Xác định vị trí của mặt phẳng P sao cho diện tích thiết diện đó lớn nhất.
Trang 1TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2
ĐỀ THI CHON HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 11 - MÔN TOÁN
Thời gian - 150 phút
Câu 1 ( 7,0 điểm)
Giải phương trình :
a x− +1 3− =x x2−4x+6
b 5sinx+cos2x+2 cosx=0
Câu 2 (4,0 điểm)
Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1;
3 2 2 1
Khi 1
a+3 Khi 1
x
x
≠
Câu 3 (3,0 điểm)
Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn x y z+ + =1
x + y +z ≤
Câu 4 ( 6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông góc tại A Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B ta lấy một điểm S sao cho SB = BA = AC = a (P) là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA, SC, BC, BA lần lượt tại D, E, F, H
Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích thiết diện đó lớn nhất
Trang 2
-HẾT -TRƯỜNG THPT YEN
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán
(Hướng dẫn chấm này gồm có trang)
1a
x− + − =x x − x+ ⇔ x− + − = −x x + Điều kiện: 1≤ ≤x 3
Nhận xét: với điều kiện trên ta thấy
"VT(1)"= x− +1 3− ≤x [(x− + −1) (3 x)].2 2≤ , dấu "=" xẩy ra khi x = 2
" VP(1)" = (x - 2)2 + 2 ≥ 2, dấu " = " xẩy ra khi x = 2
Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2 1 3 2 2
4 6 2
x
Vậy phương trình có nghiệm là x = 2
1,0
1,5 1,0
1b
3,5 Điều kiện 5sinx + cos2x ≥ 0, khi đó
2
5sinx os2 2cos 0 5sinx os2 2cos
5sinx os2 4 os (1)
x
≤
Giải (1) ta được 5sinx + 1 - 2sin2x = 4 - 4sin2x <=> 2sin2x + 5sinx - 3 = 0
<=>
sinx = -3 (L) 2
6 1
5 sinx
2
= +
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy 5 2
6
x= π +k π
là họ nghiệm của phương trình
1,5
1,5
0,5 2
2
3 ( 1)( 2 1 1)
( 1)( ( 2) 2 1)
x
f x
→
Để hàm số f(x) liên tục tại x = 1, thì
1
lim ( ) (1) 3
−
−
1,5 1,5
1,0 3
3,0
Ta có
x + y + z = − x + y +z
Áp dụng bđt bunhiacopsky cho các số ( 1 ; 1 ; 1 ) ( 1; 1; 1)
ta có
0,5
Trang 3Từ (1) và (2) ta thấy
1,5
0,5
0,5 4
6,0 -Chứng minh được thiết diện DEFH là hình chữ
nhật
Đặt BH = x, 0 < x < a => HA = a - x và HF = x
(Do tam giác HBF vuông cân tai H) Khi đó
DEFH
S∆ =DH FH =DH x
Xét 2 tam giác đồng dạng AHD và ABS có
DH a x
−
=>
2 ( )
4
DEFH
a
S∆ = −a x x≤
Dấu "=" xẩy ra khi
2
a
x= Vậy diện tích của thiết diện DEFH lớn nhất khi D là trung điểm của SA
1đ
2.0
2.0 1,0
S
C B
A
E
F D
H