Toán ôn thi THPT-PT bậc hai

Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tính nghiệm kia... Hãy lập hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số m... Chứng minh rằng phương trình luôn

CHUYÊN ĐỀ 6

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

1 Giải phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0

Cách 1: Giải theo trường hợp đặc biệt:

+ Nếu a + b + c = 0  x1 = 1; x2 = c

a

+ Nếu a - b + c = 0  x1 = -1; x2 = c

a



Cách 2: Áp dụng công thức nghiệm để giải:

bước 1: Lập  = b2 - 4ac Bước 2: + Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 =

2

b a

  

và x2 =

2

b a

  

+ Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =

2

b a



+ Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

Lưu ý: Có thể giải theo công thức nghiệm thu gọn nếu b2

2 Tìm điều kiện để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có:

a Hai nghiệm phân biệt: + Lập  = b2 - 4ac ( hoặc ' = b'2 - ac )

+ Giải bất phương trình (hoặc') > 0

b Nghiệm kép: Giải phương trình (hoặc') = 0

c Vô nghiệm: Giải bất phương trình (hoặc') < 0

d Có nghiệm: Giải bất phương trình   0 hoặc a.c < 0

e Hai nghiệm dương: giải hệ phương trình:

0 0 0

S P

 









 



Với = b2 - 4ac; S = x1 + x2 = b

a

 và P = x1.x2 = c

a

f Hai nghiệm âm: giải hệ phương trình:

0 0 0

S P

 









 



g Hai nghiệm trái dấu: Giải phương trình: P < 0

h Hai nghiệm cùng dấu: Giải hệ phương trình:

0 0

P

 









k Hai nghiệm đối nhau: giải hệ phương trình:

0 0

S

 









l Hai nghiệm nghịch đảo: Giải hệ phương trình:

0 1

P

 









3 Tính biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai:

Cách 1:

Bước 1: Chứng minh ( hoặc ' )  0 Bước 2: Tính S = x1 + x2 và P = x1.x2

Bước 3: Biến đổi biểu thức chứa nghiệm thành biểu thức chỉ chứa tổng x1 + x2

và tích x1.x2

Bước 4: Thay S, P vào biểu thức vừa biến đổi

Cách 2: + Giải phương trình được nghiệm x1, x2

+ Thay giá trị x1 và x2 vào biểu thức cần tính

Ví dụ: Cho phương trình x2 - 4x 3 + 8 = 0 có hai nghiệm x1, x2 Tính giá trị của biểu thức: Q =

Giải: phương trình x2 - 4x 3 + 8 = 0 có ' = 2 32 - 8 = 12 - 8 = 4 > 0 Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Theo hệ thức vi-ét ta có: S = x1 + x2 = b 4 3

a

 

P = x1.x2 = c

a = 8

Q =

5

2

2

x x x x x x

   

   

2

2

Thay S và P vào Q ta có: Q =  

2

2

6 4 3 2.8 16 18 1 17

40.16 3 1 80 5.8 4 3 2.8



5 Tìm hai số biết tổng bằng S và tích bằng P:

Thay giá trị của S, P vào phương trình bậc hai X2 - SX + P = 0 và giải ta được hai nghiệm là hai số cần tìm

6.Tìm điều kiện m để phương trình ax 2 + bx + c = 0 (6) có một nghiệm x =  ( là hằng số) Tìm nghiệm còn lại:

Cách 1:

Bước 1: Giải phương trình (6) với điều kiện   0 (hoặc '  0) được hai nghiệm x1, x2

Bước 2: Cho x1 =  hoặc x2 =  ta tìm được m Bước 3: Thay m vừa tìm được vào nghiệm còn lại hoặc thay m vào phương trình (6) và giải ta được 1 nghiệm bằng  và một nghiệm còn lại

Cách 2: Vận dụng hệ thức vi-ét ta có: S = x1 + x2  x2 = S - x1 = S - 

hoặc P = x1.x2  x2 = P : x1 = P : 

Từ đó tìm được m và nghiệm còn lại

Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 3m = 0 Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tính nghiệm kia

Giải: ' = (m + 1)2 - 3m = m2 - m + 1 = (m - 1

2)2 + 3

4 > 0 ( vì

2

1 0 2

m

 

 

 

  )

2

x m  m m Với x1 = 3  m  1 m2m  1 3  m2m   1 2 m

m2 - m + 1 = 4 - 4m + m2 m = 1 Thay m = 1 vào phương trình x2 - 2(m + 1)x + 3m = 0 được: x2 - 4x + 3 = 0

Theo hệ thức vi-ét ta có: S = x1 + x2 = 4  x2 = 4 - x1 = 4 - 3 = 1

Với x2 = 3  m  1 m2m  1 3 2

      m2 - 4m + 4 = m2 - m + 1 3m = 3 m = 1

Thay m = 1 vào phương trình x2 - 2(m + 1)x + 3m = 0 ta được: x2 - 4x + 3 = 0

Vậy với m = 1 thì phương trình x2 - 2(m + 1)x + 3m = 0 có một nghiệm bằng 1 và nghiệm còn lại bằng 3

7 Tìm m để phương trình ax 2 + bx + c = 0 (7) ( trong các hệ số a, b hoặc c có chứa m ) có hai nghiệm thỏa điều kiện (*) chứa nghiệm x 1 , x 2 của phương trình (7)

Cách giải:

Bước 1: Khẳng định phương trình (7) có   0 (hoặc '  0) cúng có thể tìm điều kiện theo m để   0 (hoặc '  0)

Bước 2: Tính S = x1 + x2 và P = x1.x2

Bước 3: Biến đổi điều kiện (*) thành biểu thức chỉ chứa S , P và thay S, P ở bước hai vào điều kiện (*) ta được điều kiện (**) theo m

Bước 3: Giải điều kiện (**) ta tìm được m

Ví dụ: Cho phương trình x2 - 4x + m + 1 = 0 Tìm m sao cho phương trình có 2

nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 10

Giải:

Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi '  0  4 m  1 0

3

m

 

Với m 3 Theo hệ thức vi-ét ta có:

S = x1 + x2 = b

a

 = 4 P = x1.x2 = c m 1

a  

 x1 2

+ x2 2

= 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 42 - 2(m + 1) = 10 16 - 2m -2 = 10 2m = 4

m = 2 ( thỏa m 3) Vậy với m = 2 thì phương trình x2 - 4x + m + 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa

x12 + x22 = 10

8 Tìm điều kiện để biểu thức chứa nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 đạt cực trị (GTLN hoặc GTNN) với hệ số a, b, c có chứa m

Cách giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để   0 (hoặc '  0)

Bước 2: Tính S = x1 + x2 và P = x1.x2

Bước 4: Biến đổi biểu thức chứa nghiệm thành biểu thức chỉ chứa tổng và tích của hai nghiệm và thay S và P vào biểu thức

Bước 4: Áp dụng phương pháp tìm cực trị của biểu thức Từ đó tìm được giá trị

m tương ứng

Bước 5: Đối chiếu với điều kiện và kết luận

Ví dụ: Cho phương trình x2 - ax + a - 1 = 0 Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1,

x2 thỏa mãn x1

2

+ x2 2

(*) đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

Phương trình luôn có nghiệm x1, x2 vì  = a2 - 4(a - 1)

  = a2 - 4a + 4   = (a - 2)2  0 Theo hệ thức vi-ét ta có: S = x1 + x2 = b

a



= a và P = x1.x2 =c

a = a - 1

Ta có: x12 + x22 - x1x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 (*) Thay S, P vào biểu thức (*) ta được:

x1 2

+ x2

2

= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = a2 - 2(a - 1) = a2 - 2a + 2 = (a - 1)2 + 1

Vì (a - 1)2  0 nên x1

2

+ x2

2

= (a - 1)2 + 1  1

 x1 2

+ x2 2

đạt GTNN là 1 a - 1 = 0 hay a = 1

Lưu ý: + Ta có thể bỏ qua bước tìm điều kiện   ' 0 nhưng khi giải ra a = 1 thì phải thay giá trị a vào phương trình x2 - ax + a - 1 = 0 và kiểm tra   ' 0

+ Nếu việc giải phương trình theo tham số a là đơn giản hoặc biểu thức (*) không thể biến đổi thành tổng và tích thì ta giải ra nghiệm x 1 , x 2 rồi thay vào biểu thức để tìm cực trị

9 Tìm hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm x 1 , x 2 không phụ thuộc vào tham

số m:

Cách giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để   0 (hoặc '  0) Bước 2: Tính S = x1 + x2 và P = x1.x2

Bước 3: Từ S = x1 + x2 ta rút m theo x1, x2 Giả sử m = A(x1; x2)

Từ P = x1.x2 ta rút m theo x1, x2 Giả sử m = B(x1; x2) Bước 4: Lập A(x1; x2) = B(x1; x2) là hệ thức cần lập

Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 3 = 0 Hãy lập hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số m

Giải:

'

 = (m - 1)2 - 2m + 3 = m2 - 2m + 1 - 2m + 3 = m2 - 4m + 4 = (m - 2)2  0

 phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2

theo hệ thức vi-ét ta có: S = x1 + x2 = 2(m - 1) = 2m -2

 2m = x1 + x2 + 2 hay m = 1 2 2

2

x x 

(1)

P = x1.x2 = 2m - 3  2m = x1.x2 + 3 hay m = 1 2 3

2

x x 

(2)

Từ (1) và (2) suy ra 1 2 2

2

x x 

= 1 2 3 2

x x 

là hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm x1,

x2

10 Một số biểu thức chứa nghiệm thường gặp đưa được về tổng và tích hai

nghiệm:

x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2

x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1x2(x1 + x2)

x14 + x24 = (x12 + x22)2 - 2x12x22 = [(x1 + x2)2 - 2x1x2 ]2 - 2(x1x2)2

x1 6

+ x2 6

= (x1 2

)3 + (x2

2

)3 = (x1

2

+ x2 2

)3 - 3x1

2

x2 2

(x1 2

+ x2 2

) = [(x1 + x2)2 - 2x1x2 ]3 - 3(x1x2)2[(x1 + x2)2 - 2x1x2 ]



2

2

2

3

3

3

11 Với giá trị nào của tham số m thì hai phương trình:

ax 2 + bx + c = 0 (1) a'x 2 + b'x + c' = 0 (2)

có hai nghiệm chung

Cách giải: Điều kiện cần

Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0

Bước 2: Thay nghiệm x = x0 vào phương trình (1) và (2) ta có:

ax0 2

+ bx0 + c = 0 (3) a'x0

2

+ b'x0 + c' = 0 (4) Rút tham số m theo x0 từ (3) và (4) Từ đó tìm được x0

Bước 4: Thay x0 vào (3) hoặc (4) tìm được m Điều kiện đủ : Thay m vào phương trình (1) và (2) giải từng phương trình có được nghiệm chung x0 và kết luận

Ví dụ: Với giá trị nào của tham số m, hai phương trình sau có nghiệm chung:

2x2 + (3m + 1)x - 9 = 0 (1) 6x2 + (7m - 1)x - 19 = 0 (2) Giải:

Điều kiện cần:

Giả sử phương trình (1) và (2) có nghiệm chung là x0

 2x0

2

+ (3m + 1)x0 - 9 = 0 (3) 6x0

2

+ (7m - 1)x0 - 19 = 0 (4)

Vì x0 = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) và (2) nên x0  0

Từ (3) suy ra 3mx0 = -2x02 - x0 + 9 m =

2

0

9 - 2x - x

Từ (4) suy ra 7mx0 = 19 - 6x02 + x0 m =

2

0

19 6 7

x

Suy ra

2

0

9 - 2x - x

2

0

19 6 7

x

63 - 14x02 - 7x0 = 57 - 18x02 + 3x0

 4x02 - 10x0 + 6 = 0  0

0

3 2 1

x x









 Với x0 = 3

2 thay vào (3) ta được: 2(3

2)2 + (3m + 1)3

2 - 9 = 0  9 3 3 1

9 0

m 

3

    Với x0 = 1 thay vào (3) ta được:

2.12 + (3m + 1).1 - 9 = 0 3m = 6 m = 2

Điều kiện đủ:

Thay m = 2

3 vào phương trình (2) ta được:

2x2 + (3.2

3 + 1)x - 9 = 0 2x2 + 3x - 9 = 0 (5) 6x2 + (7.2

3 - 1)x - 19 = 0  18x2 + 11x - 57 = 0 (6) Giải phương trình (5) và (6) ta được nghiệm chung x = 3

2

Thay m = 1 vào phương trình (1) và (2) ta được:

2x2 + 4x - 9 = 0 (7) 6x2 + 6x - 19 = 0 (8) Giải phương trình (7) và (8) không có nghiệm chung

Vậy với m = 2

3 thì phương trình (1) và (2) có nghiệm chung là 3

2

ax 2 + bx + c = 0 (9) a'x 2 + b'x + c' = 0 (10)

có hai nghiệm chung

Ta tiến hành theo hai bước sau:

Bước 1:

Điều kiện cần: Các hệ số của phương trình (9) và (10) khác 0 và tương ứng tỷ

lệ, tức là: ' ' '

, , , ', ', ' 0

a b c a b c









từ đó tìm được tham số

Bước 2:

Điều kiện đủ: Thay tham số vừa tìm được vào phương trình (9) và (10) Giải từng phương trình ta được hai nghiệm chung

II BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1 Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 3m = 0

a Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m

b Tính giá trị của biểu thức A = x13 + x23 và B = x1 - x2 theo m

c Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa: 1 2

5

x  x 

d Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m

e Tìm GTNN của biểu thức x1

2

+ x2 2

- 6x1x2

f Lập phương trình bậc hai nhận x1 +

2

1

x và 2

1

1

x x

 làm nghiệm

g Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều dương ? Hai nghiệm trái dấu ? Hai nghiệm đối nhau ?

h Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3 Tính nghiệm kia

i Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa 2x1 - 3x2 = 1

2 Cho phương trình bậc hai: (m + 1)x2 - 2(m + 1)x + m - 3 = 0 (m -1)

Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai nghiệm

đó có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia

3 Chứng minh rằng nếu phương trình x2+ 2mx + n = 0 có nghiệm thì phương trình:

x2 + 2(k + 1

k )mx + n(k +

1

k )

2

= 0 cũng có nghiệm ( với m, n, k là các tham số; k

0)

4 Choa phương trình bậc hai: (2m - 1)x2 - 2mx + 1 = 0

a Tìm m để phương trình có một nghiệm thuộc (-1;0)

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa 2 2

5 Tìm m để phương trình: x2 - x + m = 0 có nghiệm

6 Cho phương trình x2 - 2mx + m + 2 = 0

a Xác định m để phương trình có hai nghiệm không âm

b Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức E = x1  x2 theo m

7 Cho phương trình x2- 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

a A = x1 + x2 - 3x1x2 đạt GTLN

b B = x1

2

+ x2 2

- x1x2 đạt GTNN

c Tìm hệ thức độc lập giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

8 Với giá trị nào của các tham số a và b, các phương trình bậc hai:

(2a + 1)x2 - (3a - 1)x + 2 = 0 (1) (b + 2)x2 - (2b + 1)x - 1 = 0 (2)

có hai nghiệm chung

9 Tìm các giá trị của k để hai phương trình:

2x2 + kx - 1 = 0 và kx2 - x + 2 = 0 có nghiệm chung

10 Cho ba phương trình:

ax2 + 2bx + c = 0 (1)

bx2 + 2cx + a = 0 (2)

cx2 + 2ax + b = 0 (3) Với a, b và c khác 0 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên phải có nghiệm

11 Cho phương trình x2 + ax + b = 0 Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:

x1 - x2 = 5, x13 - x23 = 35 tính các nghiệm đó

12 Cho a là số thực khác -1 Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2

thỏa mãn các hệ thức:

4x1x2 + 4 = 5(x1 + x2) (1)

(x1 - 1)(x2 - 1) = 1

1

a  (2)

13 tìm m để phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 + 2m - 5 = 0 có hai nghiệm sao cho:

(x12 - 1)(x22 - 1) - x12x22 đạt GTLN

14 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 - 3x + a = 0 Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phương trình t2 - 12t + b = 0 Cho biết 1 2 1

x  t t Tính a và b