Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.. Chứng minh t[r]
Trang 1Bài 1 Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
0, 5
4 3
y= − x+x − x ;
c)
y= − + −x ; d) y= x5 −4x3 +2x−3 x ;
e)
2 3
a x
= + + + − (a b c, , là hằng số)
Bài 2 Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a) y= (2x− 3)(x5− 2 )x ; b) y= x(2x−1)(3x+2) ; c) ( ) 1
x
1
x
y
x
−
=
3
y x
=
2
1 1
x x y
x
+ −
=
− ;
g)
2
2 1
y
x
− +
=
2 1
1
y x
x
= + −
5 3
1
x y
−
= + + ; k)
2 2
1 1
y
+ +
=
− +
Bài 3 Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a) y=(2x3 −3x2 −6x+1)2 ; b)
1
y
=
− +
c) y = ( x2 − + x 1) (3 x2 + + x 1)2; d)
2
1
x
i)
2
3 2 1
3
x y
x
−
= +
2 1
y= x+ x +
Bài 4 Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
sin
y
sin cos sin cos
y
+
=
+ ;
c)
x x
x x
y
2 cos 2 sin
2
2 cos 2
sin
−
+
= ; d) y=4 sin cos 5 sin 6x x x ;
e) sin 2 cos 2
sin 2 cos 2
y
+
=
sin cos cos sin
y
−
=
− ;
tan
2
x
i)
2
2
1 tan
1 tan
x y
x
+
=
2
cot 1
n) y=sin32xcos32x ; o) y=sin cos3( x) ;
sin cos cos3
2
cot cos
2
x y
x
+
.
Trang 2Bài 5 a) Cho hàm số ( )
x
x x
f
sin 1
cos +
4 '
; 2 '
; '
; 0
f f
f
b) Cho hàm số ( )
x
x x
f
2
sin 1
cos +
=
f π − f π =
Bài 6 Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
3 sin cos 2 sin cos
d)
y
=
4 2 sin
x
x y
x
π
g) sin sin 2 sin 3 sin 4
cos cos 2 cos 3 cos 4
y
=
π
Bài 7 Cho hàm số y =xsinx chứng minh :
a) xy−2(y' sin− x) (+x 2cosx−y)= ; 0
cos
y
Bài 8 Cho các hàm số : f( )x =sin4 x+cos4 x , g( )x =sin6 x+cos6 x Chứng minh : 3f'( )x −2g'( )x =0
Bài 9 a) Cho hàm số 2
1 x x
y= + + Chứng minh : 2 1+x2.y'= y b) Cho hàm số y=cot 2x Chứng minh : 2
y + y + =
Bài 10 Giải phương trình y'=0biết :
a) y=sin 2x−2 cosx ; b) y=cos2 x+sinx ;
c) y =3sin 2x+4 cos 2x+10x ; d) y=(m−1 sin 2) x+2cosx−2mx.
Bài 11 Cho hàm số 1 3 ( ) 2
3
y= x − m+ x +mx− Tìm m để : a) y'=0 có hai nghiệm phân biệt ;
b) y' có thể viết được thành bình phương của nhị thức ;
c) y'≥0 ,∀ ∈ ¡x ;
d) y'<0 ,∀ ∈x (1 ; 2) ;
e) y'>0 ,∀ >x 0
Bài 12 Cho hàm số 1 3 ( ) 2
3
y= − mx + m− x −mx+ Xác định mđể : a) y'≤0 ,∀ ∈ ¡x
b) y'=0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;
c) y'=0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : 2 2
x + x =
Bài 13 Cho hàm số
2
2
mx x y
x
=
+ Xác định mđể hàm số có y'≤0, ∀ ∈x (1 ;+ ∞)
Bài 14 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 3 2
3
y=x + x +mx+ m
có y'≤0 trên một đoạn có độ dài bằng 1
Trang 3Bài 15 Cho hàm số y=mx4+(m2−9)x2+10 1( ) (m là tham số) Xác định mđể hàm số cĩ y'=0 cĩ 3 nghiệm phân biệt
1 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
1.1 Phương pháp :
• Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị ( )C :y= f x( )tại M x( 0 ; y0), cĩ phương trình là :
( ) (0 0) 0
y= f x x−x +y ( 1 )
• Khi biết hệ số gĩc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị ( )C :y= f x( ) cĩ hệ số gĩc là k thì ta gọi M0(x0 ;y0)là tiếp điểm ⇒ f '( )x0 =k (1)
Giải phương trình (1) tìm x0 suy ra y0 = f x( )0
Phương trình tiếp tuyến phải tìm cĩ dạng : y=k x( −x0)+y0
Chú ý :
Hệ số gĩc của tiếp tuyến tại M x( 0,y0)∈( )C là k = f′( )x0 =tanα Trong đĩ α là gĩc giữa chiều dương của trục hồnh và tiếp tuyến
Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số gĩc của chúng bằng nhau
Hai đường thẳng vuơng gĩc nếu tích hệ số gĩc của chúng bằng −1
• Biết tiếp tuyến đi qua điểm A x y( 1; 1):
Viết phương trình tiếp tuyến của y= f x( ) tại M0(x0 ; y0): y= f '( ) (x0 x−x0)+y0 ( )1
Vì tiếp tuyến đi qua A x y( 1; 1)⇒ y1= f '( ) (x0 x1−x0)+ f x( ) ( )0 *
Giải phương trình(*) tìm x0 thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến
1.2 Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 Cho đường cong ( ) ( ) 3 2
C y= f x =x − x Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C trong các trường hợp sau : a) Tại điểm M0(1 ;−2) ;
b) Tại điểm thuộc ( )C và cĩ hồnh độ x0= −1 ;
c) Tại giao điểm của ( )C với trục hồnh
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểmA(− −1 ; 4)
Ví dụ 2 Cho đường cong ( ) 3 1
: 1
x
x
+
=
−
a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )d :x−4y−21 0= ;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng ( )∆ : 2x+2y− =9 0;
c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :
x−2y+ =5 0 một gĩc 0
30 .
Ví dụ 1 Cho hàm số 3 2 ( )
y=x + x − x+ C Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( )C , hãy tìm tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất
Ví dụ 2 Cho hàm số 2 ( )
1
x y x
+
= + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đĩ cắt trục hồnh,
trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O
Trang 4Ví dụ 3 Cho hàm số 3 2 ( )
y= − +x x − C Tìm các điểm thuộc đồ thị( )C mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị ( )C
Ví dụ 4 Cho ( )C là đồ thị của hàm số 2
6
y= x−x Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của ( )C cắt trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG ĐẠO HÀM
Đề 1
Câu 1 (7 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
10 4
5
x
1
x
b y
x
−
=
−
3
c y= x − +x
( 2 )10
1 cot
2
x
f y= −
Câu 2(3 điểm): Cho đường cong (C): 4
1
y=x − Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau: a) Tại M(2; 15)
b) Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4
Đề 2
Câu 1 (1đ): Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số 2 1
x khi x y
=
Câu 2 (3đ): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
x
x x
+
+
Câu 3 (3đ): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2 1
2
x x
− + a) Tại điểm trên đồ thị có hoành độ x = -1
b) Biết tiếp tuyến song song với y = 5x +3
Câu 4 (2đ): Cho hàm số 3 2
y= − +x x +mx− a) Khi m = 0, giải bất phương trình y’ > 0
b) Tìm m để ' 0,y ≤ ∀ ∈ x R
Câu 5 (1đ): Cho hàm số tan 2
1 tan
x y
x
= + , chứng minh rằng y’ = cos2x
Đề 3
Câu 1: (1điểm) Tính đạo hàm của các hàm số tại các điểm đã chỉ ra
a) y=x2−4x+ 2 tại điểm x0 = 2
3
y= x+ x− x + x tại điểm x0 = 1
Câu 2: (4điểm) Tính đạo hàm của các hàm hợp sau
x y
x
=
Trang 5Cõu 3: (4điểm) Tớnh đạo hàm của cỏc hàm lượng giỏc sau
a) y=4 cosx−3sinx b) y=2 t anxx
3
y= x+ π − − +x
Cõu 4: (1điểm) Tớnh đạo hàm của hàm số sau: 3 2
2
y= x − x
Đề 4
Câu 1 ( 4 điểm): Tính đạo hàm các hàm số sau:
3
= − + − − b y ) = (2 x + 3) (1 4 )2 − x
2
Câu2 ( 4 điểm) : Cho hàm số: y x = −3 2x2+ 3 ( C)
a) Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cú hoành độ x 0 =1
b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cú hoành độ y 0 =3
Đề 5
Câu 1 ( 4 điểm): Tính đạo hàm các hàm số sau:
= 6− 4 + 2 3 − 2 −
2
) (3 2)(1 5 )
Câu 2 ( 4 điểm) :Cho hàm số: =1 3− 2+
2 3
y x 2x ( C)
a) Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cú hoành độ x 0 =-1
b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến đú song song với đường thẳng y=-3x +5
ĐỀ 6
Cõu 1(6đ): Tớnh đạo hàm cỏc hàm số sau
a) y=x7−7x5+5x3 b)
2
1 2
−
+
=
x
x y
c) y=x2.cosx d) y=sin (sin x3 2+2011)
Cõu 2 (2đ) Cho hàm số y x x2
( 1)
Giải bất phương trỡnh: y 0′ ≤
Cõu 3 (2đ) Cho hàm số y x= 4−x2+ 3 cú đồ thị (C)
Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại điểm cú hoành độ x0 = 2
Đề 7
Cõu 1: Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau:
2 6 4
5 2 6 4
+ +
− +
y b) y=(x2 +x x)(x−1)
Trang 6c) 1 3
2 3
1 4
+
−
−
−
−
x x
x
Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
2 +
+
=
x
x y
a) Tại điểm A(0; 2)
b) Tại điểm có tung độ bằng
3 4
c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 4y+x -2011=0
Câu 3: a) Cho hàm số y=mx3−x2+3x+2011
Tìm m để y'< 0 ∀x∈R
b) Cho hàm số f(x)= x2+1 và g(x)= x4 −3
Giải bất phương trình f'(x)≤g'(x)
Đề 8
Câu 1: Cho hàm số ( ) 2 1
2
x
f x
x
−
= +
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x0 = − 1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=5x+ 3
Câu 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
2
4
3
x
−
+
Câu 3: Cho y= − +x3 3x2+mx− 2
a) Khi m = 0, giải bất phương trình y′> 0
b) Tìm m để y′ < ∀ ∈ ¡ 0, x
Câu 4: Cho hàm số tan 2
1 tan
x y
x
= + , chứng minh rằng y′ =cos 2x
Đề 9
Câu 1: tính các đạo hàm sau
a) y=x3−3x2 + 1 b) y= − −x4 2x2+ 3
3
x
y
x
+
=
2
y
x
Câu 2: viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 1
5
x y x
+
= + tại điểm có hoành độ x0 = − 4
Câu 3: cho hàm số y = xcosx
a) tính y′ Suy ra ( )
3
y′ π b) giải phương trình y′ +xsinx= 0