Đê, ĐA HSG Toán 11 cụm Lục Nam Tỉnh Bắc giang 2013

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ

MÔN THI: TOÁN LỚP 11

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu I (5 điểm)

1) Giải phương trình: (2 3) cos 2sin (2 2 34 ) 1

x x

x







2) Lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn tất cả các điều kiện sau: Mỗi số lập được chia hết cho 5 và gồm bốn chữ số, đồng thời chữ số đứng trước luôn lớn hơn chữ số đứng sau

Câu II (4 điểm)

1) Tìm số hạng tổng quát u n của dãy số ( )u n cho bởi: 1 2

u  u u  n n





k

k

Câu III (4 điểm)

1) Tìm m để phương trình: x4  2(m 2)x2  2m  3 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng

2) Tính giới hạn: lim1 32 1 22 3 1

x



Câu IV (6 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 y 12  4 Tìm phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự V O ( , 3) ( tâm O, tỉ số bằng  3)

2) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm của AB’ Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với AC’ và CB’ Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (P) 3) Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trọng tâm của tam giác BCD Gọi I là giao điểm của AG và MN

Chứng minh rằng với mọi điểm P trong không gian, ta luôn có:         PA PB PC PD                                                                 4PI

Câu V (1 điểm) Cho dãy số ( )u n được xác định: (2n 1)( n  1 n u). n 2 0,  (n 1, 2,3, ) Chứng minh rằng: 2012 2013  u1 u2 u3  u2012  0

……… HẾT ………

Họ tên thí sinh: ……….…… …, Số báo danh: ……… ………

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đáp án và thang điểm đề thi HSG cấp cơ sở môn toán lớp 11 – Cụm Lục Nam

Năm học: 2012 – 1013

Dưới đây là hướng dẫn, thang điểm và đáp án của đề thi Bài làm của thí sinh cần phải chính xác, đầy đủ, chi tiết, rõ rà ng, sạch sẽ, lôgic Nếu thí sinh làm theo cách khác mà đảm bảo được các yêu cầu trên thì vẫn cho điểm tối đa theo quy định.!

Câu I

(5 điểm)

+ ĐK: cos 1

2

+ Pt (2 3) cos (1 cos( 3 )) 2 cos 1

2

(2 3) cos cos( 3 ) 2 cos

2

      sinx 3cox 0

1,5

+ Biến đổi tan 3 tan tan

3

3

x  k k

I.1)

(3 điểm)

+ So sánh điều kiện, kết luận đúng các nghiệm của pt là: 4 2 ( )

3

x  k  k  0,5 + Mỗi số lập được có dạ ng a a a a1 2 3 4 (a1a2 a3 a4) và a 4 0 hoặc a 4 5 0,5 + Nếu a 4 5 thì số cá ch chọn a a a1 2 3 chính là số cá ch rút ra 3 sô trong dãy số

9,8, 7, 6 Vậy có 4

3 4

C  (cách chọn a a a1 2 3)

0,5

+ Nếu a 4 0, tương tự thì số cá ch chọn a a a1 2 3 trong dãy 9,8, 7, 6,5, 4,3, 2,1 bằng

9

3 84

C  (cách)

0,5

I.2)

(2 điểm)

+ Vậy có tất cả: 4 9

Câu II

(4 điểm)

+ Biến đổi được 1 1( 1)

2

+ Đặt v n1 u n  u n1 (n 2), suy ra 1 1 ( 2)

2

v  v  n Ta được dãy số ( )v n là

một cấp số nhân có số hạ ng đầu v1u2 u1   2 1 1  và công bội 1

2

q 

0,5

+ Ta có u n  (u n  u n1) (  u n1 u n2) (   u3 u2) (  u2 u1) u1

 (v n1v n2 v2v1) u1

1 1

1 1

1

1

2

n n

n

v q q







 

 

0,5

II.1)

(2 điểm)

+ Kết luận được: 2 1 1

n n