Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c.. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác BCD... + Mọi cách giải khác đúng vẫn cho tối đa theo biểu điểm.. Điểm toàn bài không làm tròn.
Trang 1THÁI BÌNH
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
(Đáp án gồm 06 trang)
Câu 1
Cho hàm số y x= −3 3mx2+3(m+6)x+1 (1)
1 Tìm m để hàm số (1) có cực trị
2 Khi hàm số (1) có cực trị , hãy tìm m để điểm A (3;5) nằm trên đường thẳng đi
qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
3.0
Ý 1.
(1 đ)
Hàm số (1) có cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt
2
2 3
m m
< −
Ý 2.
(2 đ)
3
m m
< −
>
(*) thì hàm số có cực trị và tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là nghiệm của hệ phương trình:
2
0.5
2
⇔
⇒Tọa độ các điểm cực trị thuộc đường thẳng( )d Vậy m ( )d là đường thẳng qua m
Điểm M(3;5) ∈ ( ) 2
4
5
m
m
m
=
= −
Kết hợp (*) ta có m = 4 là giá trị cần tìm
0.25
Câu 2 Cho các số nguyên dương a và b thỏa mãn a b> Hãy so sánh hai số : a và b b a 3.0
Xét hàm số f x( ) lnx, x 0
x
2
1 ln
x
−
BBT
0.75
'( )
−∞
x
( )
2
ln 2 2
Trang 2• ( ) ( ) ln ln
;
< <
b a
< < < =
b a
• =1 ⇒ >
< ∈
b a
b
e a Z
•
2
2 4
3
=
< < ⇒ ⇒ >
∈
b a
b
b
a
a Z
0.25
4
=
=
a b
b
a
4
=
< ∈
b a
b
a Z
0.25
Vậy với a, b nguyên dương, ta có:
• Nếu a b e> > hoặc b 2
a 4
=
>
thì <
b a
• Nếu b 1
a 2
=
=
hoặc
b 2
a 3
=
=
hoặc
b 1
a e
=
>
thì >
b a
• Nếu b 2
a 4
=
=
thì
b a
a =b
0.25
Câu 3
1 Cho hàm số
1 cos cos 2
0 ( )
khi x
khi x
−
=
Tính đạo hàm của hàm số tại x 0=
2 Giải phương trình : (x−1 2) ( x− +1 33 x+6) = +x 6
4.0
Ý 1.
(2 đ)
( ) (0) 1 cos cos 2
0
1
2
3
3
0.75
Vậy '(0) 5
2
ĐK: x≥1
Trang 3• x>1 thì PT 3 6
1
x
x
+
Ta xét các hàm số sau trên (1;+∞)
1) f x( ) 2= x− +1 33 x+6 có '( ) 1 3 1 0, 1
0.25
1
x
g x
x
+
=
7
1
x
−
= < ∀ >
Do đó trên miền x > 1: VT(*) là hàm số đồng biến, VP(*) là hàm số nghịch biến nên
Câu 4 Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x2+ y2+ =z2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Áp dụng BĐT Buniacovsky ta có:
F ≤ x + y z+ ≤ x + y +z = x + −x
0.75
Xét hàm số: f x( )= x2 +2 2 3( −x2) trên miền xác định − 3≤ ≤x 3
4
2 3
x
x
−
0.25
'( ) 0 ên (- 3; 3) 0
1
x
x
=
max3; 3 f x( ) 5
−
Suy ra F2 ≤18.5⇒ ≤F 3 10
Với x= = =y z 1 thỏa mãn x2 +y2 + =z2 3 thì F =3 10 Vậy maxF =3 10 0.5
Câu 5
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; 1)− và hai đường thẳng
d x y1: − − =1 0 , d2: 2x y+ − =5 0 Gọi A là giao điểm của d và 1 d 2
1.Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d1, đi qua điểm M và
tiếp xúc với đường thẳng d2.
2.Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt d , 1 d lần lượt ở B và C sao cho ba 2
điểm A , B , C tạo thành tam giác có BC = 3AB.
3.0
Gọi đường tròn cần tìm là (T) có tâm I, bán kính là R VìI d∈ ⇒1 I a a( ; −1) 0.25
(T) qua M và tiếp xúc d2 nên ta có:
2
5
+ − −
⇔a2+26a−31 0= ⇔ = − ±a 13 10 2 0.25
• a= − −13 10 2 ⇒ − −I( 13 10 2; 14 10 2 ;− − ) R= 5 9 6 2( + )
0.25
Trang 4Ý 1.
(1.5 đ)
• a= − +13 10 2 ⇒ − +I( 13 10 2; 14 10 2 ;− = ) R= 5 9 6 2( − )
0.25
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài với phương trình (1) và (2) 0.25
Ý 2.
(1.5 đ)
Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ x y 1 0 x 2 A(2;1)
Lấy điểm E( )3;2 ∈d E1 ( ≠ A Ta tìm trên d) 2 điểm F (F ≠ A ) sao cho EF = 3AE
Do F d∈ ⇒2 F x( ;5 2− x)
EF = 3AE⇔ x−3 + −3 2x =18
0.25
( )
2
0;5 0
;
F x
=
(Cả hai điểm F này đều thỏa mãn F ≠ A )
0.25
3
=
uuur
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là
:x y 0
Câu 6
Cho tứ diện ABCD có AB=a , AC=b , AD=c và ·BAC CAD DAB 60=· =· = 0.
1 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c.
2 Cho a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn a b c 2010+ + ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi
tam giác BCD
3.0
Ý 1.
(1.5 đ)
H
A
B
C
D E
F
• Không giảm tính tổng quát, giả sử a min= {a;b;c} (cũng có thể giả sử a b c≤ ≤ )
Khi đó trên các cạnh AC , AD lần lượt lấy các điểm E và F saocho AE = AF = a
0.5
Trang 5Ta nhận được tứ diện ABEF là tứ diện đều cạnh a.
• Tính được thể khối tích tứ diện đều ABEF là
3
• Ta có :
2 ABEF
ABCD 2 ABEF ABCD
Ý 2.
(1.5 đ)
Ta có BC= AB2 +AC2 −2AB.AC.cosBAC· = a2 + −b2 ab 0.25
Chu vi tam giác BCD là
Suy ra : P a b c 2010≥ + + ≥
Với a b c 670= = = thỏa mãn a b c 2010+ + ≥ ta có P 2010=
Vậy minP=2010
0.25
Câu 7
Giải hệ phương trình sau:
3 3 3
− =
2.0
Thay (2) vào (1) có : (z3−3 )z 3−3(z3−3 )z = y (4)
Thế (3) vào (4) ta được :
3
3 3 3 3 3 3
− − − − − − − =
0.5
Xét y∈ −[ 2;2] , đặt y = 2cost ( t∈[0;π] ) , ta có :
PT(*)
3
(8cos t 6cos )t 3(8cos t 6cos )t 3[(8cos t 6cos )t 3(8cos t 6cos )] 2cost t
0.5
3
(8cos 3 6cos3 ) 3(8cos 3 6cos3 ) 2cos
0.25
Từ đó PT (*) có 27 nghiệm phân biệt trên đoạn [−2;2] là
2cos
13
k
0;12
14
l
với l =1;14
0.25
Trang 6PT (*) là PT bậc 27 nên có tối đa 27 nghiệm Từ đó trênR, PT(*) có 27 nghiệm phân biệt
2cos
13
k
0;12
14
l
với l =1;14
Thay các giá trị này của y vào (3) và (2) ta đi đến kết luận :
Hệ phương trình đã cho có các nghiệm là :
9 2cos 13 2cos 13 3 2cos 13
k x
k y
k z
π π π
=
=
=
và
9 2cos 14 2cos 14 3 2cos 14
l x
l y
l z
π π π
=
=
=
với k =0;12 và l =1;14
0,5
HƯỚNG DẪN CHUNG
+ Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước , yêu cầu thí sinh
phải trình bầy và
biến đổi hợp lý mới được công nhận cho điểm
+ Mọi cách giải khác đúng vẫn cho tối đa theo biểu điểm
+ Chấm từng phần Điểm toàn bài không làm tròn