SỞ GD & ĐT NGHỆ ANTRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG.. Môn thi: Toán.. Viết phương trình đường thẳng đi qua P và cắt d1, d2 tương ứng tại A, B sao cho P là trung điểm củ
Trang 1SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM 2011.
Môn thi: Toán Khối 10.
Thời gian làm bài 150 phút.
Câu 1: ( 3 điểm).
Cho phương trình: −x2 +2x+4 (3−x)(x+1) =m−3 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m=12
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
Câu 2: ( 3 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
= +
= + +
5
5 2
x
xy y x
b) Giải bất phương trình: x2 −5x−14 ≥2x−1
Câu 3: ( 2 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng: (d1): x−y+1=0; (d2):
0
1
2x+ y− = và điểm P(2;1) Viết phương trình đường thẳng đi qua P và cắt (d1), (d2) tương ứng tại A, B sao cho P là trung điểm của AB
Câu 4: ( 1 điểm).
Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: a.IA2 +b.IB2 +c.IC2 =abc
Câu 5: ( 1 điểm).
Cho z ≥ y ≥ x > 0 Chứng minh rằng:
+ +
≤ + +
+
z x z x z x y z x
y 1 1 1( ) ( ) 1 1
Hết
-Họ và tên thí sinh: SBD:
ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM ĐỀ THI HSG TRƯỜNG NĂM 2011 MÔN TOÁN KHỐI 10.
Trang 2Câu Ý Nội dung Điểm 1) 3
điểm
a)
1.5
điểm
Khi m=12, ta có:
9 ) 1 )(
3 ( 4 2
−x x x x ⇔−x2 +2x+3+4 −x2 +2x+3−12=0 Đặt t= −x2 +2x+3, t≥0 Ta có pt:
0.5
−
=
=
⇔
=
− +
) ( 6
2 0
12 4 2
L t
t t
b)
1.5
điểm
Đặt t= −x2 +2x+3, ta có: t≥0, t=0 khi x=3, x=-1; t= −(x−1)2 +4 ≤2, t=2 khi x=1 Do đó đk của t là: 0≤t≤2
0.5
Ta có pt: t2 +4t =m Gọi f(t)= t2 + ⇒4t f(t) NB (-∞;-2), ĐB (-2;+∞) ⇒ f(t) ĐB (0;2)
0.5
Ta có BBT:
t 0 2
0
Từ BBT suy ra: Để phương trình có nghiệm thì 0≤m≤12
0.5
2) 3
điểm
a)
1.5
điểm
Đặt S=x+y, P=xy ĐK: S2≥4P Ta có hệ:
=
−
= +
) 2 ( 5 2
) 1 ( 5
S
P
(1)⇔P=5-S Thay vào (2): S2 +2S−15=0⇔
=
⇒
−
=
=
⇒
=
) ( 10 5
2 3
L P
S
P
=
=
∪
=
=
⇔
=
=
2
1 1
2 2
3
y
x y
x P
b)
1.5
điểm
1 2 14 5
−
≥
−
−
≥
−
<
−
≥
−
−
2 2
2
1 2 14 5
0 1 2
0 1 2
0 14 5
x x
x x x
x
⇔
≤ + +
≥
−
<
−
≥
−
−
0 15 3
0 1 2
0 1 2
0 14 5
2
2
x x x x
x x
⇔
≥
<
≥
∪
−
≤
VN x x
x x
2 1 2 1
7
3) 2
điểm Gọi d là đường thẳng cần tìm Giả sử A(x0;y0), ta có:
A thuộc d1 nên x0 −y0 +1=0, (1)
0.5
P là trung điểm AB nên B(4-x0;2-y0)
B thuộc d2 nên 2(4−x0)+2−y0 −1=0, (2)
0.5
Trang 3Từ (1) và (2) ta có hệ:
= +
−
−
= +
−
0 9 2
0 1 0 0
0 0
y x
y x
⇔
=
= 3 11 3 8
0
0
y
x
⇒A(
3
8
; 3
11 )
0.5
) 3
8
; 3
2 (− −
=
→
AP là vtcp của (d) ⇒→n =(4;−1) là vtpt của (d)
Vậy phương trình đường thẳng d là:
4(x-2)-1(y-1)=0⇔4x-y-7=0
0.5
4) 1
→
→
→
→
= +
IA b IB c IC
⇒(a.IA→+b.IB→+c.IC→)2 =0
⇔a2IA2 +b2IB2 +c2IC2 +2ab.IA→IB→+2ac.IA→IC→+2bc.IB→IC→=0
⇔
0 ) (
) (
) (
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
=
− + +
− + +
− + +
+ +
BC IC
IB bc
AC IC
IA ac AB IB IA ab IC c IB b IA a
⇔(a+b+c)(aIA2 +bIB2 +cIC2)=(a+b+c)abc
⇔a.IA2 +b.IB2 +c.IC2 =abc
0.5
5) 1
+ +
≤ + +
+
z x z x z x y z x
y 1 1 1( ) ( ) 1 1 ⇔
xz
z x z x y z x xz
) (
1 )
⇔y2 +xz≤ xy+yz ⇔ y2 −xy+xz− yz≤0
0.5
P
B A
d2
d1 d
A
I