Hocmai.vn– Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang | 1 -Nguyên tắc chung thiết lập các biểu thức tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều: Để tìm cực tr
Trang 1Hocmai.vn– Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang | 1
-Nguyên tắc chung thiết lập các biểu thức tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều:
Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn )
Bổ đề :
Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó a b ab a b 2 ab
2
Dấu bằng xảy ra khi a = b
Hàm số bậc hai y = ax2
+ bx + c, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
2
min
x ; y
I MẠCH RLC CÓ R THAY ĐỔI
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 1:
Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó R có thể thay đổi được (R còn được gọi là biến trở) Tìm giá trị của R
để
a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại
b) điện áp hiệu dụng hai đầu L hoặc C đạt cực đại
c) công suất tỏa nhiệt trên R là P o cho trước
d) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại
Hướng dẫn giải:
a) Cường độ hiệu dụng
2
Vậy R = 0 thì Imax và giá trị max
U I
Z Z
=
b) Ta có UL = I.ZL Do L không đổi nên (UL)max khi Imax → R = 0
Khi đó, ( ) L
L max max L
U.Z
U I Z
Z Z
−
Tương tự ta cũng có
( ) ( )
C max
C
C max max C
U.Z
U I Z
Z Z
c) Theo bài ta có
2
2
U
R Z Z
Thay các giá trị của U, ZL, ZC và Po vào phương trình trên ta giải được R cần tìm
d) Công suất tỏa nhiệt trên R:
2
−
+
Dấu bằng xảy ra khi ( )2
Z Z
R
−
2
max
U P
2 Z Z
=
−
Vậy mạch RLC có R thay đổi, giá trị của R và Pmax tương ứng là
=
L C 2
max
L C
U P
Bài giảng 5:
CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU_PHẦN 1
Trang 2Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn– Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang | 2
-Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có u=150 2 cos 100π V, L( ) =2 (H), C=4.10−4 (F),
đượ c Tìm R để
a) công suất tỏa nhiệt P = 90 W và viết biểu thức của cường độ dòng điện khi đó
b) hệ số công suất của mạch là cosφ = 1/2
c) công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại P max và tính giá trị P max
Hướng dẫn giải:
Ta có ZL = 200 Ω, ZC = 125 Ω, U = 150 V
a) Ta có
R 225Ω
U 150 R
P I R 90 90 R 90 90R 150 R 90.75 0
R 25Ω
=
=
Z 75 10 5
Biểu thức cường độ dòng điện là i 2 cos 100πt arctan 1 A
3 5
o
U 150 2 6
Z 25 10 5
Z Z 75 tan φ 3 φ arctan 3 φ φ φ arctan 3
R 25
−
Biểu thức cường độ dòng điện là 6 ( ( ) )
i cos 100πt arctan 3 A
5
b) Từ công thức tính hệ số công suất ta có
2
2
+
c) Ta có Pmax khi
2
max
R Z Z
U P
2 Z Z
=
Thay số ta được R = 75 Ω và
max
U 150
2 Z Z 2.75
Chú ý:
Trong trường hợp Pmax thì hệ số công suất của mạch khi đó là
1 2
Tức là độ lệch pha của u và i khi đó là π/4
Khi cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r ≠ 0 thì ta còn có thêm dạng bài tính công suât tỏa nhiệt trên R, trên cuộn dây và trên toàn mạch
TH 1 : Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch cực đại
Ta có ( ) ( )
2
2
R r
R r
−
+ +
+
Từ đó ta cũng được giá trị của R và Pmax tương ứng
←→
TH 2 : Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại
Trang 3Hocmai.vn– Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang | 3
-Ta có
2
R 2r
R
Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu số ta cũng được
P
2r R
R
+
Từ đó ta được giá trị của R và (PR)max tương ứng là
( )
=
2 2
L C
2
2
L C
U P
Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có r = 50 Ω, L = 0,4/π (H) và tụ điện có điện dung C = 10 –4 /π (F) và điện trở thuần R thay đổi được Điện áp hai đầu mạch là u=100 2 cos 100πt V Tìm R để ( )
a) hệ số công suất của mạch là 1/2
b) công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó
c) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R cực đại Tính giá trị cực đại của công suất đó
Hướng dẫn giải:
Ta có ZL=40Ω, ZC=100Ω, U 100V=
a) Hệ số công suất của mạch là
cosφ
Thay số ta được
R 50 1
4 R 50 R 50 60 2
R 50 60
Giải phương trình trên ta được các nghiệm R cần tìm
b) Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại khiR+ =r ZL−ZC ⇔ +R 50=60→ =R 10Ω
Khi đó, công suất cực đại của mạch
max
U 100 250
2 Z Z 2.60 3
−
c) Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại khi
( )
2 2
2
2
R r Z Z
U P
2r r Z Z
=
Thay số ta được
( )
2
2
R r Z Z 50 60 10 61 Ω
100 20 61 2r 2 r Z Z
+
Ví dụ 3: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, biết R có thể thay đổi được Biểu thức điện áp hai đầu
π
4 Điều chỉnh R để công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại và bằng 100 W Viết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch, biết mạch có tính dung kháng
Hướng dẫn giải:
Khi công suất tỏa nhiệt trên R cực đại thì ta có
max
R 50 Ω
Khi đó,
o o
U 100
Z 50
4 2
Trang 4
Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn– Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang | 4
-Do mạch có tính dung kháng nên φ 0 φ π φu φi φi π
Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là i 2 cos 100πt π A
2
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 2:
Cho mạch điện RLC có R thay đổi Điện áp hiệu dụng hai đầu mạch điện là U Khi R = R 1 và R = R 2 thì mạch tiêu thụ cùng một công suất (hay P 1 = P 2 ) Chứng minh rằng:
b) φ 1 φ 2 π
2
+ = , với φ 1 , φ 2 lần lượt là độ lệch pha của u và i khi R = R 1 , R = R 2
c) Công suất tỏa nhiệt tương ứng khi đó = = =
+
2
U
Hướng dẫn giải:
a) Theo giả thiết ta có P1 = P2
R R R Z Z R R R Z Z R R R R Z Z R R R R Z Z
b) Ta có
1
1
2
2
Z Z tan φ
R
Z Z tan φ
R
=
−
−
−
Từ đó ta được φ1 φ2 π dpcm
2
c) Ta có
2
R R R R R
R Z Z
Vậy mạch RLC có R thay đổi mà R = R1 và R = R2 thì P1 = P2 sẽ thỏa mãn
1 2 L C
1 2
2
1 2
π
φ φ
2 U P
==== −−−−
====
++++
Chú ý:
Trong trường hợp mạch điện bị khuyết một phần tử (hoặc L hoặc C) thì ta có các điều kiện tương tự
+ Với mạch R, L:
2
1 2 2
1 2
L
R R Z U P
=
+
+ Với mạch R, C:
2
1 2 2
C
R R Z U P
=
+
Các em cần phân biệt rõ hai trường hợp công suất cực đại khi R biến thiên và công suất bằng nhau
+ Khi R biến thiên thì công suất cực đại là
max
P
−
+ Khi R biến thiên có hai giá trị cho P bằng nhau thì
2
1 2
1 2
max
U
=
−
Trang 5
Hocmai.vn– Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang | 5
-Ví dụ 1: (Đề thi Đại học – 2009)
Đặ t điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với
tụ điện Dung kháng của tụ điện là 100 Ω Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R 1 và R 2 công suất tiêu thụ của
đ oạn mạch như nhau Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R 1 bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R 2 Các giá trị R 1 và
R 2 là
A R 1 = 50 Ω, R 2 = 100 Ω B R 1 = 40 Ω, R 2 = 250 Ω
C R 1 = 50 Ω, R 2 = 200 Ω D R 1 = 25 Ω, R 2 = 100 Ω
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có P1 = P2
R R +R Z =R R +R Z ⇔R R R −R =Z R −R ⇔R R =Z ⇔R R =100 , (1)
Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi R = R2
Khi đó theo bài ta được 1
2
I
U 2U I Z 2I Z 2
I
Lại có
2
R I
R I
, (2)
Giải (1) và (2) ta được R1 = 50 Ω, R2 = 200 Ω
Vậy chọn đáp án C
Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở R được mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều u=120 2cos 120πt V.( ) Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở R 1 = 18 Ω và R 2 = 32 Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau Công suất P của
đ oạn mạch có thể nhận giá trị nào ?
Hướng dẫn giải:
Theo chứng minh công thức ở trên ta được
U 120
R R 18 32
Vậy P = 288 W
Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là u=30 2cos(100πt)V, R thay đổi được Khi mạch có R
= R 1 = 9 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 1 Khi mạch có R = R 2 = 16 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 2 biết
1 2
π
2
a) Tính công suất ứng với các giá trị của R 1 và R 2
b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R 1 , R 2
c) Tính L biết
3
10
2π
−
d) Tính công suất cực đại của mạch
Hướng dẫn giải:
a) Theo chứng minh công thức ở trên, khi
1 2
R R , R R
π
R R 9 16
2
b) Ta có 1 2 ( )2
R R , R R
Z Z R R 9.16 144 Z Z 12 Ω
π
2
Khi R = R1 = 9 Ω thì ta có tổng trở của mạch là 2 ( )2 2
U
Z R Z Z 9 144 15Ω I 2 A
Z
1
Trang 6Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn– Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Trang | 6
-Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là i 2 2cos 100πt artan 4 A
3
Khi R = R1 = 16 Ω thì ta có tổng trở của mạch là 2 ( )2 2
U
Z R Z Z 16 144 20Ω I 1,5A
Z
2
Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là i 1,5 2cos 100πt artan 3 A
4
c) Khi
3
C
10
C (F) Z 20Ω
2π
−
L
8
L (H)
Z 32 Ω 25π
Z Z 12 Ω
L (H) 25π
=
=
d) Công suất cực đại của mạch khi R biến thiên được tính bởi
max
2 Z Z 2.12
−
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch u=U 2cos( ωt )V , R thay đổi được Khi mạch có R = R1 = 90 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ1 Khi mạch có R = R2 = 160 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ2 Biết rằng
π
2
a) Tìm L biết C = 10 –4 /π (F) và ω = 100π rad/s
b) Tìm ω biết
−
L ( H ),C ( F ).
Bài 2: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là u U 2cos( 100πt )V , R thay đổi được Khi mạch có R = R1 = =
90 Ω và R = R2 = 160 Ω thì mạch có cùng công suất P
a) Tính C biết L = 2/π (H)
b) Tính U khi P = 40 W
Bài 3: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u=200 2cos( 100πt )V , L = 2/π (H), C = 10 –4 /π (F) Tìm R để
a) hệ số công suất của mạch là 3
2
b) điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là U R =50 2 V
c) công suất tỏa nhiệt trên R là P = 80 W
Bài 4: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là
−
u 240 2cos( 100πt )V ,C ( F ).
Khi R = R1 = 90 Ω và R = R2 = 160 Ω thì mạch có cùng công suất P
a) Tính L, công suất P của mạch
b) Giả sử chưa biết L, chỉ biết Pmax = 240 W và với 2 giá trị R3 và R4 thì mạch có cùng công suất là P = 230,4 W
Tính giá trị R3 và R4
Giáo viên : Đặng Việt Hùng Nguồn : Hocmai.vn