Phßng Gi¸o dôc
HuyÖn Vò th §Ò kh¶o s¸t häc sinh giái n¨m häc 2007 – 2008M«n: To¸n líp 7
Thêi gian lµm bµi : 120 phót
Bµi 1: 5®iÓm
1.Thùc hiÖn phÐp tÝnh (theo c¸ch hîp lÝ nÕu cã thÓ)
9
2007 1004 2007
b)
4 16
2) Chøng tá r»ng 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hÕt cho 31
Bµi 2 (4®iÓm)
1)T×m x biÕt 1: x 1 0, 25 5
3 12
2)T×m ba sè x,y,z biÕt r»ng 2x y z
3 5
vµ x y z 20
2
Bµi 3 (4®iÓm)
Cho hai ®a thøc : P(x) = x5 – 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 6
Q(x) = 3x4 + x5 – 2(x3 + 4) – 10x2 + 9x
§Æt H(x) = P(x) - Q(x)
1.Chøng minh ®a thøc H(x) kh«ng cã nghiÖm
2.Chøng tá r»ng: H(x) 2008 víi x Z
Bµi 4(5®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC, trªn c¸c c¹nh AB vµ AC theo thø tù lÊy c¸c ®iÓm M,N sao cho AM = AN ( M n»m gi÷a A vµ B, N n»m gi÷a A vµ C)
1.Chøng minh r»ng : NÕu AB = AC th× BN = CM
2) Cho biÕt AB > AC:
a) chøng minh r»ng : BN > CM
b) Gäi giao ®iÓm cña BN vµ CM lµ K, so s¸nh BK vµ CK
Bµi 5 (2®iÓm)
Chøng minh r»ng: 12 12 12 12 2
2 3 4 n 3 víi n N, n 4
Híng dÉn gi¶i
Bµi 1: c©u 1: 3,5 ® - ý a: 1,5 ®; ý b: 2®; C©u 2: 1,5 ®
1) Thùc hiÖn phÐp tÝnh (theo c¸ch hîp lÝ nÕu cã thÓ)
1 2009 1 2008 2008.2009 2009
2007 1004 2007 2007 1004 2007
1
Trang 22008 2.2009 2009 2.2009
2007 2007
2008 2009 1
2007 2007 2007
(0,5đ)
b)
(0,5đ)
2 2
2 2
(0,5đ)
2 (1 2 ) 1 1
2 (1 2 ) 2 64
2) Chứng tỏ rằng 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31
1 + 5 + 52 + 53 + + 529 =(1 + 5 + 52) + (53 + 54 + 55) + +( 527 + 528 + 529) (0,25đ)
= (1 + 5 + 52) + 53 (1 + 5 + 52) + + 527 (1 + 5 + 52) (0,5đ)
= 31 + 53.31 + + 527 31 (0,25đ)
= 31.(1 + 53 + + 527) chia hết cho 31 (0,25đ) Vậy 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31 (0,25đ)
Bài 2
Mỗi câu đúng cho 2 đ
Bài 3
Làm đúng mỗi câu cho 2điểm
1.Chứng minh đa thức H(x) không có nghiệm
+.Tính đúng H(x) = x2 + 2x + 2 (1đ)
= ( x + 1)2 + 1 (0,25đ)
Do 2
x 1 0 x (0,25đ) 2
x 1 1 1 0 x (0,25đ) => H(x) không có nghiệm
2.Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x Z
H(x) = x2 + 2x + 2 = x(x + 2) + 2
Giả sử tồn tại x Z để H(x)= 2008 (0,25đ)
=> x(x + 2) + 2 = 2008 => x(x + 2) = 2006 (0,25đ)
=> x hoặc x+ 2 chia hết cho 2 => x và x+ 2 chia hết cho 2 (0,25đ)
=> x(x + 2) chia hết cho 4 tức là 2006 không chia hết cho 4 (0,25đ) Mâu thuẫn , vì 2006 không chia hết cho 4 , điều giả sử là sai (0,25đ) Vậy H(x) 2008 với x Z
Bài 4
Câu 1 : 1đ: Câu 2 4đ
1) ABN ACM(cgc)
BN CM
2) ý a đúng cho 2điểm, ý b đúng cho 2 điểm
a) Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC
Khi đó D nằm giữa B và M Nối D với N
+.c/m: V ADN V ACM(c.g.c) DN CM
ADN ACM 180
=> ã 0
ADN 90
2
A
B
C
K I
A
M
N D
Trang 3Mà ã ã ã 0
BDN NDA 180 BDN 90
=> Trong tam giác BDN có BN > DN, mà DN = CM
=> BN > CM
b) Gọi giao điểm của DN và CM là I Ta c/m : V DNM V CMN
INM IMN
Do D nằm giữa B và M nên tia ND nằm giữa 2 tia NB và NM
BNM DNM KNM INM
KNM KMN KM KN
Mặt khác theo c/m trên ta có : BN > CM => BK > CK
Bài 5
Chứng minh rằng: 12 12 12 12 2
2 3 4 n 3 với n N, n 4 +.Với n = 5 dễ dành tính đợc giá trị biểu thức là1669 1 2
3600 23 và BĐT luôn đúng +.Với n > 5
Đặt A 12 12 12 12
k k(k 1)
2 3 4 5 6 n 3600 5.6 6.7 n(n 1)
1669 1 1 1 1
3600 5 6 n 1 n
1669 1 1 1669 1 2389 2
3600 5 n 3600 5 3600 3
3