Viết pt cạnh thứ ba của tg đó biết rằng trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ y=7.. Với mỗi gt của k hãy tìm gđ của hai đường thẳng.. Tìm quĩ tích của gđ khi k thay đổi.. Tìm tọa đ
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ PHẲNG
I.Toán về đường thẳng:
1/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết trung điểm của các cạnh có tọa độ là: M(2;1),N(5;3),P(3;-4).
2/ Viết pt trung trực của các cạnh tg ABC biết trung điểm của các cạnh có tọa độ là: M(-1;-1),N(1;9),P(9;1).
3/ Lập pt các cạnh của tg ABC nếu biết B(-4;-5) và hai đường cao có pt là: 5x+3y-4=0; 3x+8y+13=0.
( 8x-3y+17=0; 3x-5y-13=0; 5x+2y-1=0 )
4/ Tg ABC có pt cạnh AB là 5x-3y+2=0, các đường cao qua đỉnh A,B lần lượt có pt là 4x-3y+1=0 và 7x+2y-22=0.
Lập pt hai cạnh AB,AC và đường cao thứ ba của tg ( 2x-7y-5=0; 3x+4y-22=0; 3x+5y-23=0 ).
5/ Lập pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh C(4;-1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có pt tương ứng là: 2x-3y+12=0 và 2x+3y=0 ( 9x+11y+5=0; 3x+2y-10=0; 3x+7y-5=0 ).
6/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh A(1;3) và hai trung tuyến có pt là x-2y+1=0 và y-1=0.
( x+2y-7=0; x-4y-1=0; x-y+2=0 ) 7/ pt hai cạnh của một tg trong mptđ Oxy là: 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0 Viết pt cạnh thứ ba của tg đó biết rằng trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ ( y=7 ).
8/ Cho tg ABC biết đỉnh A(2;-1) và hai phân giác trong của góc B,C có pt: x-2y+1=0; x+y+3=0 Lập pt cạnh BC.
( 4x-y+3=0 ) 9/ Cho hai đường thẳng ( ) : d1 kx y k − + = 0;( ) : (1 d2 − k x2) + 2 ky − − 1 k2 = 0 Với mỗi gt của k hãy tìm gđ của hai đường thẳng Tìm quĩ tích của gđ khi k thay đổi
2
2 2
10/ Viết pt đt đi qua gđ của hai đt ( ) : 2 d1 x y − + = 1 0 & ( ) : d2 x − 2 y − = 3 0 đồng thời chắn trên hai trục tọa độ
những đoạn thẳng bằng nhau ( 3x-3y-2=0; x+y+4=0 ).
11/ Viết pt đt đi qua điểm M(5;1) và tạo một góc 450 với đt 2x+y-4=0 ( 3x-y-14=0; x+3y-8=0 ).
12/ Lập pt đt đi qua điểm P( 2;-1 ) sao cho đt đó cùng với hai đt ( ) : 2 d1 x y − + = 5 0 & ( ) : 3 d2 x + 6 y − = 1 0 tạo
thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đt ( 3x+y-5=0; x-3y-5=0 ).
13/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh B(2;-1); đường cao và phân giác trong qua đỉnh A,C là:
( ) : 3 d x − 4 y + 27 0 & ( ) : = d x + 2 y − = 5 0 ( BC: 4x+3y-5=0; C(-1;3); AC: y-3=0; A(-5;3); AB: 4x+7y-1=0 ) 14/ Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A C , ∈ ( ) : d1 x − = 3 0; B ∈ ( ) : 3 d2 x y − − = 4 0;
3
( ) : 6 0
D ∈ d x y + − = ( B(2;2), D(4;2), A(3;3),C(3;1) ).
15/ Viết pt các cạnh của hình vuông MNPQ biết các cạnh lần lượt đi qua 4 đỉnh A(1;2), B(-2;1), C(-3;-2), D(3;-1) ( Gọi pt các cạnh MN, PQ, NP, MQ là a(x-1)+b(y-2)=0; a(x+3)+b(y+2)=0; b(x+2)-a(y-1)=0; b(x-3)-a(y+1)=0.
Từ d(MN;PQ)=d(NP;MQ) suy ra (a;b)=(3;-2) hoặc (1;2) )
16/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD biết: A( - 1; 3), C( 6; 2) ( ( 2; - 1) và ( 3; 6) )
17/ Cho hình vuông có một đỉnh là A( - 4; 5) và một đường chéo có pt là 7x – y + 8 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
( ( 3; 4), ( 0; 8), ( - 1; 1) ) 18/ Cho đt (d): x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A( 0; 1), B( 3; 4) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho 2 2
2MA + MB có GTNN.
19/ Trong MPTĐ Oxy cho HCN ABCD có pt AB: x – 2y -1 = 0, pt BD: x – 7y + 14 = 0 và đc AC đi qua điểm M(2;1) Tìm tọa độ các đỉnh HCN ( Gọi n uuurAC = ( ; ) a b cos n ( uuur uuurAC; nBD) = cos n ( uuur uuurAC; nAC) ⇒ n uuurAC = − ⇒ (1; 1)
AC: x – y – 1 = 0 ⇒ A (1;0), (7;3), B BC : 2 x y + − 17 0 = ⇒ C (6;5) ⇒ I (3,5;2,5) ⇒ D (0;2) )
20/ Trong MPTĐ Oxy cho ∆ ABC có pt AB: y = 2x, pt AC: y = - 0,25x + 2,25 Trọng tâm G(8/3;7/3).Tính dt ∆ ABC
( A (1;2), (2;4), (5;1) B C ⇒ S∆ABC = 4,5 ) 21/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A( 1;0 ), B( 3; - 1) và đt (d): x – 2y – 1 = 0 Tìm điểm C ∈ ( ) d : dt ∆ ABC = 6.
( ( - 5; - 3), ( 7; 3) ) 22/ Trong MPTĐ Oxy cho ∆ ABC có A ∈ ( ) : d x − 4 y − = 2 0, BC //( ) d , pt đường cao BH là x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M( 1; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ ABC ( pt AC: 1.( x − − 1) 1.( y − = ⇔ − = ⇒ 1) 0 x y 0 ( 2 / 3; 2 / 3) (8 / 3;8 / 3) :1.( 8/ 3) 4.( 8/ 3) 0 4 8 0 ( 4;1)
Trang 223/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A( 2; -1 ), B( 1; - 2) và trọng tâm G của ∆ ABC nằm trên đt x + y – 2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết dt ∆ ABC = 1,5 ( ( 6; 0) và ( 3; 3) )
24/ / Trong MPTĐ Oxy cho ∆ ABC vuông tại C Biết A( - 2; 0), B( 2; 0) và k/c từ trọng tâm G của ∆ ABC đến Ox
bằng 1/3 Tìm tọa độ đỉnh C ( C( ± 3; 1 ± ) )
25/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 đt (d): x + y + 1 = 0, (d’): 2x – y – 1 = 0 Lập pt đt đi qua điểm M( 1; 1) và cắt (d), (d’)
tại A,B sao cho: 2 MA MB uuur uuur r + = 0 ( A a a ( ; − − 1), ( ;2 B b b − ⇒ 1) 2 a b + − = 3 2 b − 2 a − = ⇒ = 6 0 a 0, b = ⇒ 3
A( 0; -1), B( 3; 5), AB: 2x – y – 1 = 0 )
26/ Trong MPTĐ Oxy cho ∆ ABC có A( 1; 5), B( - 4; - 5), C( 4; - 1) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC
( Gọi M(x;y) và N(x’;y’) là các điểm nằm trên các đường phân giác trong của góc A ˆ & B ˆ Khi đó ta có:
5( ' 4) 10( ' 5) 8( ' 4) 4( ' 5)
).
II.Toán về các đường cong:
27/ Cho đtr (C ): x2+ y2 = 1 và đt (d): x + y – 1 = 0 Lập pt đtr (C’ ) qua gđ của (C ) và (d) TMĐK:
a/ (C’ ) đi qua điểm A( 2; 1) ; b/ (C’ ) có tâm thuộc đt (d’): 2x – y – 2 = 0 ;
c/ (C’ ) tiếp xúc với đt (D): 2x + y – 3 = 0 ; d/ (C’ ) cắt (D’): x + y – 4 = 0 tại hai điểm A,B sao cho AB = 2.
28/ Cho hai đtr (C ): x2+ y2− = 1 0 & ( ') : C x2+ y2− 4 x = 0 a/ Chứng minh (C ) và (C’ ) cắt nhau.
b/ Viết pt đtr qua gđ của (C ), (C’) và qua điểm M( 3; 0) c/ Viết pt đtr qua gđ của (C ), (C’) và t/x với đt: x+y – 2 = 0.
29/ Cho đtr (C ): x2+ y2− 2 x − 8 y − = 8 0 Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến: a/ đi qua điểm M( 4; 0).
b/ đi qua điểm A( - 4; - 6) c/ // (d): x – y = 0 d/ ⊥ ( ') : 3 d x − 4 y = 0 e/ Tạo với (d”) một góc 450.
30/ Viết pttt chung của hai đtr ( ) : C x2+ y2+ 4 x + = 3 0 & ( ') : C x2+ y2− 8 x + 12 0 =
31/ Cho đtr ( ) : C x2+ y2+ 2 x − 4 y − = 4 0 và điểm A( 3; 5) Gọi M,N là hai tiếp điểm của 2 tt với (C ) được kẻ từ
A Tính độ dài MN ( MN = 4,8 )
32/ Cho đtr ( ) : C x2+ y2− 2 x − 6 y + = 6 0 và điểm M( 2; 4) Viết pt đt đi qua M và cắt đtr (C ) tại hai điểm A,B sao cho M là trung điểm của AB.
33/ Viết pt đtr đi qua 2 điểm A( 3; 1), B( - 1; 3) và có tâm thuộc đt: 3x – y – 2 = 0.
34/ Viết pt đtr có tâm nằm trên đt: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với 2 đt (d): 3x + 4y + 5 = 0 và (d’): 4x – 3y – 5 = 0 35/ Viết ptđtr t/x với 3 đt: 3 x + 4 y − 35 0;3 = x − 4 y − 35 0 & = x − = 1 0
( Tâm của 3 đtr này là:( 17/2;0 ), ( 9; 0), ( 35/3; 19/6), ( 35/3; 8/3) ) 36/ Viết ptđtr tiếp xúc với 2 đt: 7x – y – 5 = 0 ; x + y + 13 = 0 và với một trong hai đt ấy tại điểm M( 1; 2).
( ( x − 29)2+ + ( y 2)2 = 800 & ( x + 6)2+ − ( y 3)2 = 50 ) 37/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 đt (d): x - 2y + 3 = 0, (d’): 4x + 3y – 5 = 0 Lập ptđtr (C ) có tâm I trên (d), tiếp xúc với (d’) và có bk R = 2 ( I có tọa độ ( 21/11; 27/11) và ( - 17/11; 7/11) )
38/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A (1;2), (1;6) B và đtr (C ): ( x − 2)2+ − ( y 1)2 = 2 Lập pt đtr (C’ ) qua B và t/x với (C ) tại A
( I( 2; 1).Đt IA có ptts: x = − 1 ; t y = + ⇒ 2 t I '(1 ;2 − t + t ) .Do I’A = I’B nên t =2 ⇒ I '( 1;4), ' − R = 8 ) 39/Tìm tọa độ điểm M trên đt x – y + 1 = 0 sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến t/x với đtr (C ): x2+ y2+ 2 x − 4 y = 0 tại 2 điểm A, B mà R AMB = 600
( M x x ( ; + 1), ( 1;2), I − R = 5 ⇒ IM2 = 2( x2+ = 1) 4 R2 = 20 ⇒ = ± ⇒ x 3 M (3;4), M '( 3; 2) − − )
40/Trong MPTĐ Oxy cho đtr (C ): x2+ y2− 12 x − 4 y + 36 0 = Viết ptđtr tiếp xúc với 2 trục tđ và t/x ngoài với (C )
Trang 3( (C ) có tâm I( 6; 2), bk R = 2 Gọi (C’ ) là đtr có tâm I’(R’;R’) tiếp xúc với Ox, Oy và t/x ngoài với (C )
' ( ' 6) ( ' 2) ( ' 2) ' 2;18
41/ Trong MPTĐ Oxy cho Parabol ( ) : P y2 = 64 x và đt ( ) : 4 ∆ x − 3 y + 46 0 = Viết pt đtr có tâm thuộc ( ) ∆ , t/x
với ( P ) và có bk nhỏ nhất ( Gọi M y ( 02/ 64; ) ( ) y0 ∈ P ⇒ d M ( ; ) ∆ = ( y0− 24)2+ 160 / 80 2 ≥ Gọi M( 9; 24) Ptđt qua M và ⊥ ∆ ( ) : 3 x + 4 y − 123 0 = ⇒ I (33/ 5;129 / 5) Vậy ptđtr là: ( x − 33/ 5)2+ − ( y 129 / 5)2 = 4 ) 42/ Trong MPTĐ Oxy cho đtr (C ): x2+ y2+ 6 x − 91 0 = và điểm A( 3; 0) Đường tròn (C’ ) thay đổi nhưng luôn
đi qua A và tiếp xúc với (C ) Tìm tập hợp tâm của đtr (C’ ) ( Gọi I( - 3; 0), M( x; y) là tâm của (C’) MI + MA =10
2 2 12 5 3 / 5 (5 3 / 5)2 ( 3)2 2 16 2 25 2 400
43/ Lập pt Elip biết : a/ Hai tiêu điểm F1( 1;0) & − F2(5;0) và tâm sai e = 3/5; b/ Tâm I( 1; 1); tiêu điểm F1(1;3) và
độ dài trục nhỏ bằng 6 ( a/ ( x − 2) / 252 + y2/16 1; /( = b x − 1) / 9 (2 + − y 1) /13 12 = )
44/ Lập pt Elip biết hai tiêu điểm F1( 1; 1) & − − F2(3;3) và độ dài trục lớn bằng 12.
( MF1+ MF2 = 12; MF12 = + ( x 1)2 + + ( y 1) ,2 MF22 = − ( x 3)2+ − ( y 3)2⇒ MF12− MF22 = 8 x + 8 y − ⇒ 16
2 2
1 2 (2 2 4) / 3 1 ( 16) / 3 8 8 2 14 14 238 0
MF − MF = x + y − ⇒ MF = + + x y ⇒ x + y − xy − x − y − = )
45/ Cho Elip ( ) : 4 E x2+ 9 y2 = 36 và điểm M( 1; 1) Lập ptđt qua M và cắt Elip trên tại hai điểm A, B sao cho M là
trung điểm của AB ( đt qua M có pt: y kx k = − + ⇒ 1 4 x2+ 9( kx k − + 1)2 = 36 Nghiệm của pt này là các hoành độ của A và B Ta có MA MB = ⇔ xA+ xB = 2 xM ⇔ = − k 4 / 9 ⇒ ptđt là: 4x + 9y – 13 = 0 )
- //