de thi + dap an HSG toan 9 vong 2 truong

Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC.. Kẻ các đờng cao AD, BK.. Gọi H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC... Nên: S không là số nguyên.

Đề thi học sinh giỏi toán 9 vòng 2.Năm học 2017 – 2018

Thời gian 120 phút Cõu 1: ( 8 điểm)

1) Giải cỏc phương trỡnh:

a) x3 – x2 – x = 1

3

b) x 2 3 2x 5    x 2  2x 5 2 2 

2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 1 4x 4x  2  4x 12x 92  

Cõu 2: ( 4 điểm)

2 2



     ( Với n N n ;  2)

a) Chứng minh rằng S < n -1

b) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiờn n  2 thỡ S khụng thể là một số nguyờn

Cõu 3: ( 4,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC cõn ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC

Cõu 4: ( 4,0 điểm)

Cho tam giác giác nhọn ABC Kẻ các đờng cao AD, BK Gọi H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC

a) Chứng minh rằng: tgB.tgC = AD

HD

b) Chứng tỏ rằng: HG // BC  tgB.tgC = 3

Ngày 26 tháng 10 năm 2017

GV

§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm

Câu 1

(8đ)

1) (4 điểm) a) x3 – x2 – x = 1

3

 4x3 x3 3x2 3x  1 4x3 x 13

3

3

1

4 1

 VậyS = 3

1

4 1



b)  Điều kiện: x  5

2

 Khi đó, phương trình đã cho tương tương với phương

trình: ( 2x 5 3)  2  ( 2x 5 1)  2 4

 2x 5 3   2x 5 1 4  

 1 2x 5  2x 5 1 

 Do đó: 1 2x 5 0   x 3

 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 5 x 3

2 

 Vậy tập nghiệm của phương trình là mọi x: 5 x 3

2 

2) (4 điểm)

 Ta có: P = 1 2x  3 2x

 Mà: 1 2x 3 2x    1 2x 3 2x 4  

Nên P  4

 Vậy: P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi (1+ 2x)(3-2x)

0

 1 x 3

0,5 0,5 0,5

1,0 0,5 0,5

0,5

1,5

1,5 0,5 0,5

Câu 2

(4đ)

a) (2đ)

 S = 2 1 3 1 4 12 2 2 2 2 2 n 12 2

S = (1 12) (1 12) (1 12) (1 12)

0,5 0,5

S = n – 1 – ( 12 12 12 12

2 3  4  n ) < n – 1 Vậy: S < n – 1 (1)

b(2đ)

 Ta chứng minh: S > n – 2

Thật vậy:

12 12 12 12

2 3  4  n <

1.2 2.3 3.4   (n 1).n

< (1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1)



< 1 - 1 n

Do đó: S > n – 1 – (1 - 1

n) = n – 2 +

1

n > n -2 Vậy: S > n – 2 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: n – 2 < S < n – 1 với mọi số

nguyên dương n 2

Mà: n – 2 và n – 1 là hai số nguyên dương liên tiếp

Nên: S không là số nguyên

0,5 0,5

0,25

0,25 0,25 0,25 0,5 0,5

Câu 3

(4,0đ)

 Đặt AC = AB = x, BC = y

Ta có: tam giác AHC đồng dạng với tam giác BKC ( vì

có góc nhọn C chung) nên:

AH BK

AC BC Hay AH.BC = BK.AC Vậy: 5y = 6x (1)

 Mặt khác: trong tam giác AHC vuông tại H ta có:

AC AH HC Hay

2

x 10

2

 

   

  (2)

 Từ (1) và (2) ta suy ra: x = 25

2 , y = 15.

Vậy: AB = AC = 25

2 cm, BC = 15cm

Vẽ hình đúng

0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5 0,5

0,5

H

1(2đ) Xét ABD có : tgB = AD

BC Xét ACD có tg C = AD

DC

 tgB.tg C = 2

.

AD

BD CD (1)

Ta có BDH  ADC (gg) =>BD DH

ADDC

 BD.CD =DH.AD (2)

Từ (1) và (2) => tgB.tgC = AD

HD

b (2đ)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AM 3

GM 

Do đó, xét ADM có:

HG // BC  HG // MD  AM AD

GM HD

 tgB.tgC = 3

0,25

0,25

0,25 0,5 0,25 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

Ngày 26 tháng 10 năm 2017

A

B

K

C

H

G