Gọi A là biến cố “Lần gieo thứ nhất đồng xu xuất hiện mặt sấp”, B là biến cố “Lần gieo thứ hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.. Khi đó ta nói hai biến cố A và B là độc lập với nhau.. Giải:
Trang 2Câu hỏi: Một hộp đựng 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh Chọn ngẫu
nhiên 2 viên bi trong hộp Gọi A là biến cố “Chọn được 2 viên bi đỏ”, B là biến cố “Chọn được 2 viên bi xanh”, C là biến cố “Chọn được hai viên bi cùng màu”, D là biến cố “Chọn được 2 viên bi
khác màu”
1) Mệnh đề nào sau đây là đúng:
a) A và B đối nhau
b) A và B xung khắc
c) C và D xung khắc
d) C và D đối nhau
2) Mệnh đề nào sau đây là đúng:
)
a C A B b C ) A B c D C ) d D A B ) 3) Hãy tính:
)
a P A
)
b P B
)
c P C
)
d P D
2 3 2 7
1 7
C
C
2 4 2 7
2 7
C
C
3 4
7 7
P C
Trang 4a) Biến cố giao
Ví dụ: Xét phép thử T là “Chọn ngẫu nhiên một học sinh khối 11”
B là biến cố “Học sinh được chọn là học sinh nữ”
a) Có nhận xét gì về sự xảy ra của A và B khi C xảy ra và ngược lại? b) Khẳng định C=AB có đúng không, tại sao?
Nếu C xảy ra thì cả A và B cùng xảy ra, nếu cả A và B cùng xảy ra thì C xảy ra.
Như vậy C là biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra ”.
Ta có: C = A B
Ta nói: C là giao của hai biến cố A và B
Ký hiệu: C=AB
Vậy, giao của hai biến cố là gì?
Trang 5Xét phép thử: “Gieo một đồng xu liên tiếp hai lần” Gọi A là biến cố “Lần gieo thứ nhất đồng xu xuất hiện mặt sấp”, B là biến cố “Lần gieo thứ hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa” Hãy:
a) Xác định biến cố AB?
b) Tính xác suất của A, B và AB?
c) Biến cố A xảy ra có làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố B hay không? d) So sánh P(A).P(B) và P(AB)?
Ví dụ:
a) Ta có ={SS,SN,NS,NN}, SS,SN,NS,NN}, A={SS,SN,NS,NN}, SS,SN}, B={SS,SN,NS,NN}, SN,NN},
AB là biến cố “Lần gieo thứ nhất đồng xu xuất hiện mặt sấp và lần gieo thứ hai
đồng xu xuất hiện mặt ngửa”, AB={SS,SN,NS,NN}, SN}
b) Như vậy: P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(AB)=1/4
c) Nếu A đã xảy ra thì tập các kết quả có thể xảy ra là A={SS,SN,NS,NN}, SS,SN} và tập
các kết quả thuận lợi cho B lúc này là B|A={SS,SN,NS,NN}, SN} Do đó xác suất của B với điều kiện A đã xảy ra là P(B|A)=1/2
Vậy việc xảy ra hay không xảy ra A không làm ảnh hưởng tới xác suất của B
(Khi đó ta nói hai biến cố A và B là độc lập với nhau)
d) Dễ thấy P(AB)=P(A).P(B)
Giải:
Qua ví dụ trên ta thấy:
Với hai biến cố độc lập A và B thì ta có P(AB)=P(A).P(B).
Kết luận trên còn đúng cho hai biến cố độc lập bất kỳ cùng liên quan đến một phép thử hay không ?
Biến cố độc lập Quy tắc nhân xác suất
Trang 6Nhận xét:
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì mỗi cặp biến cố cũng độc lập với nhau A vµ B A , vµ , B A vµ B
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
Cho k biến cố A 1 , A 2 , , A k ; k biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại.
b) Biến cố độc lập
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì mỗi cặp biến cố
có độc lập với nhau hay không? Giải thích?
,
vµ vµ , vµ
Trở lại ví dụ
Trang 7c) Quy tắc nhân xác suất
N ếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB)=P(A).P(B)
Ta có P A A , P B B , P AB AB
Nếu A đã xảy ra thì tập hợp các kết quả có thể xảy ra chính là A
và các kết quả thuận lợi cho B là B A AB
Suy ra xác suất của B (khi A đã xảy ra) là:
|
AB AB
A A
P AB
P B A
P A
Do đó ta có : P AB P A P B A | (1)
Chứng minh
Vì A và B độc lập nên P B A | P B (2)
Từ (1) và (2) ta có: P AB P A P B .
Trang 8c) Quy tắc nhân xác suất
N ếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB)=P(A).P(B)
Nhận xét : Nếu P(AB) P(A)P(B) thì hai biến cố A và B không độc lập
Cho hai biến cố A và B xung khắc.
a) Chứng tỏ rằng P(AB)=0.
b) Nếu P(A)>0 và P(B)>0 thì hai biến cố A và B có độc lập với nhau không ?
H 3
Ghi nhớ: Để xét xem hai biến cố A và B có độc lập với nhau hay không
ta có thể so sánh P(A).P(B) với P(AB)
Quy tắc nhân cho nhiều biến cố:
N ếu k biến cố A1, A2, , Ak độc lập với nhau thì
P(A1A2 Ak)=P(A1).P(A2) P(Ak)
Trang 9c) Quy tắc nhân xác suất
Ví dụ: Hai xạ thủ cùng bắn một cách độc lập vào một bia, mỗi người bắn một phát
Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,8 Tính xác suất để:
a) Cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia
b) Cả hai xạ thủ đều bắn trượt
c) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia
Giải: Gọi A là biến cố “Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”
B là biến cố “Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”
C là biến cố “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia”
D là biến cố “Cả hai xạ thủ đều bắn trượt”
E là biến cố “Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia”
D=AB; E=D.
Ta có P(A)=0,9; P(B)=0,8; A và B độc lập; C=AB;
Suy ra:
1 0,9 1 0,8 0,1.0, 2 0,02
b P D P AB P A P B P A P B
Trang 101 Khái niệm biến cố giao
2 Khái niệm biến cố độc lập
3 Công thức nhân xác suất
Trang 11Câu 1: Gieo con súc sắc hai lần Gọi A là biến cố “Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm”, B là biến cố “Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm”, C là biến cố
“Có đúng một lần gieo xuất hiện mặt 6 chấm” Mệnh đề nào đúng?
a C=AB b C=AB c C=AB d C=AB AB
Câu 2: Cho hai biến cố A và B với P(A)=0,3; P(B)=0,5; P(AB)=0,2
Mệnh đề nào đúng?
a B là hợp của A và AB b A và B không độc lập
Câu 3: Gieo 3 đồng xu cân đối và đồng chất một cách độc lập Xác suất để
cả 3 đồng xu đều ngửa là:
Trang 12Baì tập trắc nghiệm 2:
Bài 1: Gieo 2 con súc sắc Xác suất để dấu chấm trên
mặt 2 con súc sắc giống nhau là:
A/ 0,33 B/ 0,22 C/ 0,55
D/ 0,16 Bài 2:Có 5 bi trắng, 4 bi đỏ, 3 bi vàng.Xác suất chọn 3
bi trong đó có 2 bi trắng và 1 bi vàng là:
33
5
22
3
11
5
11 6
Bài 3: Gieo 2 con súc sắc Xác suất để tổng dấu
chấm trên mặt 2 con súc sắc không lớn hơn 3.
A/ 0,055 B/ 0,66 C/ 0,03 D/ kết
quả khác Bài 4 :Một hộp có 11 chiếc thẻ dánh số từ 1 đến11
.Xác suất rút 2 thẻ có tích 2 số trên 2 thẻ là số lẻ:
A/ 0,27 B/ 0,78 C/ 0,33 D/ 0,77
D
B
A
A