Đại số tuyến tính dùng trong kinh tế

LỜI NÓI ĐẦUTừ nàm học 1995 - 1996 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Chương trình toán cao cấp C1 và toán cao cấp C2 dùng cho các ngành kinh tế, Tài chính kế toán, Quản trị kinh doanh, N

GS.TSTRẦN VĂN HẠO

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG KINH TỂ

NHÀ XUẤT BẲN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT

1997

LỜI NÓI ĐẦU

Từ nàm học 1995 - 1996 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Chương trình toán cao cấp C1 và toán cao cấp C2 dùng cho các ngành kinh tế, Tài chính kế toán, Quản trị kinh doanh, Ngoại thương.

Vì chương trình này có nhiều điểm khác biệt so vói chương trình và sách hiện đang dùng tại các Trường Đại Học, nên việc viết một quyển sách mới phù hợp với chương trình đ ể sinh viên tiện dùng là một việc rất cần thiết.

Ngoài ra những nội dung về kinh tế, tài chính nếu được đưa vào trong các ví dụ cũng sẽ làm cho quyển sách phù hợp với yêu cầu đào tạo của ngành nhiều hơn

Với những lý do đó, chúng tôi viết quyển sách này Vì thời gian gấp rút nên chắc chấn còn cổ những thiếu sót Chủng tôi mong sẽ nhận được ý kiến của bạn đọc d ể cuốn sách được hoàn thiện hơn, nhàm đạt yêu cầu quyển sách cơ sỗ đầu tiên trong một bộ sách Toán dùng cho các ngành kinh tế.

CHƯƠNG 1

MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

> P h ép to á n tr ê n cá c m a trận.

> Đ ịnh n gh ĩa và cá ch tính định thức.

> Ma trận n g h ịch đảo.

> H ạng củ a m a trận.

Tổng quát, chúng ta có định nghĩa sau :

o Định nghĩa 1 Một bộ n sô' được gọi là một vectơ

n-chiều.

♦ Thí dụ 1.

Khi kiểm kê hàng tồn kho ỗ một cửa hàng về

các mặt hàng điện tử gồm (Tivi JVC, Tivi SONY, đầu Video, cassette, băng) ta ghi lại như sau : (10, 12, 15, 27, 30)

Đó là một vectơ 5 chiều ứng với 5 loại mặt hàng 1.1.2 Định ngh ĩa ma trận .

Một bảng gồm m vectơ n-chiều, viết dưới dạng:

an a12 aln

A = a21 a22 • • a2n '■®ml ®m2 • được gọi là một ma trận câp m X n

© Định nghĩa 2 Ma trận cấp n X n được gọi là

ma trận vuông cấp n.

- Ma trận cấp m X 1 được gọi là vectơ cột.

- Ma trận cấp 1 X n được gọi là vectơ dòng

(đó chính là vectơ n-chiều đã nêu trên) 1.1.3 Ma trận bằng nhau

Hai ma trận A = (ay)m X n, B= (bịj)m X n được gọi là

bằng nhau, nếu chúng có cùng câp m X n, và các

1.1.5 Ma trậ n k h ô n g và ma trậ n đơn v ị

Ta hãy xét hai loại ma trận đặc biệt Ma trận

0 = (o) (mọi phần tử a,j = 0) được gọi là ma trận

không (cấp m X n).

Ma trận đơn vị là một ma trận vuông cấp n

In = (a¡j) „ x „ mà a¡¡ = 1, a„ = 0, Vi * j

1.2 PH É P TOÁN TRÊN CÁC MA TRẬN 1.2.1 P h é p c ộ n g h a i m a trậ n .

Cho A = (aö)m X n> B= (bg)m x „ là hai ma trận cùng cấp m X n.

Tổng A + B là một ma trận cùng cấp m X n, viết là C=A+B, c = (Cg) mà Cjj = a¡j + bg với mỗi cặp (i, j)

♦ Thí dụ 5.

1.2.2 P h é p n h â n m ột sô' v ớ i m ột m a trận Cho sô' thực r và ma trận A = (a¡j)m X „ Phép nhân sô' thực r với ma trận A sẽ cho ta một ma trận cùng câ'p vứi A, mỗi phần tử của nó là tích của r với các phần tử của A.!,

( 2 3 -1

A —

v5 1 3

1 -3 2 -2 -1 4 1 a thì :

rA = (rag),

8

Ta gọi ma trận c = (cik)m X p là tích của hai ma trận A và B và ký hiệu c = A.B nếu phần tử cik

(nằm ở dòng i cột k của ma trận C) là tổng của các

tích của các phần tử của dòng i của ma trận A nhân với các phần tử của cột k của ma trận B, tức là :

9

Bä T.M có hai cda häng (viet tát lá Ch) bán

häng dien tö So hlcrng häng hóa bán ra trong

tháng 1 vä tháng 2 cho bdi hai ma trän C, vä C2 :

c , + c 2 = 22 6 60 25^j

14 4 50 35J

♦ Thi du 9.

10

Hãy tính nhu cầu về vật tư cho từng phân xưởng (viết tắt là Px) theo kế hoạch sản xuất cho bỡi ma trận A (kế hoạch sản xuất các sản phẩm - viết tắt

là Sf) và ma trận B định mức hao phí các vật liệu (viết, tắt là VI), với :

(10 X 2) + (0 X 0) + (5 X 0) = 20

tức là lấy dòng 1 của ma trận A nhân với cột 1 của ma trận B rồi cộng lại.

Trong giáo trình này ta chỉ xét hoán vị cứa n số

tự nhiên 1, 2, 3, , n và gọi là hoán vị bậc n.

Như vậy mỗi hoán vị dược ký hiệu bởi dãy

ij, Ỉ2, , in trong đó ij * ik và là nhữtig sô' từ 1 đến n.

12

Trong hoán vị 3241 ta có các nghịch thế lập nên

từ các cặp (3,2), (3,1), (2,1), (4,1) Như vậy trong hoán vị này có tất cả 4 nghịch thế.

Còn trong hoán vị 1243 thì chỉ có một nghịch thế do cặp (4,3) tạo ra.

Một hoán vị được gọi là chẵn (lẻ), nếu số nghịch thế trong hoán vị đó là chẵn (lẻ).

Ta h ã y x é t các tíc h của n p h ầ n tử n ằ m ở các dòn g k h á c n h a u và các cột k h á c n h a u của m a tr ậ n

A M ỗi tích n h ư vậy có th ể v iế t dưới d ạ n g :

Cuối cùng ta đi đ ế n đ ịn h n g h ĩa sau :

d2 a ll

a 21

a I < )

a 22D2 là tổ n g của 2! = 2 h ạ n g tử a u a 22 và a ]2a 2i tro n g

D;j = a 11^22 Ssii + a]2 a23 a3i + a i3a2i a,'î2

h ạ n g tử này m an g dấu

/5

2.1.4 Tinh châ't của định thức ,

Sau đ áy là m ột số tín h c h á t cơ b à u cua đ ịn h thức

k h ô n g th a y đổi qua m ột ph ép chuyển VỊ.

V Tính chất 2. N ếu ta tra o đổi h ai dòn g (hoậc hai cột) của m ộ t đ ịn h thức cho n h au th ì đ ịn h thức đổi dấu

V Tính c h ấ t 3 Nếu đối với m ột dòn g th ứ 1 nào

Từ 4 tín h c h ấ t cơ bản đó chúng ta suy ra m ột sô"

hệ quả sau đây

Hê quả 1 ■

Nêu tro n g m ột đ ịn h thức có h ai dòng (hoặc h ai cột) trù n g nhau, th ì định thức đó b ằ n g không

T h ậ t vậy, nếu đ ịn h thức D„ có hai dòng thứ i và

th ứ k trù n g nhau, th ì b ằ n g cách trao đổi h ai dòng

dó cho nhau, đ ịn h thức D„ v ẫn không đổi, trong khi đó theo tín h c h ấ t 2, đ ịn h thức D„ dổi dấu, Vậy D„ = -D„ hay D„ = 0

Ta củng suy ra được từ tín h ch ảt 3 4 và hệ quả 1

Hè quả 2

Một đ ịn h thức sẽ k h ô n g đổi nếu ta lây các phần

tử bủa m ọt dòng n h à n với cùng một số rồi cộng với các p h ầ n tử tương ứng của m ột dòng khác

/7

Sau đ â y ta sẽ á p dụng h ệ quả đó đế tín h đ ịn h thức.

d ò n g th ứ b a v à cuối cùng lấ y dòng th ứ n h ấ t n h â n với - 3 rồ i cộng với dòn g th ứ tư T a được :

đ ịn h thức).

Bây giờ ta th ấy định thức D bằn g tích của các phần

tử trê n đường chéo chính (vì tấ t cả các h ạ n g tử khác đều có ít n h ấ t m ột p h ần tử bằn g không)

địn h thức D chính là m ột p h ầ n tử tùy ý của D

♦ T h í dụ 7 Cho địn h thức cấp 3

19

Ị a i i a 12 a ỉd I D7 - I 3^1 a<>3) j

a ) Cho m ộ t đ ịn h thức con M cáp k tro n g đ in h thức

con M tro n g D là đ ịn h thức con M’ th u đươc từ

D b ằ n g cách xóa k dò n g và k cột lậ p n ên định thức con M

M' = a :!2 a ;j:ì a ,!5

a- 9 a.-;j a-f>

thu được từ D b ằ n g cách bỏ dòng 2, dòng 4 và cột

1, cột 4

đ ịn h th ứ c th eo k d ò n g h o ặc k cột

♦ T h í dụ 9 : Tính địn h thức :

Trên hai dòng đầu có thế lập được 6 định thức con cấp 2, nhưng chỉ có một định thức con cấp hai khác không Vì vậy, theo định lý Laplace, nếu khai triển định thức theo 2 dòng đầu, ta có :

D = aiiAịi + ai2Ai2 + + ainAin

trong đó Ajj là phần bù dại số’ của phần tử 3ij.

Tương tự, công thức khai triển định thức theo các phần tử của cột j là :

D = aijAtj + a2jA2j + + anjAnj

♦ Thí dụ 1Ọ : Tính định thức

0 4 0 0

D 1 3 2 - 1 -2 5 3 1

3 7 2 -2

22

Khai triển theo d ồ ^ thứ n h ấ t/ta dược :

T rong trư ờng hợp tổ n g quát, ta có th ể dùng hệ quả 2 và tín h c h ấ t 2 của đ ịn h thức đế’ làm triệ t tiêu các p h ầ n tử n ằ m dưới đường chéo chính của

3 5 1 4

2 - 1 3 -2

1 2 0 - 3

4 1 2 - 1 Nếu ta nhân dòng đầu với các số rồi cộng vào

các dòng khác để làm triệt tiêu các phần tử ở cột

1 thì xuất hiện các phân số Vì vậy trước hết ta

làm xuâ't hiện sô" 1 ỗ góc trên bên trái bằng một

trong hai cách : hoặc nhân dòng thứ hai với -1 rồi cộng vào dòng đầu hoặc đổi chỗ dòng thứ nhất cho dòng thứ ba.

Đến đây ta lại đổi chỗ dòng thứ 2 với dòng thứ 3

để xuất hiện sô" -1 ở dòng thứ hai :

D =

1

23 4

2 0 - 3 -1 3 -2

1 2 / 1+2+1+2 -2 -61

0 -1 ( -1) 1 à 1 00 Õ (

-1) ( -145) 145

§ 3 MA TRẬN VUÔNG

Trong phần này ta chỉ xét các ma trận vuông cấp

n Mỗi ma trận vuông A có định thức của nó, mà ở trên ta đã ký hiệu là |a| hay det A.

3.1 ĐỊNH THÚC CỦA TÍCH HAI MA TRẬN: Cho hai ma trận vuông cấp n :

C hứng m in h :

Đế chứng minh, ta lập định thức D cấp 2n như sau :

sẽ có dạng :

26

0 0 0 Cii ci2 Cin (i = 1, 2, n)

Từ định lý 1 ta suy ra :

o Đinh lý 2 Tích của hai ma trận không suy

biến là một ma trận không suy biến.

27

3.2.2 Ma trậ n nghịch đảo.

Cho m a tr ậ n vuông A cấp n N ếu tồn tạ i m a tr ậ n vuông B cấp n th ỏ a :

A.B = B.A = I

T ro n g đó I là m a tr ậ n đơn vị, th ì B gọi là ina

tr ậ n n g h ịc h đảo của m a tr ậ n A, và ký h iệu :

B = A 1

Vì định thức của m a trậ n đơn vị I b ằ n g 1, n ên theo

định ìý l, nếu A có m a trậ n nghịch đảo A '1 th ì A

p h ải là m ột m a trậ n khô n g suy biếm

Từ đ ịn h lý 1 ta suy ra: đ ịn h thức của m a tr ậ n A 1

là n g h ịc h đảo của IAI

Người ta cũng ch ứ n g m in h ngược lạ i r ằ n g m ọi ma

tr ậ n k h ô n g suy b iế n đều có m a tr ậ n n g h ịc h đảo

a22- •a 2n

U nl a n2 a m>J

28

Xét định thức (Ai , và ký hiệu A , j là phần bù đại số’ của phần tử a„ trong ¡Al Thế thì ma trận nghịch đảo của A là :

Tacó |aỊ = 3; A„ = 3 , A12 = 2, A13 = - 4

A21 = 3 , A22 = 3 , A23 = -6 A31 = -3 , A32 = -1 , A33 = 5

b) Phương ph áp dùng các phép biến đổi sơ cấp

m a tr ậ n là m ộ t tro n g các p h ép to á n thuộc ba loại sau đ â y :

1) N h â n m ộ t dòng n ào đó của m a tr ậ n VỚI m ột số

tr ậ n đơn vị In th ì đồn g th ờ i các p h é p b iế n đổi sơ câ'p đó sẽ b iế n m a tr ậ n I„ ở b ê n c ạ n h th à n h m a

tr ậ n A ‘

♦ T h í dụ 2 T a h ã y dùn g phương p h á p n ày để tim lạ i m a tr ậ n n g h ịc h đảo của m a tr ậ n A tro n g

P h ép (1) : Cộng dòng th ứ 2 vào dòng đẩu.

P h ép (2): N hân dòng đầu với 2 rồi cộng vào dòng 2

P h ép (3): N h â n dòng th ứ ba với -2 rồi cộng vào

2

53^

1

1

35

2) Mọi địuh thức con cáp lớn hơn r trong ma trậ n

♦ T h í dụ 2 Tìm h ạ n g của m a trậ n cấp 5 x 4 :

,i'.í

G h i c h ú :

1 Đổi chỗ dòng 1 với dòng 5

2 Cộng dòng 1 với dòng 2, n h â n dòng 1 với -3rồi cộng với dòng 3 '

N h â n cột 1 với -3 rồi cộng vào cột 2, n h ân cột

1 với -2 rồi cộng vào cột 3, cộng cột 1 vào cột 4

7 N h â n cột 3 với 2 rồi cộng vào cột 4, n h â n cột 2

với -5 rồi cộng vào cột 3

3 Thực hiện phép nhân A.B và B.A, trong đó :

C hứng m in h rằ n g A" = 2" '.A với mọi n nguyên dương

A(a).A(p) = A(a+p)

v u ô n g c = (c-ý) được gọi là m a t r ậ n dô i x ứ n g

n ế u Cịj = Cj, với m ọi c h ỉ sô' i, j, h a y n ó i c ác h

10 M ột công ty xây dựng có X ưdng th iế t kê' và Đội

th ì công, có m a tr ậ n b iểu th ị số lao độn g n h ư sau :

K ỷ s ư K ỹ t h u ậ t v i ê n C ô n g

X ư ờ n g t h i ế t k ê

được biểu th ị tro n g m a tr ậ n đ ịn h mức B sau đ ây :

và kiếm tra lại các nghiệm tìm được bàn g cách

24 Cho A là m ột m a tr ậ n vuông, A' là ma tr ậ n chuyển vị của A T a gọi A là m a tr ậ n trực giao nếu

42

26 Cho ma trận tam giác

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN TUYÊN TÍNH

được qua h ệ (1) n ế u có các số thực ki, k2, kni sao cho :

n g h ĩa là : vectơ Xi biểu d iễn tu y ến tín h được qua

h a i vectơ X2 x 3

T a có th ế rú t ra n h ậ n x é t sa u :

H ệ vectơ (1) là phụ thuộc tu y ến tín h k h i và chỉ k h i có m ộ t vectơ của h ệ biểu d iễn tu y ên tín h được qua các vectơ còn lạ i của h ệ

kie! + k2e 2 + + knen = (kị, 0, ., 0) + (0, k2, ., 0) +

+ (0, 0, , kị,)

50

= ( k„ k 2, kn) = 0 = (0, 0, 0)

Từ đó suy ra ki = k2 = = k„ = 0

1.2.4 Tính chất.

1) Nếu hệ vectơ (1) là phụ thuộc tuyến tín h

thuộc tu y ến tín h

2) Nếu hệ vectơ (1) là độc lập tuyến tín h th ì mọi hệ gồm m ột sô vectơ của nó cũng độc lập tuyến tín h

2) T ín h c h ấ t này suy ngay từ đ ịn h n g h ía của

b) M ọi tạ p con gồm n h iề u hơn r vectơ của

h ệ (4) đều p h ụ thuộc tuyến tính

Đặc b iệ t n ếu h ệ (4) độc lập tuyến tín h th ì

h ạ n g của nó b ằ n g số vectơ của hệ

N ếu h ệ (4) gồm to à n vectơ k h ô n g th ì ta coi

h ạ n g của h ệ đó b ằ n g k h ỏ n g

52

Người ta chứng m in h được định lý sau :

o Đinh lý. H ạ n g của hệ v ectơ (4) trù n g VỚI

0 0

o '■

o

o o

o j

V ậy h ạ n g của h ệ vectơ đã cho b ằ n g 3

Ghi chú : Các p h é p b iế n đổi sơ cấp là :

(4) N h ân dòng 4 với 5 rồi cộng vào dòng 3, nhân dòng 2 với -1.

(5) N hân dòng 2 lần lượt với -2, 3, 4 rồi cộng vào dòng 3, dòng 4, dòng 5

(6) Đổi chỗ dòng 3 VỚI dòng 5

(7) N h ân dòng 3 với -1 rồi cộng vào dòng 4

(8) N hân cột 1 với 3, 1, -2 rồi cộng vào các cột 2,

3, 4 N hân cột 2 với -24, -3 9 rồi cộng vào cột 3, cột 4 N hân cột 3 với 1/81 N hân cột 3 VỚI -197 rồi cộng vào cột 4

§2 KHÔNG GIAN VECTƠ N -

CHIỀU

2.1 ĐỊNH NGHĨA.

Tập hợp các vectơ n chiều với h a i phép toán cộng h ai vectơ và n h â n m ộ t vectơ với m ột sô' thực

vectơ n chiều và ký hiệu là IR"

♦ T h í dụ 1

Đường th ẳ n g là k h ô n g gian ỈR1, mồi vectơ là

m ột sô' a elR

M ặ t p h ẳ n g là k h ô n g g ian IR 2, m ỗi vectơ 2 chiều

H ơn n ữ a, m ọi vectơ của k h ô n g g ian iR " đều biểu

d iễ n tu y ế n tín h được qua h ệ đó

T h ậ t v ậy , cho vectơ n chiều

Hệ vectơ u = < U), u 2, , u„ > gồm n vectư của

k h ô n g g ia n IR" gọi là m ộ t c,ơ sở của k h ô n g g ia n IR" nếu : 1

1 ) H ệ vectơ u là dộc lập tu y ến tín h