≤

⎧

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

≤

⎧

⎪

⎪⎩

π

sin x 0

3

3

Bài 139 : Giải phương trình

sin x cos x sin x cot gx cos xtgx+ + + = 2sin 2x

Điều kiện :

cos x 0

sin 2x 0

sin 2x 0 sin 2x 0

≠

⎧

≠

⎧

⎩

⎩

Lúc đó :

( )* ⇔sin x cos x sin x cos x cos x sin x3 + 3 + 2 + 2 = 2sin 2x

(sin x cos x sin x cos x) ( 2 2 ) 2sin 2x

sin x cos x 0

⎧⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

4 4

sin 2x 1 nhận do sin 2x 0

1 sin 2x 2sin 2x

⎧ ⎛ + π⎞≥ ⎧ ⎛ + π⎞≥

5

π

⇔ =x +m2 , mπ ∈

4

Bài 140 : Giải phương trình + = ⎛⎜ π⎞⎟( )

2

4 +

Ta có : (*)

4

1 8sin 2x cos 2x 4 sin 3x

4

⇔ ⎨

π

⇔ ⎨

π

⎩

4

2

4

1 4 sin 2x 2 sin 6x sin 2x 2 1 sin 6x

⎧ ⎛ + π⎞≥

⎧ ⎛ + π⎞ ≥ ⎧ ⎛ + π⎞ ≥

So lại với điều kiện sin 3x 0

4

π

12

π

⎛ + ⎞ = ⎛ + π =⎞

⎡

= ⎢

−

⎢⎣

1 , nếu k chẵn nhận

1, nếu k lẻ loại π

•Khi x = 5 + πk thì

12

⎛ + ⎞ = ⎛ + π =⎞ ⎛− + π

3

⎞

⎟

⎠

−

⎡

= ⎢

⎢⎣

1, nếu k chẵn loại

1, nếu k lẻ nhận

Do đó ( )* ⇔ =x π +m2π ∨ =x 5π +(2m 1 , m+ )π ∈

Bài 141 : Giải phương trình 1 sin 2x 1 sin 2x 4 cos x *( )

sin x

Lúc đó : ( )* ⇔ 1 sin 2x− + 1 sin 2x 2sin 2x+ =

( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 )

2 2 1 sin 2x 4 sin 2x

sin 2x 0

⇔ ⎨

≥

⎪⎩

1 sin 2x 2sin 2x 1

sin 2x 0

⇔ ⎨

≥

2

1 sin 2x 4 sin 2x 4 sin 2x 1

1 sin 2x

2 sin 2x 0

⎪

⎪

⎪

≥

⎪⎩

+

sin 2x 4 sin 2x 3 0

1 sin 2x

2

⎪

⇔ ⎨

≥

⎪

⎩

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

sin 2x sin 2x

2 sin 2x

2 3 sin 2x

2

π π

⇔ 2x = +k2π ∨2x = 2 +k2 , kπ ∈

⇔ =x + π ∨ =k x + πk , k∈

Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trị tuyệt đối

⎪⎩

sin x 0

*

cos x sin x cos x sin x 2 sin 2x cos x sin x cos x sin x 2 sin 2x

Bài 142 : Giải phương trình sin x+ 3 cos x+ sin x+ 3 cos x =2 *( )

Đặt t sin x 3 cos x sin x sin3cos x

cos 3

π

1

cos 3

( )* thành t+ t 2 =

≤

⎧

t 2 t

t 2

t 1

t 1 t 4

Do đó ( )*

⇔ x = − +k2π ∨ =x +k2 , kπ ∈

Bài 143 : Giải phương trình

Chia hai vế của (*) cho cos x 0≠ ta được

( )* ⇔ 3 tgx 1 tgx 2+ ( + ) =5 tgx 3( + )

Đặt u = tgx 1 với u+ ≥ 0

x Thì u2 − =1 tg

(*) thành 3u u( 2 +1) (= 5 u2 +2)

3 2

(u 2 3u) ( 2 u 5) 0

2

u 2 3u u 5 0 vô nghiệm

Do đó ( )* ⇔ tgx 1 2+ =

tgx 1 4

tgx 3 tg với

⇔ = = α⎜ − < α < ⎟

Bài 144 : Giải phương trình ( 1 cos x cos x cos2x) 1sin 4x *( )

2

( )* ⇔ ( 1 cos x− + cos x cos 2x sin 2x cos 2x) =

≥

⎧

=

⎩

cos x 0

≥

⎪

cos x 0 cos x 0

hay sin 2x 0 2x k , k

≥

⎪

cos x 0 cos x 0

hay sin 2x 0

4 2 1 2 (1 cos x)cosx sin 2x ( VT 1 VP )

≥

⎧

cos x 0

hay 5

(1 cos x ) cos x 0

π

4

cos x 0 ( sin 2x 0 ) cos x 1 ( sin x 0 sin 2x 0 )

⇔ = ± + πx π h , h∈

4

Bài 145 : Giải phương trình sin x 1 cot gx3 ( + )+cos x 1 tgx3 ( + )= 2 sin x cos x *( )

( )* sin x3 sin x cos x cos x3 cos x sin x 2 sin x cos

(sin x cos x sin x cos x) ( 2 2 ) 2 sin x cos x

sin x cos x 0

1 sin 2x 2sin 2x

⎧

⎩

⎧ ⎛ + π⎞≥

⎪

sin 2x 1

4

⇔ ⎨

⎪ + = + π ∈

4

⎧ ⎛ + π⎞≥

⇔ ⎨

4

3

π

⇔ =x +h2 , hπ ∈

4

Bài 146 : Giải phương trình cos 2x+ 1 sin 2x 2 sin x cos x *+ = + ( )

4

π

Lúc đó : ( )* ⇔ cos x sin x2 − 2 + (cos x sin x+ )2 = 2 cos x sin x+

cos x sin x cos x sin x 2 cos 2x cos x sin x

4 sin x cos x

sin x cos x 0

⎡

⇔ ⎢

⎣

( )

cos2x 2 cos x * *

= −

⎡

⇔ ⎢

= −

⎢⎣

2

cos 2x 4 4 cos x cos x

= −

⎡

⎣

2

tgx 1 cos x 1 cos x 5 loại

π

⇔ = − + π ∨ =x k x k2 , kπ ∈

4

⎝ ⎠

x k thì cos 2x cos 0 nhận

Và sin x sin k 0 nhận( )

4

π

⎛ + ⎞ = π =

• x k2 thì cos 2x 1 nhận= π =

và cos x cos 0 nhận( )

⎛ + ⎞ = >

Do đó (*) ⇔ = − + π ∨ =x π k x k2 , kπ ∈

4 Chú ý : Tại (**) có thể dùng phương trình lượng giác không mực

( )* * cos x cos 2x 2

sin x cos x 0

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

2

cos x 1

cos 2x 2cos x 1 1

sin x cos x 0

=

⎧

⎪

⎩

=

=

⎧

cos x 1

x 2k , k sin x cos x 0

Cách khác

( )* ⇔ cos x sin x2 − 2 + (cos x sin x+ )2 =2 cos x sin x+

⇔ (cos x sin x).(cos x sin x )+ − + cos x sin x+ 2 =2 cos x sin x+

⎧⎪

⎪⎩

cos x sin x 0 cos x sin x 0 hay

⎧⎪

⎪⎩

cos x sin x 0

2 cos x 2 cos 2x 4

⎧⎪

⎪⎩

cos x sin x 0

=

⎧ π

=

⎩

cos 2x 1 4

π

( nhận xét: khi cosx =1 thì sinx = 0 và sinx + cosx = 1 > 0 )

BÀI TẬP

1 Giải phương trình :

a/ 1 sin x cos x 0+ + =

b/

2

2

4x cos cos x

1 tg x

−

=

−

c/ sin x+ 3 cos x = 2 cos 2x+ + 3 sin 2x

d/ sin x 2sin x 2 2sin x 12 − + = −

−

3tgx

2 sin x 1 f/ sin 2x cos 2x 1 02 4

sin cos x

g/ 8 cos 4x cos 2x2 + 1 cos 3x 1 0 − + =

h/ sin x sin x sin x cos x 1+ + 2 + =

k/ 5 3sin x 4 cos x 1 2 cos x− 2 − = −

l/ cos 2x cos x 1 tgx= 2 +

2 Cho phương trình :

( )

1 sin x+ + 1 sin x m cos x 1− =

a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Giải và biện luận theo m phương trình (1)

3 Cho f(x) = 3cos62x + sin42x + cos4x – m

a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 0

b/ Cho g x( ) =2cos 2x 3cos 2x 12 2 + Tìm tất cả các giá trị m để phương trình f(x) = g(x) có nghiệm

(ĐS : 1 m 0≤ ≤ )

4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

1 2cos x+ + 1 2sin x m+ =

(ĐS : 1+ 3 ≤ m 2 1≤ + 2)

B) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CÁC TRỊ TUYỆT ĐỐI

Cách giải : 1/ Mở giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa

2/ Áp dụng

≥

B 0

= −

⎩

Bài 147 : Giải phương trình cos 3x = −1 3 sin 3x *( )

cos 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

⎪

⇔ ⎨

1 sin 3x

3

1 sin 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x

⎪

⇔ ⎨

1 sin 3x

3

4 sin 3x 2 3 sin 3x 0

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

1 sin 3x

3

3 sin 3x 0 sin 3x

2

π

sin 3x 0 k

3

Bài 148: Giải phương trình 3sin x 2 cos x 2 0 *+ − = ( )

( )* ⇔ 2 cos x = −2 3sinx

2 3sin x 0

4 cos x 4 12sin x 9sin x

⎧

⇔ ⎨

⎩

⎪

⇔ ⎨

2 sin x

3

4 1 sin x 4 12 sin x 9 sin x

⎪

⇔ ⎨

2 sin x

3 13sin x 12 sin x 0

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

2 sin x

3

12 sin x 0 sin x

13

sin x 0

x k , k

Bài 149 : Giải phương trình sin x cos x sin x cos x+ + =1 *( )

4

π

Với điều kiện : 0 t≤ ≤ 2

Thì t2 = +1 2sin x cosx

Do đó (*) thành : t2 1 t 1

2

− + =

2

⇔ = ∨ = −

Vậy ( )* ⇔ 12 = +1 2sin x cosx

π

sin 2x 0

k

2

Bài 150 : Giải phương trình sin x cos x 2sin 2x 1 *− + = ( )

Đặt t = sin x cos x điều kiện 0 t− ( ≤ ≤ 2)

Thì t2 = −1 sin 2x

( )* thành: t 2 1 t+ ( − 2)=1

2

1

2

⇔ = ∨ = −

khi t = 1 thì 12 = −1 sin 2x

⇔ =

π

sin 2x 0

k

2

Bài 151 : Giải phuơng trình sin x cos x4 − 4 = sin x + cos x *( )

( )* ⇔(sin x cos x sin x cos x2 + 2 )( 2 − 2 ) = sin x + cos x

cos 2x sin x cos x

2

cos 2x 0 cos 2x 1 2 sin x cos x

⎧⎪

⎪⎩

2

cos 2x 0

1 sin 2x 1 sin 2x

≤

⎧⎪

⎪⎩

2

cos 2x 0

≤

⎧⎪

⎪⎩

cos 2x 0 sin 2x 0

≤

⎧

⎩

2

cos 2x 0

cos 2x 1 cos 2x 1

≤

⎧

=

π

⇔ =x + πk , k∈

2

Bài 152 : Giải phương trình 3 sin 2x 2cos x 2 2 2cos 2x *− 2 = + ( )

Ta có : ( )* ⇔ 2 3 sin x cos x 2cos x 2 2 2 2 cos x 1− 2 = + ( 2 − )

cos x.sin x cos x

6

π

cos x 0

cos x 0

π

⇔ =x + πk , k∈

2

Bài 153 : Tìm các nghiệm trên (0,2π) của phương trình :

( )

sin 3x sin x sin2x cos2x *

1 cos 2x

−

−

Ta có : ( )* 2cos 2x sin x 2 co

4

π

Điều kiện : sin x 0≠ ⇔ ≠ πx k

Khi x 0, thì sin x 0 nên :

4

π

π

π

4

4 k

16 2

9

Do x 0, nên x hay x

Khi x∈ π π( ,2 )thì sinx < 0 nên :

( )

π

π

π

π

* cos 2x cos 2x

4 cos 2x cos 2x

4

4 5

4

16 2

Do x∈ π π( ,2 ) nên x = 21π∨ =x 29π•

Bài 154 Cho phương trình : sin x cos x a sin 2x (*)6 + 6 =

Tìm a sao cho phương trình có nghiệm

Ta có :

= −

2

2

3

4 Đặt t = sin 2x điều kiện 0 t 1≤ ≤

thì (*) thành : 1− 3t2 =at ( )* *

4

1 3 t a

t 4

⇔ − = (do t = 0 thì (**) vô nghiệm) Xét y = −1 3t trên D= ( ]

= − − <

Do đó : (*) có nghiệm a 1

4

Bài 155 Cho phương trình cos 2x m cos x 1 tgx= 2 + ( )*

Tìm m để phương trình có nghiệm trên 0,

3

π

Đặt t = tgx thì

Vậy : (*) thành: 1 t− 2 =m 1 t * *+ ( ) (chia 2 vế cho cos2 ≠ 0) Khi 0 x

3

π

≤ ≤ thì t∈ ⎣⎡0, 3⎤⎦

−

Xét y =(1 t 1 t trên 0, 3− ) + ⎡⎣ ⎤⎦

Ta có

( − ) − ( + ) (+ − )

y ' 1 t

3t 1

2 1 t

Do đó : (*) có nghiệm trên 0,

3

π

BÀI TẬP

1 Giải các phương trình

2 2

b/ 4 sin x 3 cos x 3

1 c/ tgx cot gx

cos x

1

sin x

g/ 4 sin x

cos x

h/ 2 cos x

x

2

sin x cos x sin 2x

2 n/ cos x sin 3x 0

1 r/ cot gx tgx

sin x

o/ tgx 1

+

=

2 sin x cos x a sin 2x 1+ + =

Tìm tham số a dương sao cho phương trình có nghiệm

3 Cho phương trình: sin x cos x 4 sin 2x m− + =

a/ Giải phương trình khi m = 0

b/ Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS 2 4 m 65

16

Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi ĐH Vĩnh Viễn)