Bài giảng về đường tròn

Bài giảng về đường tròn

Bài giảng số 14

HĐƯỜỪNG TRÙN

Cùng với đường x thang, đường tròn là một trong hai chủ dé chính luôn được đề cập đến trong các để thi môn Toán vào các trường Đại học và Cao đẳng trong những năm 2002-2009 Bài giảng này cung câp các phương pháp cơ bản để giải các bài toán về đường tròn trong hình học giải tích phẳng

§1 CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

~ Người ta thường dùng hai dạng phương trình sau đây của đường tròn: 1/(x-a)°+(y—b)`=RỂ

Dưới dạng này, đường tròn có tâm tại l(a;b) và bán kính R

2/x?+ yˆ+ 2ax + 2by + c =0, trong dé a’ + b’>c

Dưới dạng này đường tròn có tâm tại điểm I(-a;-b) và bán kính bằng Va? +b? -c

Giả sử cho đường tròn (C): (x — a)’ + (y - b} = RỶ và đường thang đ: Ax + By +C =0 Gọi h là khoảng cách từ tâm Ï (a;b) của (C) tới d Khi đó ta có:

h _ JAa + Bb + Cc|

Khi đó nếu:

~h>R: (C) và d không cắt nhau

-h =R: (C) và đ tiếp xúc với nhau

—=h<R:(C) và d cắt nhau tại hai điểm

Các kết quả nói trên luôn luôn được sử dụng đến trong bài giảng này

Các dựng bài tập cơ bản:

Loại 1: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thắng hàng cho trước Đây là dạng bài tập cơ bản nhất Ta có thể sử dụng cả hai cách viết phương trình đường tròn dé giải loại bài tập đơn giản này Xét các thí dụ sau đây:

Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2007)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với ba đỉnh A(0;2), B(-2;-2), C(4;-2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống cạnh AC, còn M,N tương ứng là các trung x điểm của AB, ÁC

Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm H, M,N

Giải

Vì M,N tương ứng là trung điểm của AB, AC nên ta có ngay:

M(-1; 0) và N(1; ~2)

H là hình chiếu của B trên AC, nên dễ dàng thấy H(1;1) (xem thí dụ 1, loại 1,

§2, bài giảng 13)

Bài toán quy về viết phương trình đường

tròn đi qua ba điểm H(1; 1), M(—1;0), N(1:—2) A

Goi x’ + y’ + 2ax + 2by + c = 0 là phương H

trình đường tròn ấy Ta có hệ ba phương trình

sau để xác định a, b, c: M

I

-2a+c=-l ` & I

c=-2

Vậy đường tròn phải tìm có phương trình:

x'ty?-x+y-2=0 Thí dụ 2: (Đề thi tuyên sinh Cao đẳng Công nghiệp Hà Nội — 2004)

Trong mặt phăng Oxy cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC theo thứ tự có phương trình x+y~2=0 và 2xt6y-3=0 Cạnh BC có trung điểm M(-1;I)

Viet phương trình đường tròn ngoại tiệp tam giác ABC

Giải Toa độ (x;y) cua A là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi P là trung điểm của AC Khi đó

MP//AB, nên MP có dạng x +y+d =0 Do MP qua P

M(_I;]) œ= 0

Từ đó tọa độ (x;y) của P là nghiệm của

3

4

Do P là trung điểm của AC, nên từ (1) (2) suy ra c(-:2)

Lập luận tương tự ta có: a 2)

Bài toán trở thành: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A,B,C Giải như thí dụ I (bài toán rât cơ bản) ta có phương trình đường tròn cân tìm là:

x'+y°~x+3y— = Nhận xét: Như vậy đề giải các bài toán thuộc loại I viết phương trình đường tron qua ba diém A, B, C có hai bước:

262

~ Tìm tọa độ ba điểm A, B, C

— Lập hệ phương trình để xác định các tham số a, b, c trong phương trình tổng quát:

x+y? + 2ax + 2by+c=0

Loại 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thắng hoặc đường

Dé giải các loại toán này chỉ cần sử dụng thành thạo các kiến thức sau đây: 1/ Đường thắng Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của đường tròn (x ~ a)” + (y - b)= R” khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I(a; b) tới đường thắng bằng R

2/ Hai đường tròn (O¡; R.) và (O;; R›) tiếp xúc ngoài (tiếp xúc trong) với nhau khi và chỉ khí O¡O; = Rị + R› (O,OÔ› = [R¡ — Rạ|

Thí dụ 1: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối B — 2009)

Cho đường tròn (C): (x — 2+ y `= 5 và hai đường thăng dị: x - y = 0, d;: x— 7y = 0 Viết phương trình đường tròn tâm K nằm trên (C) và đồng thời tiếp xúc với d›, dà

Giả sử đường tròn (C,) cần tìm có tâm K(a;b) và bán kính R Khi đó (C¡) có phương trình: (x — a)’ + (y — b)’= R? (1)

Vì K e (C) nén tacé: (a-2) +b? == (2) Mặt khác vì (C¿) tiếp xúc với cả dị và d; nên ta có:

d(K,d,)=d(K,d,)=R< (K,d,)= d(K.d;) Te 7 yey = =R@ja—bl=—~———— Rabe =R ( (3)

Từ (3) ta có la — 7bị = 5la - bị © c© 2 (4)

a—7b=5b—5a a=2b

Từ (4) suy ra:

~ Nếu a = „ thay lại vào (2) và có 25a” — 20a + l6 = 0; vô nghiệm

a

~ Nếu a = 2b, thay lại vào (2) và có (5b - 4)"=0 <> b ==

Vậy ta có K (5:3 và khi đó R=—— Do đó đường tròn cần tìm có dạng

8Ý 4Ý 8

(C): [x-2) +(y-4} _

Thí dụ 2: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khỗi B ~ 2005)

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điêm A(2;0) và B(6;4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và có khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5

Do đường tròn tiếp xúc với trục

hoành tại A(2; 0) nên tâm l của nó nằm

trên đường thắng x=2 Giả sử 1(2; yo), tai

bán kính R của đường tròn chính là R = "` B

<> (2-6) + (yo— 4) = 25 Z |

L+ -—¬

=7 \ I ỷ

= yo ~ BYo +7 060/077 0 2|Á 2 6

— Khi yo= 7 đường tròn là:

(x~2)'+ (y- 7 =49

~ Khi yo=l đường tròn là:

@&~2'+(- =1

Thí dụ 3:

Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thắng x = 5 và tiếp xúc _ với hai đường thẳng dị: 3x — y + 3 =0 và dạ: x— 3y + 9 = 0

Giải Goi I (5; yo) là tâm đường tròn cần tìm Do đường tròn tiếp xúc với cả dị và d; nên ta có phương trình:

|l5- yọ +3|_ |Š5-3yo +9|

v0 v0

— Khi yo= -2 R= 40, còn khi yp = 8, R= 0

Yo =8

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu đầu bài: 3 5

(x—5}+(y—8)? =10

Thi du 4:

Trong mặt phăng tọa độ Oxy cho đường

thắng d: x— y + 1 - V2 = 0 va diém A(-1;1)

Viết phương trình đường tròn (C) qua A, gốc tọa độ Ó và tiếp xúc với d

Goi M là trung điêm của OA thì M(-3:5] Ta có: OA =(-!;l) là vectơ

pháp tuyến của trung trực của đoạn OA, do

đó trung trực của đoạn OA có phương trình:

-(x+z)*[y~-2]=0s-xey~l =0,

2 264

Tâm I của đường tròn nằm trên trung trực này, nên ta có: Ï(xe;xo+1) Theo bài

ra ta có:

~ X =0

1A = d(, d)ìc© (xạ+1)+ x? = aati |

V2 Xo = -]

+ Khi xạ=0 thì bán kính R của (C) là R =1

+ Khi xạ=l thì bán kính của (C) là R =1

x? +(y-ĐŸ =]

Vậy có hai đường tròn cần tìm

(x+Ð?+y2 =1 Thi du 5:

Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(4;2) va tiếp xúc với hai đường thang d): x-3y-2=0 và d;: x—3y+18=0

Giai Gia sử đường tròn (C) có phương trình:

(x8) + (y — b} = RẺ,

Do A e.(C), nên tacó _(4—a)+(2—b)ˆ= R? (1)

Vì đường tron (C) tiép xúc với dị và dạ, nên ta có:

|a-3b-2|_ |a—3b + I§|

——=——=—=— =R <>|a- 3b - 2| = la - 3b + I8|, 2

(4~-a)”+ (2-b}=R? |(4-a} + (2-b)°=R?

23

Giai hé trén tacé: a= 1; b=3 va aa; b=—

Vậy có hai đường tròn cần tìm là:

2

(x-1)? + (y-3)°=10 va (x-2) + tp -2Ï =to

<

-

Thi dụ 6:

Viết phương trình đường tron (Ci) tiếp 2 1 ty xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với 8 sứ N /

Giải,

Viết lại (C) dưới đạng: (x ~ 6} + (y — 2}? =

Vậy (C) là đường tròn tâm I(6;2), bán kính

R= 2 Vì đường tròn cần tìm tiếp xúc với hai

trục tọa độ nên tâm J của nó phải năm trên y = x

(hoặc y = —x) Do đó, ta xét hai khả năng sau: 6

+ Nếu J thuộc đường thăng y=x Lúc đó, giả sử J = (xạ; yo}), thì R = |xo| Vì

đường tròn tâm J, bán kính xọ tiếp xúc ngoài với đường tròn (C), nên ta có:

=lxo|+2 <> (xp —6}” +(xe =2)” =| xạ |+2 © 2xg—16xg†40Exu2+4+4|xo| (1)

+ Nếu xọ <0, thì (1): © 2xạ” —16xg†+40 = xạ” + 4— 4xo

© xạ” — 12xạ + 36 = 0: Vô nghiệm

X= 2

X, = 18

* Nếu J thuộc đường thang y =~x Lúc đó giả sử J = (xo;— xạ), thì R = |xa|

Lúc này, làm tương tự như trên, ta có:

1} =|xol +2 <> (xq -6)° +(—xy -2)° }xq | +2

Khi đó ta có xọ = 6 Vậy có ba đường tròn cần tìm là

(x~ 2} +(yS— 2)” = 4; (xS—18} +(y — 18) = 24 va (x — 6)’ +(y + 6)’ = 36

+ Néu xo>0, thi (1) © xo -20xạ+36=0 ©

§2 BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ

CÁT TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN

Trong mục này xét các bài toán về lập phương trình tiếp tuyến và cát tuyến

với đường tròn (C) cho trước và thỏa mãn những điều kiện nào đó:

Phương pháp giải các bài toán này cũng dựa vào công thức tính khoảng cách

từ tâm I(a,b) của đường tròn (C): (x — a) + (y —by = RỶ, tới đường thăng Ax + By + C

= 0 sau đây: d(1,A)=LÊ2©BB+€|,

A+B Ngoài ra ta cũng cần sử dụng đến các điều kiện sau:

A la tiép tuyén cua (C) © d(I, A)=R

A cắt (C) tại hai điểm phân biệt © dt, A) <R

Loại l1: Các bài toán về tiếp tuyến với đường tròn

Thi du 1(Dé thi tuyén sinh đại học khỗi B — 2006)

y Trong, mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C):

x+y +2x+tồy+ó= 0 và điểm M(-3; 1)

Gọi Tì, T; là các tiếp điểm của các tiếp tuyến

kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường

thăng T)T2

1 Viết lại (C) dưới dạn dạng: (x— IỞ+(y—3)'=

M T, Đó là đường tròn tâm I(1; 3) va ban tinh R

| =2 Vì M = (3; 1) nên ta có ngay y = Ï là -3 6o 1 một tiếp tuyến của (C) vẽ từ M, do đó

T¡(1;1) là một tiếp điểm của tiếp tuyến y = | với (C)

M >

266

Tiếp điểm T› đối xứng với T¡ qua MI nên T;T; là đường thắng qua T¡ và nhận

MI (4:2) là vectơ pháp tuyến Do đó đường thắng T;T› có dạng:

4(x—1) + 2(y -1)=0 & 2x+y-3=0 Nhận vét:

Ta hãy xét lời giải sau đây, lời giải này áp dụng được cho mọi bài toán có dạng trên:

Gọi T¡(XI;: Vị) và T2(X:; và) là hai tiếp điểm Khi đó các tiếp tuyến MT), MT;

và (C) lần lượt có phương trình:

(x~ IQi- 1) + (y- 301-3) = 4D)

(x — 1)(x2~ 1) + (y — 3)(y2- 3) = 4 (2)

Do hai tiép tuyén nay déu di qua diém M(—3;1), nén thay vào (1), (2) ta có

4(1~ x,)+2(3 - y,)=4 ° 2x,;+y,-3=0 (3) 4(I= x;)+2(3 - y2)=4 2X; +y;„ =3=0 (4)

Hệ phương trình (3) (4) chứng tò rằng đường thẳng nỗi T:, T› có phương trình 2x+y-3=0

Ta thu lại lời giải trên

Chủ ý-

Lời giải này dựa trên kết quả sau: Tiếp tuyến tại điểm M(xo;yo) e(C) có đạng:

(x— a)(xạ + a) + (y — b)(yo— b) = R’,

ở đây (C): (xT— a)” + (y — b} = RỶ

Thi du 2: (Bai todn co ban về viết phương trình tiếp tuyến)

Cho đường tròn x”+ yÌ— 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M (4; 1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) và đi qua M

Giải Viết lại (C) dưới dạng (x — + (y— 3ÿ =4 Vậy (C) là đường tròn có tâm tại I(1;3) và bán kính R = 2

Đi qua M(4; 1) có hai dạng đường thăng:

l/Ai: x=4 Khi đó đ(, Ai) = |4 — 1= 3 > R, A¡ không phải là tiếp tuyến 2/ Ar: y= k(x —4)+ 1 ©kx-y+ I-4k=0

Vi A h tiếp tuyến, nên ta có: d(I, A;) = 2

k=0

ep <C= <2 eI~2~3k 2= 4(k2 +1) e 5k +12k =0 cs 12

Vậy có hai tiếp tuyến y = 1 va 12x + Sy — 53 = 0

Chú ý-

Ta đưa ra cách 2 giải bài toán trên:

Gọi Ax + By+C=0(A?+ BỶ> 0) là tiếp tuyến Vì đi qua M(4; 1) nên có:

4A+B+C=0=C=-4A-B

Do đó tiếp tuyến A có dạng: Ax + By - 4A — B =0

Theo bài ra ta có phương trình:

d{I A)=2cyLâ+‡E-4A-BỊ

VA’ +B? =2¢>(2B-3A) =4(A’ +B’)

A=0

<=> 5A? -12AB=0 <>)

SA =12B

+ Néu A = 0, chon B= 1 A:y=l

Nếu 5A = 12B, chọn A = 12, B= 5, C =-53, thi A: 12x + 5y— 53=0

Thí dụ 3: ,

Trong mặt phẳng xOy, cho đường tròn (C) -x” + y” + 2x — 4y — 20 = 0 Viết: phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng nó vuông góc với đường thăng x + y = 0

Giải

Vì vuông góc với đường thẳng x + y = 0, nên tiếp tuyến A có đạng x — y + C = 0

Ta có (C): (x + l)” + (y— 2ÿ = 25 nên (C) là đường tròn tâm I_—1; 2), bán kính R= 5 Từ đó ta có:

[=I=2+C|_,_|C=5V2+3

x- y+5V2+3=0

x-y-5V2 +3=0

Loại 2: Các bài toán về cát tuyến với đường tròn:

Thi dul:

Trong mặt phẳng xOy cho đường tròn (C): x + y’ + 2x — 4y = 0 và đường thăng d: x — y + I = 0 Viết phương trình đường thắng A sao cho A//d và cắt (C) tại

hai điểm M, N sao cho độ dài MN = 2

d(I,A)=5<

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm

Giải

M Viết lại phương trình (C) dưới dạng:

d (x+1+(y-2= 5

Do d6 (C) c6 tam I(-1;2) va ban kinh R= V5

Từ đó IH = VIM? —-HM? =2

Nhu vay ta co: d(I, A) = 2

Vậy có hai đường thẳng cần tìm:

Cho đường tròn (C): x°+y°— 8x — 2y = 0 va điểm A(9;6) Viết phương trình đường thắng qua

A va cắt (C) theo một dây cung có độ dài 4-/5

; Giai Goi A: Ax + By + C = 0 là đường thăng phải tìm

268

Do qua A(9; 6) nén tacd: 9A +6B+C=0 C=-9A +6B

Vay A cé dang: Ax + By - 9A- 6B =0 Ké IH L MN Lập luận như thí dụ 1

ta có:

A?+Bˆ

O4A +10AB+4Be =0 2) — | +5, —|4+2=00

B 2 , A

+ Néu uaa, , chon B= -1,A =2 => A: 2x-y-12=0

A 1

+ Nếu II

Thí dụ 3: |

Cho đường tròn (C): (x— 4Ÿ + (y ¬3 =4 và điểm

1(5; 2) Viết phương trình đường thắng A qua I cat (C)

tại hai điểm A, B sao cho I 1d trung diém cia AB

Giai

Có thể thay ngay I5; 2 2) nằm trong

đường tròn (vì (ŠS— 4Y +(2 — 3)/=2<4)

Do IA =IB IO LAB

Ta có đường thăng A qua !{5;2) nhận Ol =

(1!) là vectơ pháp tuyến nên A có phương

trình: (x— 5)—(y—2)=0 © x-y-3=0

§3 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Ay

Một trong những dạng hay gặp của các bài toán thuộc chuyên mục đường tròn là

bài toán xác định các điểm thỏa mãn

những yêu cầu cho trước nào đó

Xét các thí dụ sau:

Thí dụ 1: (ĐỀ thi tuyển sinh Đại học khéi D-2009)

old > xCho đường tròn (C): @&-Ý + y'=1 Tìm

1 là tâm của (C) và O là gốc tọa độ

Đường tròn (C) có tâm I(1;0) và bán kính R = 1

Trong tam giác cân OIM có ÍOM = 30° nên OIM =180°— 60°= 1201

269

eww TNS

wwe ++atXo;Vo) Khi đó ta có hệ:

iy adiy 28

X + =3 3 M3

w= 39% 2

Vậy có hai điểm M, (3.2) va MỊ | cần tìm

Thí dụ 2: (Đề thì tuyển sinh Đại học khối D~-2006)

Trong mặt phẳng xOy, cho đường tròn (C) x? + y’~ 2x - 2y ~ 1 = 0 và đường thang d: x ~y + 3 = 0 Tim toa dd M ed sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính (C) và tiếp xúc ngoài với (C)

DoM ed => M =( Xo; Xo+ 3) Dé thay (C) có dạng

2 ke IP ty- Ds],

nên (C) có tâm I(1;1) và bán kính R = 1 Từ đó đường tron (C,) tam M co bán

nh gấp đôi bán kính (C) có bán kinh Ry = 2

Do (C) và (C;) tiếp xúc ngoài nên IM = Rị+ R =3 IM = 9

«(xe T1} +(xạ+3-Ÿ “ i

Xo = —2

Vậy có hai điểm cần tìm là: M;(1;4) và M;(-2; 1)

Thí dụ 3: (Đề thí tuyển sinh Đại học khối D — 2007)

Trong mặt phẳng xÕy, cho đường tròn (C): (x — ly +(y + 2 = 9, và đương rd: 3x-—4y+m=0

Tim M dé trén d co duy nhat diém P sao cho tir

>) va PAB là tam giác đều

P vẽ được 2 tiếp tuyến PA, PB

(C) là đường tròn có tâm I(1;-2) bán kính R=9 Vì PAB là tam giác đều nên

ÍPA = ÍPB= 30° —IP = 21A = 2R= 6

Vậy P là giao điểm của đ với đường tròn tâm ï bán kính 6

Do đó để có duy nhất P thỏa mãn yêu cầu đầu bài, thì khoảng cách từ I toi d bàng 6

Từ đó ta có phương trình sau để xác định m:

[3+8+m| eo

Vay m = 19 va m= —41 14 hai gia tri cần tìm của tham số M