Chương thống kê

Bảng phân bố tần số - tấn suất Số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu được gọi là tần số của giá trị đó Ta thường trình bày mẫu số liệu trong một bảng gồm 2 cột : giá trị và

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa

ĐẠI SỐ 10

Chương 5

Thống Kê

www.saosangsong.com.vn

§ 1 Bảng phân bố tần số - tần suất

Bảng phân bố tần sô – tần suất ghép lớp

A Tóm tắt giáo khoa

1.Khái niệm cơ bản :

Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập,tổ chức,trình bày,phân tích và xử lý dữ liệu

Một tập hợp hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu.Số phần tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu

2 Bảng phân bố tần số - tấn suất

Số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu được gọi là tần số của giá trị đó

Ta thường trình bày mẫu số liệu trong một bảng gồm 2 cột : giá trị và tần số gọi là bảng

=

Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm

Nếu trình bày mẫu số liệu gồm 3 cột : giá trị , tần số , tần suất thì ta có bảng phân bố tần tần suất

x x

= là giá trị trung tâm của lớp thứ i Tần số ni của lớp thứ i là số dữ liệu trong lớp đó

Bảng của mẫu số liệu gọi là bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp

Ví dụ : Điều tra chiều cao của 30 học sinh nam trong một trường THPT ,ta thu được mẫu số liệu

Các lớp số đo Tần số Tần suất

[145; 150) [150; 155) [155 ; 160) [160; 165) [165; 170) [170;175)

a) Hãy lập bảng phân phối thực nghịêm tần số - tần suất rời rạc

b) Nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống kê

Giải

a) Bảng phấn phối thực nghiệm tần số – tần suất rời rạc

Năng suất lúa xi Tần số xi Tần suất fi

Ví dụ 3 : Chiều cao (đơn vị cm) của 40 học sinh được thống kê như sau :

Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần số ,tần suất

5.3 Điểm kiểm tra toán của 50 học sinh được thống kê như sau :

Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất

5.4 Người ta thảy 50 lần 3 con súc sắc và mỗi lần ghi tổng số các số của 3 mặt trên

,ta thu thập được :

Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất

5.5 Trong đợt kiểm tra dây chuyền sản suất của một nhà máy sản suất dồ hộp,người

ta cân 25 hộp trong dây chuyền sản suất (theo gam):

5.2 Bảng phân phối thực nghiệm tần số-tần suất số con trong 60 gia đình

Số con 1 gia đình Tần số Tần suất

5.3 Bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất điểm toán của 50 học sinh

Điểm toán Tần số Tần suất

5.4 Bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất của tổng các mặt trên của 3 con súc sắc sau 50 lần thảy

[95; 98) [98; 101) [101; 104)

Để có được những hình ảnh trực quan về tình hình phân bố của các số liệu thống kê,người ta mô

tả các bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần

suất bằng các biểu đồ,đồ thị

Vẽ hai đường thẳng vuông góc : trên trục nằm ngang ta ghi các khoảng xác định lớp ghép,trên trục đứng ta ghi tần số hay tần suất.Vẽ các hình chữ nhật có đáy bằng khoảng ghép lớp và chiều cao bằng tần số hay tần suất của lớp tương ứng

Ví dụ : Xem bảng phân phối thực nghiệm trong ví dụ 2

Vẽ biểu đồ tần số hình cột

0 2 4 6 8 10 12 14

16

Ta cũng có thể mô tả bảng phân phối thực nghiệm

bằng đường gấp khúc : Trên mặt phẳng tọa độ vẽ

các điểm (x ;f0

i i ) với i = 1,2,3…

Rồi vẽ các đoạn thẳng nối các điểm này với nhau

ta được đường gấp khúc.Đường gấp khúc này gọi

là đường gấp khúc tần suất

Các lớp chiều cao 0

i

[118;128) [128;138) [138;148) [148;158) [158;168) [168;178) [178,188)

133 12,5

37,5

20 14,5

2,5

143 153 163 173 183

3 Biểu đồ hình quạt

Hình tròn được chia thành những hình quạt.Mỗi lớp được tương ứng

với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của nhóm đó

Hình thu được gọi là biểu đồ hình quạt

Ví dụ 1: Diện tích các lục địa trên thế giới được phân chia như sau :

Uc Chau

Lục địa Diện tích (triệu km2)

Á Châu

Âu Châu Bắc Mỹ Châu Nam Mỹ Châu Nga Phi Châu

Úc Châu

26,9 4,9 24,1 17,9 20,5 10,1 8,5 Tổng cộng 133,3

Ví dụ 2 : Người ta phỏng vấn sở thích của 28 học sinh trong lớp 9

Sở thích Thể thao Truyền

hình

Đọc sách

Âm nhạc

Tin học

14,3% 51o 21,4% 77o

1

360 25

90100

4 3

2 1 6

5.7 Thống kê xếp loại văn hóa cuối năm học của lớp 10 có 40 học sinh như sau : 5

học sinh giỏi 25 học sinh tiên tiến và 10 học sinh trung bình Vẽ biểu đồ hình quạt

0 2 4 6 8 10 12

Biểu đồ đường gấp khúc

121 127 133 139 145 151 157 163 169 175 1

3 6 12

5 4 2

5.7 Biểu đồ hình quạt Hình quạt góc ở tâm của học sinh giỏi : α1=360 5

40

×

= 45 0 Học sinh khá 2 360 25

k

k k i i i

=

b) Trường hợp bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp ;

n

=

∑

Số trung bình có một ý nghĩa cụ thể : đó là giá trụ chung của các dữ liệu

nếu tổng số của chúng được chia đồng đều

Ví dụ 1 : Số trung bình của điểm toán của 50 học sinh trong bảng thực nghiệm rời rạc sau :

Điểm toán Tần số Tần suất

Mốt Mo là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân phối thực nghiệm tần số

Nếu trong bảng đó có hai giá trị có tần số bằng nhau và lớn hơn tần số của các giá trị khác thì

ta coi rằng :

• Mốt là trung bình cộng của 2 giá trị đó,nếu chúng kề nhau và số trung bình cộng này

có nghĩa;

• Mốt bị chi phối bởi cách thành lập bảng phân phối thực nghiệm

Ví dụ 1 : Khảo sát số con trong 100 gia đình :

Số con : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Số gia đình :n 15 28 22 13 11 6 3 1 1

Ta có mốt là Mo = 1 Ví dụ 2 : Khảo sát tiền công nhật (ngàn đồng)của 100 người : Các lớp tiền lương Giá trị x o i Tần số [20; 30) [30; 40) [40; 50) [50; 60) [60; 70) [70; 80) [80; 90) [90; 100) 25 35 45 55 65 75 85 95 2 15 23 27 16 10 5 2 N = 100 Ta có mốt là Mo = 55 (giá trị trung tâm của lớp có tần số lớn nhất [50; 60) Ví dụ 3 : Cho khối dữ liệu sau : 4 , 8 , 8 , 4 , 1 , 10 ,200 Ta có hai số mốt là 4 và 8 III Số trung vị : 1 Định nghĩa : Số trung vị Me của một dãy không giảm (hoặc không tăng) gồm n số liệu thống kê là : • Số đứng giữa dãy số ( số hạng thứ 1 2 n+ nếu n lẻ ) • Trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu n chẵn Số trung vị chỉ lệ thuộc vào số chính giữa và không lệ thuộc vào các số quá nhỏ hay quá lớn Ví dụ 1: Với các số : 2 , 4 , 5 , 7 10 thì số trung vị là Me = 5 Với các số 1 ,2 , 6 , 8 , 10 , 10 thì số trung vị là Me = 6 8 2 + = 7 Ví dụ 2 : Cho bảng phân phối thực nghiệm : Các lớp ghép Tần số Tích lũy [1; 2) [2; 3) [3; 4) [4; 5) [5; 6) [6; 7) [7; 8) 1 1

3 4

5 9

4 13

4 17

2 19

2 21

N = 21 Số trung vị số hạng thứ 11,5 thuộc lớp [4; 5) và Me = 4 + 1 1,5 4,375 4 × = (dùng phép tam suất) Ví dụ 3 : Cho bảng phân phối thực nghiệm : xi 0 1 2 3

Anh văn 4,5 với hệ số 2

Điểm kiểm tra của học sinh thứ hai B như sau :

Toán 7,5 với hệ số 3

Lý 7 với hệ số 2

Văn 2,5 với hệ số 3

Anh văn 3,5 với hệ số 2

Tính điểm trung bình của 2 học sinh này và nhận xét kết quả

Giải

5,5 3 5,5 2 5 3 4,5 2

5,110

Điểm trung bình cộng của B là

Ta nhận thấy điểm trung bình của hai học sinh này bằng nhau,nhưng các điểm của học sinh

A tập trung gần điểm trung bình,trái lại các điểm của học sinh

B xa hơn điểm trung bình

Ví dụ 2 Tính chiều cao trung bình của 100 học sinh được thống kê trong bảng phân phối thực

nghiệm ghép lớp như sau : (đơn vị cm)

Ví dụ 3 :Tính số trung bình cộng của kết quả nhảy cao của 55 học sinh (đơn vị cm) trong bảng phân

phối thực nghiệm ghép lớp sau :

tâm lớp [90; 95)

47,5 52,5 57,5 62,5 67,5

Số Mốt là số có tần số cao nhất thuộc lớp [50; 60) Vậy M0 =57,5

Ta có N = 29 nên sức nặng trung vị là số ở đó tần số tích luỹ là

N =29

2 = 14,5 Ta thấy sức nặng trung vị nằm trong lớp [55; 60)

Thực hiện phép tam suất Me = 55 + 5 14,5 8

* Ví dụ 8: Dùng kết quả của ví dụ 6 và 7 để tính số trung bình:

Ta chọn gốc mới là số Mốt thì số các dữ liệu mới sẽ nhỏ

Cho bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp nhảy cao của 55 học sinh của một lớp :

x

Ta chọn Mốt 107,5 làm gốc mới Độ dài mỗi khoảng là 5

a) Hãy xếp các số này từ nhỏ đến lớn và tím điểm trung vị

b) Lập bảng phân phối tần số ghép lớp với các lớp [1; 4) , [4; 7) ,

[7; 10] tìm điểm trung vị

c) Lập bảng phân phối tần số ghép lớp với các lớp [1,3) , [3; 5) ,

[5; 7) ; [7;10) và tím số trung vị

5.9.Bảng phân phối thực nghiệm sức nặng ghép lớp của 100 học sinh được thống kê

như sau (đơn vị kg) :

Các lớp Tần số [50;

53) [53;

56) [56;

59) [59;

62) [62;

5.10 Bảng phân phối thực nghiệm tiền công nhật (ngàn đồng bạc) của công nhân

trong một xí nghiệp như sau :

Lớp tiền công nhật Số người [30; 40)

[40; 50) [50; 60) [60; 70) [70; 80) [80; 90) [90; 100)

a) Tính tiền công trung vị,tiền công trung bình và Mốt

b) Vẽ đường gấp khúc tần suất

5.11 Thống kê số con trong 250 gia đình như sau ;

5.12 Cho hai bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp của năng suất lúa của 30

thửa ruộng ở địa phương A và 30 thửa ruộng ở địa phương B (đơn vị tạ/ha)

Các lớp Giá trị trung tâm Tần số Tích lũy

[53; 56) [56; 59) [59; 62) [62; 65)

Tần số n i x i n i x i Tích lũy [30; 40)

[40; 50) [50; 60) [60; 70) [70; 80) [80; 90) [90; 100)

N = 250

[15,50; 20,50) [20,50; 25,50) [25,50; 30; 50) [30,50; 35,50)

[15,50; 20,50) [20,50; 25,50) [25,50; 30; 50) [30,50; 35,50) [35,50; 40,50)

§4 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

A.Tóm tắt giáo khoa

lệch cộng lại rồi chia đều gọi là phương sai

N =

x

trong đó là số trung bình của mẫu số liệu

Căn số học bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn

Môn Điểm TB của A Điểm TB của B Văn

Sử Địa Anh Toán

Lý Hóa Sinh GDCD Thể dục

Kỷ thuật

7 7,5 7,8 7,5

8

7 7,2

8 8.5 7,5

7

5 5,5 5,5

8

8

9

10 7,5

9

8 7,5

* Điểm trung bình cả năm của các môn học không tính hệ số

• Điểm trung bình của học sinh A :

11 2 1

628, 68

i i

i i

Ví dụ 2 : Tiền công nhật của 65 nhân viên trong xí nghiệp tư nhân được thống kê như sau (đơn vị

ngàn đồng)

Các lớp tiền lương Số nhân viên

[50; 60) [60; 70) [70; 80) [80; 90) [90; 100) [100; 110) [110; 120)

Ta tính phương sai và độ lệch chuẩn của tiền công nhật theo các bước sau:

Lập bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất ghép lớp

Với giá trị trung tâm lớp thứ i là xi

Các lớp ghép

Ta suy ra các độ lệch xi - x = (xi + a) –( x + a) = ui - u không thay đổi

Vậy phương sai của các số mới ui bằng phương sai của các số cũ xi

Ví dụ như các số 1 ,2 ,9 có trung bình cộng là x = 4 và các độ lệch là – 3 , - 2 , 5 Nếu cộng các số

cho 50 ta được các số mới là 51 , 52 , 59 với số trung bình mới là 54 và các độ lệch là - 3 , - 2 , 5 Vậy các số 1 , 2 , 9 và các số 51 , 52 , 59 có cùng

Vậy phương sai của các số mới ui bằng phương sai của các số cũ xi nhân với hằng số dương b

Ví dụ 4: Dùng tính chất của bài 3 và 4 để tìm phương sai và độ lệch chuẩn của ví dụ 2 : tiền lương

công nhật của 65 nhân viên

Các lớp ghép

xi Tần số

ni

[50; 60) [60; 70) [70; 80) [80; 90) [90; 100)

Giải

Chọn điểm 75 của giá trị trung tâm các lớp làm gốc,nói khác đi trừ các số này cho 75 ta được : - 20 ,

- 10 , 0 , 10 , 20 , 30 , 40 ( theo bài 2 thì phép trừ này không thay đổi phương sai và độ lệch chuẩn) Chia các số này cho d = 10 ,chúng ta có các số mới là :

Ví dụ 5 : Hai xạ thủ cùng tập bắn ,mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào

bia Kết quả được ghi lại ở hai bảng số liệu thống kê sau :

a) Bảng phân phối thực nghiệm tần số điểm số x của xạ thủ A

a) Bảng phân phối thực nghiệm tần số điểm số x của xạ thủ A

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn :

Ta có phương sai của A:

5.15 :Số con của 100 gia đình được

ghi lại như sau :

Số gia đình 4 5 10 20 25 11 10 8 7

Tính phương sai và độ lệch chuẩn

6.16 : Người ta đo chiều cao của 50 cây lim trong một cánh rừng (đơn vị m) như sau

Tính phương sai và độ lệch chuẩn

5.17 :Thống kê khối lượng (kg) cá basa trong hai bảng phân phối thực nghiệm ghép

Khối lượng của nhóm cá basa thứ hai

Các lớp giá trị xi Giá trị trung tâm Tần số

[3 , 5) [5 , 7) [7, 9) [9, 11) [11, 13)

a) Hãy tính các số trung bình cộng của hai bảng phân phối trên

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn

c) Hãy nhận xét nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn

D.Hướng dẫn giải

5.14.Độ lệch chuẩn của các số 2 8 14 là s = 4,90

Ta thấy các số của b) bằng các số của a) cộng thên 10.Do đó độ lệch

chuẩn không thay đổi

Phương sai s2 = 21 – 16,97 = 4, 03

Số trung bình cộng : 137

6,8520

Số trung bình cộng : 158

7,920

c) Nhóm cá thứ nhứt đồng đều hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn

E Trắc nghiệm cuối chương

Câu nào sau đây đúng :

a) Tần số của 2 là 7 b) Tần suất của 3 là 20%

c) Tần suất của 1 là 33% d) Cả 3 câu trên đều đúng

2.Cho bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp

Câu nào sau đây đúng:

a) Giá trị trung tâm của lớp [42, 44) là 43 b) Tần số của lớp [42, 44) là 15

c) Tần suất của lớp [46, 48) là 5% d) Cả ba câu trên đều sai

3.Số trung bình cộng của các số liệu thống kê :

5 , 6 , 6 , 7 , 8 , 9 , 9 , 10 , 6 , 8 là số nào sau đây:

Dùng bảng thống kê dử liệu này để trả lời các câu 6 , 7 , 8

6 Số trung vị thuộc lớp nào sau đây :

9 Một lớp học gồm 50 học sinh.Chiều cao trung bình của 30 nữ sinh là 1,60m và chiều cao trung

bình của 20 nam sinh là 1,65m Chiều cao trung bình của 50 học sinh này là :

a) 1,62m b) 1,61m c) 1,63 d) số khác

số 2xi - 3 là :

a) 14 b) 11 c) 9 d) không tính được

11 Chiều cao trung vị của 50 nam sinh là 1,65m và chiều cao trung vị

50 nữ sinh là 1,61m thì chiều cao trung vị của 100 học sinh này là :

a) 1,62m b) 1, 63m c) 1,64m d) không tính được

12 Cho bảng phân phối thực nghiệm sau :

Phương sai là số nào sau đây:

Số trung vị là số có tần số tích lũy là 25 nên Me thuộc lớp [44,46)

7a. Giá trị trung tâm các lớp là 41 , 43 , 45 , 47 , 49

Số trung bình là : 41 5 43 10 45 26 47 5 49 4

50

Vậy phương sai là s 2 = 4,3 – (1,9) 2 = 0,69

13c. Ta thấy nếu cộng mỗi số 1 , 2, 3, 3, 6 với số 100 thì ta được :

101 , 102 , 103 , 104 , 105 , 106

Vậy độ lệch chuẩn các số này không thay đổi s = 1,67

14b. Biết độ lệch chuẩn của các số xi là s = 6 thì độ lệch chuẩn của các

5x i – 3 là s = 5(6) = 30

15.d Mốt là số có tần số lớn nhất