Cực trị trong dòng điện xoay chiều

Sưu tầm: Đòan văn Lượng - Email: doanvluong@yahoo.com ; doanvluong@gmail.com T rang 1 Dạng : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI CỦA ĐIỆN ÁP HIỆU DỤNG KHI THAY ĐỔI THÔNG SỐ CỦA MẠCH 1.Các công thứ

Sưu tầm: Đòan văn Lượng - Email: doanvluong@yahoo.com ; doanvluong@gmail.com T rang 1

Dạng : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI CỦA ĐIỆN ÁP HIỆU DỤNG KHI THAY ĐỔI THÔNG SỐ CỦA MẠCH

1.Các công thức của các điện áp hiệu dụng cực đại khi thông số của mạch thay đổi:

a Điện áp hiệu dụng UR:

+ R thay đổi : UR(max) = U Khi R  

+ L,hay C, hay  thay đổi : UR(max) = U Khi 1

LC

  ( Cộng hưởng )

b Điện áp hiệu dụng : UL

+ R thay đổi : UL(max) = L

L C

U Z

Z  Z khi R = 0 + L thay đổi : UL(max) = IZL =

2 2

C

U R Z R

 khi ZL =

2 2

C C

R Z Z



+ C thay đổi : UL(max) = IZL = U L

Z

R khi C = 2

1

L  ( Cộng hưởng )

+  thay đổi : UL(max) = IZL khi  = 2 2 2

2 LC R C 

c Điện áp hiệu dụng : UC

+ R thay đổi : UC(max) = C

L C

U Z

Z  Z khi R = 0 + C thay đổi : UC(max) = IZC =

2 2

L

U R Z R

 khi ZC =

2 2

L L

R Z Z



+ L thay đổi : UC(max) = IZC = U C

Z

R khi L = 2

1

C  ( Cộng hưởng )

+  thay đổi : UC(max) = IZC khi  =

2 2

1 2

R

LC  L

2 Công thức thường gặp cần nhớ khi L,C, f thay đổi ( không Cộng hưởng ) :

 Tìm L để ULmax:( Mạch điện hình vẽ bên phải khi L thay đổi)

2 2 C Lmax

R + Z

R Với

2 2 C L

C

R + Z

Z =

Z =>

2 2 C C

R + Z

L = ωZ

 Tìm C để UCmax:( Mạch điện hình vẽ bên phải khi C thay đổi)

2 2 Cmax

R + Z

R Với

2 2 L C

L

R + Z

Z =

Z =>

L

2 2 L

Z ω

C =

R + Z

 Xác định giá trị cực đại ULmax, và UCmax khi tần số f thay đổi:

max max

2 2

2 4

LU

R LC R C

L C C

OL =

2 - R

;

2

1

2

L C L

(với điều kiện 2 L 2

R

C  )

C

V

C

V

3 Bài tập về xác định giá trị cực đại Umax khi thay đổi L, hoặc C, hoặc f

a.Các ví dụ:

+Ví dụ 1 : Cho mạch điện như hình vẽ Điện áp giữa hai đầu AB có biểu thức u  200cos100  t(V) Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được, điện trở R = 100,

tụ điện có điện dung

4 10

C





 (F) Xác định L sao cho điện áp hiệu dụng giữa hai điểm M và B đạt giá trị cực đại, tính hệ số công suất của mạch điện khi đó

Bài giải: Dung kháng:

4

100 10

100

C

Z

C





Cách 1: Phương pháp đạo hàm

Ta có:

2

2 2

2

MB L

L C

y

max

min

L

U

U

y

2

L

x Z

 ) Khảo sát hàm số y:Ta có:  2 2

y  R  Z x  Z  2 2

C

Z

R Z

      



Bảng biến thiên:

ymin khi 2 C 2

C

Z x



Z

Z  R Z



100 100

200 100

C L

C

R Z Z

Z

200 2 100

L

Z

L

2

cos

2

100 200 100

R

 

 

Cách 2: Phương pháp dùng tam thức bậc hai

Ta có:

2

2 2

2

y

2

L

x Z

 ; a  R2  ZC2; b   2 ZC

UMBmax khi ymin: Vì a  R2  ZC2> 0 nên tam thức bậc hai đạt cực tiểu khi

2

b x

a

 

hay

2







100 100

200 100

C L

C

R Z Z

Z

100 L Z L

  

    H

C

V

M

Sưu tầm: Đòan văn Lượng - Email: doanvluong@yahoo.com ; doanvluong@gmail.com T rang 3

Hệ số công suất:

 2 2  2 2

cos

2

100 200 100

L C

R

R Z Z

 

 

Cách 3: Phương pháp dùng giản đồ Fre-nen

U  UR UC  UL

Đặt U1 UR  UC

100

R

1

4





  rad

Vì 1

2



2



  

2 4 4

  



    rad Xét tam giác OPQ và đặt      1

Theo định lý hàm số sin, ta có:

sin sin

L

   L sin sin

U



 

Vì U và sin không đổi nên ULmax khi sin cực đại hay sin = 1

2





 

Vì      1 1

2 4 4

  

  

      rad Hệ số công suất: 2

cos cos



  

Mặt khác tan ZL ZC 1

R

     ZL ZC   R 100 100 200    200 2

100

L

Z L

+Ví dụ 2 : Mạch điện như hình vẽ Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 0,318H, R = 100, tụ C là tụ xoay Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có biểu thức u  200 2 cos100  t(V)

a Tìm C để điện áp giữa hai đầu bản tụ đạt giá trị cực đại, tính giá trị cực đại đó

b Tìm C để điện áp hai đầu MB đạt cực đại, tính giá trị cực đại đó

Bài giải:

a Tính C để UCmax

Cảm kháng : ZL  L  100 0,318 100   

Cách 1: Phương pháp đạo hàm:

Ta có:

2

2

C

U IZ

y

2

C

x Z

 )

UCmax khi ymin

Khảo sát hàm số:  2 2 2

2 1

y  R  Z x  x Z   2 2

y ' 0   2 2

2 R Z xL 2 ZL 0

L

Z x

 



I

C U

U

L U

R U

1 U





1



O

P

Q

L

M

A

V V’

Bảng biến thiên:

 ymin khi 2 L 2

L

Z x



Z

Z  R Z



100 100

200 100

L C

L

Z

Z

5

100 200

C

C

Z



max

200 100 100

200 2 100

L C

U

R

Cách 2: Phương pháp dùng tam thức bậc hai

Ta có:

2

C

U IZ

y

2

C

x Z

 ; a  R2 ZL2; b   2 ZL)

UCmax khi ymin Vì hàm số y có hệ số góc a > 0, nên y đạt cực tiểu khi:

2

b x

a

 

hay 1 2 L 2

Z

Z  R Z



100 100

200 100

L C

L

R Z Z

Z

100 200 2 C

C Z



max

200 100 100

200 2 100

L C

U R Z

U

R

Cách 3: Phương pháp dùng giản đồ Fre-nen

Ta có: U  UL UR  UC

Áp dụng định lý hàm số sin, ta có:

sin sin

C

   C sin sin

U



 

Vì U và

1

L

  

 không đổi nên UCmax khi sin cực đại

hay sin = 1 Khi sin 1

2



    



200 100

L C

Z

5

100 200

C

C

Z



I

C U

1 U L

U

R U U





O

P

Q

Sưu tầm: Đòan văn Lượng - Email: doanvluong@yahoo.com ; doanvluong@gmail.com T rang 5

max

200 100 100

200 2 100

L C

U

R

b Tìm C để UMbmax UMBmax = ?

Lập biểu thức:

1

MB

C

y

 Đặt

C

y

UMBmax khi ymin:

2

' Z xL x ZL R y

R x



y   x  xZ  R  (*)

Giải phương trình (*) 

4 2

C

  (x lấy giá trị dương)

100 100 4.100

50 1 5 162 2

C

Lập bảng biến thiên:

0,197.10

100 162

C

C

Z



4 2

C

2 2

y

max

min

4 200 100 100 4.100

324

MB

U

U

R y

+Ví dụ 3: Đặt điện áp xoay chiều u=U0cost (U0 không đổi và  thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R,cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp,với CR2< 2L Khi  = 1 hoặc  = 2

thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có cùng một giá trị.Khi  = 0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm

có giá trị cực đại.Hệ thức liên hệ giữa 1,2 và 0 là :

2

2 2

1

2

2

1

2 1

   C 2

0

1

 =2

1

( 2

1

1

 + 2

2

1

 ) D 0 = 12 Giải: UL =

2 2

)

L

Z Z R

UZ



 Do UL1 = UL2 => 2

1 1 2

2 1

)

1 (

C L R











=

2 2 2 2

2 2

)

1 (

C L R











=> 2

1

2

2

 C

L

R 

+ 4 2

1

1 C

2

2

2

 C

L

R 

+ 4 2

2

1 C

 => (2C

L

- R2)( 2

2

1

 - 2 1

1

 ) = 4 2

2

1 C

 - 4 2

1

1 C



=> (2

C

L

- R2) = 12

C 12 22

2 2 2 1







 

=>

2 1

1

 + 2

2

1

 = C2 (2C

L

- R2) (1)

UL = ULmax khi 2

2

2

 C

L

R 

+ 41 2 C

 + L2 có giá trị cực tiểu => 2

0

1

 = 2

2 C

(2

C

L

- R2) (2)

Từ(1) và (2) suy ra:

2 0

1

 =2

1

( 2

1

1

 + 2

2

1

 ) Chọn đáp án C Với điều kiện CR2< 2L +Ví dụ 4: Cho mạch điện xoay chiều gồm R, L và C mắc nối tiếp như hình vẽ Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB một điện áp uAB  100 3 cos  t(V) ( thay đổi được) Khi    1 thì UR =100V; UC  50 2V; P = 50 6W

L



 H và UL > UC Tính UL và chứng tỏ đó là giá trị cực đại của UL

Bài giải:Ta có: 2 2  2

U  U  U  U

Thay các giá trị của U, UR, UC ta được:  2  2

2

50 6  100  UL 50 2  UL  100 2(V) (1) Công suất tiêu thụ toàn mạch:P UI  cos   UI (vì   0) 50 6

1

50 6

P I U

100 1

R U R I

100 2

100 2 1

L L

U Z

I

1

100 2

100 2 1

L

Z L



50 2

50 2 1

C C

U Z

I

1

100 2.50 2 C

C

Z



Ta có:

2

2 2

y L

R

C





L C   C L  

        

1

x



 ; 21 2

a

L C

 ; 2 12

2 L

b R

C L

   

ULmax khi ymin Tam thức bậc hai y đạt cực tiểu khi

2

b x

a

  (vì a > 0)

4 3

4

b ac R

L L C

2 2

R



min

2

1 2.50 6

2

L

U



  

 

100 2

 (V)

+Ví dụ 5 : Cho mạch điện như hình vẽ Cuộn dây có độ tự cảm

3

L



 H, điện trở thuần r = 100 Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp

100 2 cos100

AB

u   t(V) Tính giá trị của C để vôn kế có giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó của vôn kế

C

L,r M C

V

B

A

Sưu tầm: Đòan văn Lượng - Email: doanvluong@yahoo.com ; doanvluong@gmail.com T rang 7

.10

C

 

 F và UCmax  120V B 3 4

.10 4

C

 

 F và UCmax  180V

C 3 4

.10

4

C





.10

C





 F và UCmax  220V

100 100 3 L



2

2 2 max

100 100 3 400

L

L

Z





.10

400 4

100

3 C

C Z



2

2 2 max

100 100 100 3

200 100

L C

U

R





   V Chọn C

+Ví dụ 6 :Cho đoạn mạch điện xoay chiều ANB , tần số dòng điện 50Hz, đoạn AN chứa R=10 3  và C thay đổi ,đoạn

NB Chứa L=



2

0

H Tìm C để UAN cực đại :

A.C=106 F B.200 F

C.300 F D.250 F

Giải:Dùng công thức: Khi

2 2

4 2

C

2 R 4

RCM

U U



  = UAN

Lưu ý: R và C mắc liên tiếp nhau; Z L= .L = 100.0,2/ =20

Tính :

2 2

4 2

C

2 2

30

Mà

3

( )



C

C

    = 106 F Đáp án A

+Ví dụ 7 : Cho đoạn mạch điện xoay chiều ANB ,đoạn AN chứa R và C thay đổi ,đoạn NB Chứa L=



5 1

H Biết

f=50Hz ,người ta thay đổi C sao choUAN cực đại bằng 2UAB Tìm R và C:

A ZC=200 ; R=100 B ZC=100 ; R=100

C ZC=200 ; R=200 D ZC=100 ; R=200

Giải: Khi

2 2

4 2

C

2 2

2 R 4

RCM

L L

U U

R Z Z



  Lưu ý: R và C mắc liên tiếp nhau

Đề cho UAN cực đại bằng 2UAB suy ra:

2 2

R 1

4



 L  L

R Z Z

=> 4 R2 ZL2 2 ZL 4 R2 ZL2  ZL2  R2

 R  ZL ZL R  ZL  R  R ZL  ZL ZL R  ZL

 R  ZL Z RL  <=>  9 R4 4 Z RL2 2  0 2 2 2

 R  Z RL 

Do R khác 0 nên  (9 R2 4 ZL2)  0 => 2 2 2 2

C

2 2

4

2

C

200 2

   Đáp án A

+Ví dụ 8 : Đặt một điện áp xoay chiều u = U0cost (V) vào hai đầu một đoạn mạch AB gồm điện trở R, cuộn dây cảm thuần L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp Tụ C có điện dung thay đổi được.Thay đổi C, khi ZC = ZC1 thì cường độ dòng điện trễ pha

4



so với điện áp hai đầu đoạn mạch, khi ZC = ZC2 = 6,25ZC1 thì điện áp hiệu dụng giữa hai

tụ đạt giá trị cực đại Tính hệ số công suất của mạch

A 0,6 B 0,8 C 0,7 D 0,9

Giải: tan1 =

R

Z

ZL C1

= tan(

4

 ) = 1=> R = ZL – ZC1 => ZC1 = ZL - R

Ta có: UC2 = Ucmax => ZC2 =

L

L

Z

Z

R2  2

=> 6,25ZC1ZL = R2 +ZL2

=> 6,25( ZL- R) ZL = R2 +ZL2 => 5,25ZL2 - 6,25RZL – R2 = 0 => 21ZL2 - 25RZL – 4R2 = 0 => ZL =

3

4 R

Ta có: ZC2 =

L

L

Z

Z

R2  2

=

3 4 9

16 2

2 R

R

R 

=

12

25 R

=> cos2 =

2 Z

R

=

2 2

) 12

25 3

4

R

R





= 0,8 Chọn đáp án B

+Ví dụ 9 : Cho mạch điện RLC, Với C thay đổi được Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có dạng u U  2 cos  t V ( ).

Khi

4 1

10

( )





  thì cường độ dòng điện i trễ pha

4



so với u Khi

4 2

10 ( ) 2,5





  thì điện áp hai đầu tụ

điện đạt giá trị cực đại Tính tần số góc  Biết L 2 ( ) H





A 200 (  rad s / ) B 50 (  rad s / ) C 10 (  rad s / ) D 100 (  rad s / )

Giải: Khi

4 1

10 ( )





  thì dòng điện i trễ pha

4



so u nên: ZL ZC1  R (1) Khi

4 2

10 ( ) 2,5





  thì điện áp hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại nên :

L

L C

Z

Z R Z

2 2 2



thay (1) vào (2) ta có pt: 8 4 9 104 2 108 2 0

2     

-giải ta đươc:   100 rad/s và

2

50 

  Rad/s (loại) vì thay nghiệm này vào (1) thì không thỏa mãn

+Ví dụ 10 : Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp Điện áp xoay chiều đặt vào hai đầu đoạn mạch có biểu thức

u  U 2cos t,  tần số góc  biến đổi Khi     1 40 (rad / s) và khi    2 360 (rad / s)  thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch điện có giá trị bằng nhau Để cường độ dòng điện trong mạch đạt giá trị lớn nhất thì tần

số góc  bằng

Giải 1: Nhớ công thức:Với  = 1 hoặc  = 2 thì I hoặc P hoặc UR có cùng một giá trị thì IMax hoặc PMax hoặc URMax khi đó ta có:    1 2 =120(rad/s) Chọn D

Giải 2: I1 = I1 => Z1 = Z1 => (ZL1 – ZC1)2 = (ZL2 – ZC2)2

Do 12 nên (ZL1 – ZC1) = - (ZL2 – ZC2) => ZL1 + ZL2 = ZC1 + ZC2

(1 + 2)L =

C

1

(

1

1

 + 2

1

 ) => LC = 1 2

1



 (1)

Sưu tầm: Đòan văn Lượng - Email: doanvluong@yahoo.com ; doanvluong@gmail.com T rang 9

Khi I = Imax; trong mạch có cộng hưởng LC = 12

 (2) Từ (1) và (2) ta có  = 12 = 120(rad/s) Chọn D

+Ví dụ 11 : Đặt một điện áp u = U0 cos t( U0 không đổi,  thay đổi được) vào 2 đầu đoạn mạch gồm R, L, C mắc nối tiếp thỏa mãn điều kiện: CR2 < 2L Gọi V1,V2, V3 lần lượt là các vôn kế mắc vào 2 đầu R, L, C Khi tăng dần tần số thì thấy trên mỗi vôn kế đều có 1 giá trị cực đại, thứ tự lần lượt các vôn kế chỉ giá trị cực đại khi tăng dần tần số là

A V1, V2, V3 B V3, V2, V1 C V3, V1, V2 D V1, V3,V2

Giải: Ta gọi số chỉ của các vôn kế là U: U1=IR =

2 2

)

1 (

C L R

UR



 



U1 = U1max khi trong mạch có sự cộng hưởng điện: => 2 =

LC

1

(1)

U2 = IZL =

2 2 2

2 2 2 2 2 2

U C

L C

L R

UL C

L R

L













 









U2 = U2max khi y2 = 2

2 2 4 2

2 1

1

L C

L R



 có giá trị cực tiểu y2min

Đặt x = 12

 , Lấy đạo hàm y2 theo x, cho y2’= 0 => x = 12

 = 2 ( 2 )

2 CR C

L

) 2

(

2

2 2

2

2

R C

L



) 2

(

2

2 CR L

C  (2)

3 2

2 2 2 2 2 2

2

) 2

1 (

)

1

U C

L C

L R

C

U C

L R

C

























U3 = U3max khi y3 = L24 +(R2 -2

C

L

)2 + 12

C có giá trị cực tiểu y3min

Đặt y = 2 , Lấy đạo hàm của y3 theo y, cho y’3 = 0

y = 2 = 2

2 2

2

2

1 2

2

L

R LC L

R C

L







=> 3 =

2 2

2

1 L

R

LC  (3)

So sánh (1); (2), (3): Do CR2 < 2L nên : 2L – CR2 > 0

Từ (1) và (3) 3 = 2

2

2

1 L

R

LC  < 1 =

LC

1

Xét hiệu 2 - 1 =

) 2

(

2

2 CR L

C  -LC

1

=

) 2

( )

2 (

) 2

( 2

2 2 2

2

R L LC

CR R

L LC

CR L L











> 0

Do đó 2 =

) 2

(

2

2 CR L

C  > 1 =

LC

1

Vậy ta có 3 =

2 2

2

1 L

R

LC  < 1 =

LC

1

< 2 =

) 2

(

2

2 CR L

Khi tăng dần tần số thì các vôn kế chỉ số cực đại lần lượt là V3, V1 và V2 Chọn đáp án C

+Ví dụ 12 : Đặt điện áp xoay chiều có f thay đổi vào hai đầu đoạn mạch điện xoay chiều RLC mắc theo thứ tự đó có



10

; 6



 Để điện áp hiệu dụng 2 đầu LC (ULC) đạt giá trị cực tiểu thì tần số dòng điện phải

bằng

Giải: Ta có

1 ) (

) (

) (

2

2 2

2 2

2



























C L C

L

C L C

L C L C

L LC

Z Z R U

Z Z

Z Z R

U Z

Z Z Z R

U Z

Z I U

Muốn ULC cực tiểu thì 1

)

2



 C

L Z Z

R

cực đại khi ZL  ZC  LC 2  1

Hz f

10 4

24 6 1

4

24

10

6

1

2 2

2 2













4 Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1:Một đoạn mạch RLC không phân nhánh gồm điện trở thuần 100, cuộn dây cảm thuần có độ tự cảm H



1

và tụ

điện có điện dung C thay đổi được Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp u  200 2 cos100  t V ( ) Thay đổi điện

dung C của tụ điện cho đến khi điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại Giá trị cực đại đó bằng:

A 100 2 V B 200 2V C 50 2 V D 100V

Câu 2: Cho đoạn mạch điện không phân nhánh RLC Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch có biểu thức

200cos100

u   t(V) Điện trở R = 100, Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được, tụ điện có điện dung

4

10

C





 (F) Xác định L sao cho điện áp

hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây đạt giá trị cực đại

A L= 1

 H B L=

2

 H C L=

0, 5

 H D L=

0,1

 H Câu 3:Mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở r và tụ điện C Đặt vào hai đầu đoạn

mạch một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng 30V Điều chỉnh C để điện áp trên hai bản tụ đạt giá trị

cực đại và bằng số 50V Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây khi đó là bao nhiêu?

A 30V B 20V C 40V D 50V

Câu 4: Đặt điện áp xoay chiều có f thay đổi vào hai đầu đoạn mạch điện xoay chiều RLC mắc theo thứ tự đó có



10

; 6

 Để điện áp hiệu dụng 2 đầu LC (ULC) đạt giá trị cực tiểu thì tần số dòng điện phải bằng:

A 60 Hz B 50 Hz C 55 Hz D 40 Hz

Câu 5: Một mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp gồm một điện trở, một tụ điện và một cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm

L có thể thay đổi, với u là điện áp hai đầu đoạn mạch và uRC là điện áp hai đầu đoạn mạch chứa RC, thay đổi L để điện áp

hiệu dụng hai đầu cuộn dây đạt giá trị cực đại khi đó kết luận nào sau đây là sai?

A u và uRC vuông pha B.(UL)2

Max= U2+URC2 C

2 2

C L

C

Z R Z

Z



 D

2 2

( L Max) C

C

U R Z U

Z



Câu 6: Cho mạch điện gồm R, L, C mắc nối tiếp Biết R = 30Ω, ZL = 40Ω, còn C thay đổi được Đặt vào hai đầu mạch

điện một điện áp u = 120cos(100t - π/4)V Khi C = Co thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại UCmax bằng

A UCmax = 100 2V B UCmax = 36 2V C UCmax = 120V D UCmax = 200 V

Câu 7: (ĐH-2011) Đặt điện áp xoay chiều u  U 2 cos 100  t (U không đổi, t tính bằng s) vào hai đầu đoạn mạch mắc

nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm

 5

1

H và tụ điện có điện dung C thay đổi được Điều chỉnh

C

V

M