Ôn thi đại học tích phân

Tớch PhaõnCHủ Đề 2: Tích phân I.Các phơng pháp tính tích phân 1.. Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản 2... Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.. II.T

Tớch Phaõn

CHủ Đề 2: Tích phân

I.Các phơng pháp tính tích phân

1 Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản

2 Ph ơng pháp đổi biến số Bài toán: Tính ( )

b

a

I = ∫ f x dx,

*Phơng pháp đổi biến dạng I

Định lí Nếu 1) Hàm x u t = ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α β; ],

2) Hàm hợp f u t( ( )) đợc xác định trên [α β; ],

3) u ( ) α = a u , ( ) β = b,

thì ( ) ( ( )) ( )'

b

a

β

α

Ví dụ 1 Hãy tính các tích phân sau:

a)

1

2 3 0

5

I=∫x x + dx b) 2( 4 )

0

sin 1 cos

π

5 3

3

d x

3

0

5 5

3

d x

1

0

2

x

+

+

+

b) Ta có

2

4 0

(sin 1) (sin )

π

π

Ví dụ 2 Hãy tính các tích sau:

a)

4

2 0

4 x dx−

∫ b)

1 2

01

dx x

+

∫

2 2

x = t t ∈ −  π π 

  Khi x = 0 thì t = 0 Khi x = 2 thì t 2

π

=

Từ x = 2sin t ⇒ dx = 2cos tdt

π

Trang 1

Tớch Phaõn

2 2

x tgt t = ∈ −  π π 

  Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 1 thì t 4

π

cos

dt

x tgt dx

t

4

∫ dx ∫ dt ∫dt t

π π

Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn nh:

Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng a2 + x2, a2 − x2 và x2 − a2 (trong trong đó a

là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức,

cụ thể là:

• Với a2 − x2 , đặt sin , ;

2 2

x a= t t∈ − π π

hoặc x a= cos ,t t∈[0;π]

2 2

x atgt t= ∈ − π π 

hoặc x acotgt t= , ∈(0;π )

• Với x2 − a2 , đặt , ; \ 0{ }

a

t

π π

hoặc ;

cos

a x

t

2

t∈ π  π

 

 .

*Phơng pháp đổi biến dạng II

Định lí : Nếu hàm số u u x = ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] a b ; sao cho

'

f x dx g u x u x dx g u du = = thì

( )

( )

u b b

Ví dụ 3: Tính

1

0

5

I = ∫ x x + dx

Giải: Đặt u x ( ) = + x3 5.Tacó u (0) 5, (1) 6 = u =

5

6

5

Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phơng pháp đổi biến dạng II:

Trang 2

Tớch Phaõn

1

5

0

2x+1 dx

2

ln

e

e

dx

x x

∫ ; c)

1

2 0

1

x dx

+ + +

2

2

1 (2 1)

dx

x −

2 3

3

2

3

π

π

π

−

∫

Giải: a) Đặt u = 2 x + 1 khi x = 0 thì u = 1 Khi x = 1thì u = 3

Ta có 2

2

du

du= dx⇒dx= Do đó:

3

1

u

3 .

b)Đặt u = ln x Khi x e = thì u = 1 Khix e = 2 thì u = 2

Ta có du dx

x

1

2

ln ln 2 ln1 ln 2 1

ln

e e

u

c)Đặt u x = 2 + + x 1 Khi x = 0 thì u = 1 Khi x = 1 thì u = 3

Ta có du = (2 x + 1) dx Do đó:

2

3

2ln 2(ln 3 ln1) 2ln 3 1

1

+ +

d)Đặt u = 2 x − 1 Khi x = 1thì u = 1 Khi x = 2 thì u = 3

Ta có 2

2

du

du= dx⇒dx= Do đó:

3

( 1) 1

−

3

3

u = x − π

Khi

3

x = π

thì

3

u = π

, khi 2

3

x = π

thì 4

3

u = π

Ta có 3

3

du

du= dx⇒dx= Do đó:

4

3

π

3.Ph ơng pháp tích phân từng phần.

Định lí Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ ] a b ; thì:

( ) ( )' ( ( ) ( )) ( ) ( )'

b

a

b

a

Ví dụ 5: Tính

1

ln

e

x xdx

∫

Giải: Đặt  =u dv xdx=lnx 2

2

dx du x x v

 =



⇒ 

 =





Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:

Trang 3

Tớch Phaõn

a)

2

5

1

ln x

dx x

∫ b)

2

0

cos

x xdx

π

1

0

x

xe dx

∫ d)

2

0

cos

x

π

∫

Giải: a) Đặt

5

4

ln

4

dx

x

v x

x



Do đó:

2 2

1

dx

−

b) Đặt

c)Đặt u x x du dx x

xe dx xe= − e dx e e= − = − − =e e

d) Đặt

0

π

1 sin 1 cos

⇒

2

0

2 2

1

2

π

*Cách đặt u và dv trong phơng pháp tích phân từng phần

( )

b

x a

P x e dx

b

a

P x xdx

b

a

P x xdx

b x a

∫

• Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )

β

α

∫ mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số:

, cos , sin

ax

e ax ax thì ta thờng đặt

' ( ) ( )

du P x dx

u P x

dv Q x dx v Q x dx

=



=

Trang 4

Tớch Phaõn

• Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )

β

α

∫ mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt

( )

' ( )

du Q x dx

u Q x

=



=

=

• Nếu tính tích phân I e axcosbxdx

β

α

=∫ hoặc J e axsinbxdx

β

α

ax

u e

b

=



=

ax

u e

b

=



=

Trong trờng hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu Từ đó suy

ra kết quả tích phân cần tính

II.Tích phân một số hàm số thờng gặp

1 Tích phân hàm số phân thức

a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:

I 2 dx (a 0)

β

α

∫ (trong đó ax2 + bx c + ≠ 0 với mọi x ∈ [ α β ; ]) Xét ∆ = −b2 4ac

2

dx I

b

a x

a

β

α

=

 − 

+)Nếu ∆ > 0 thì

( 1) ( 2)

I

β

α

=

(trong đó 1 ; 2

− + ∆ − − ∆

( 1 2) 12

1

ln x x

I

β α

−

⇒ =

+) Nếu ∆ < 0thì

2

2

+ +    −∆ 

+ +

 ữ  ữ

 

I

a x

1

1

b) Tính tích phân: I 2mx n dx , ( a 0 )

β

α

+

+

= + + liên tục trên đoạn [α β; ]) +) Bằng phơng pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:

c bx ax

B c

bx ax

b ax A c bx ax

n mx

+ +

+ + +

+

= + +

+

2 2

2

) 2 (

Trang 5

Tớch Phaõn

+)Ta có I= ∫β

α

dx c bx ax

B dx

c bx ax

b ax A dx c bx ax

n mx

+ +

+ + +

+

= + +

+

∫

2

) 2

α

β

α

Tích phân dx

c bx ax

b ax A

+ +

+

∫ 2

) 2 (

β α

ε

c bx ax

A ln 2 + +

Tích phân 2 dx

β

c) Tính tích phân ( )

( )

b a

P x

Q x

=∫ với P(x) và Q(x) là đa thức của x.

• Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

• Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trờng hợp:

+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn α α1, , ,2 αnthì đặt 1 2

( )

( )

n n

A

P x

+ Khi Q x ( ) = − ( x α ) ( x2 + px q + ) , ∆ = p2 − 4 q < 0thì đặt ( ) 2

( )

+

( )

( ) ( )

A

Q x = x − α + x − β + x − β .

Ví dụ 7 Tính tích phân:

1 2 0

4 11

5 6

x

dx

+

Cách 1.Bằng phơng pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:

A x

x

+

x

x

x x

x

+

Do đó

2

x

x

+

Cách 2 Vì x2 + 5 x + = + 6 ( x 2 ) ( x + 3 ) nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:

4 11

x

3

4 11

x

x

+

Trang 6

Tớch Phaõn

x

x

Do đó

2

4 11

3

dx

3ln 2 ln 3 ln

Ví dụ 8:Tính tích phân:

1

2

dx

x + + x

Do

2 2

x

=

 

 

2

2 0

3

3 2

3

tg t dt dx

π π π

+

Ví dụ 9 Tính tích phân:

1

2

x dx

x

x

2 Tích phân các hàm l ợng giác

2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản

Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:

a)

2

2

sin 2 sin 7

π

π

2

0 cos (sin cos )

π

2 3

0

4sin

1 cos

x

x

π

= +

a)

sin 5 sin 9

cos (sinx x+cos ) cosx = x sin x+cos x −2sin xcos x

2

cos 1 sin 2 cos 1 1 cos 4 cos cos cos 4

Trang 7

Tớch Phaõn

sin 2 sin 5 2 sin 3 2

4 x0 40 x0 24 x0 4 40 24 15

c)

4sin 4sin sin 4(1 cos )sin

4(1 cos )sin

1 cos 1 cos 1 cos

−

2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lợng giác

2.2.1.Tính

cos

dx I

=

∫

t

+ Ta có: 2

2 sin

1

t x

t

= + và

2 2

1 cos

1

t x t

−

= +

( ) 2

2

I

Ví dụ 11 Tính

dx

∫

2

1

t

+

2

2 1

+

dt

1

2

+ +

x tg t

x

sin sin cos cos

dx I

=

∫

Phơng pháp: ( )sin2 sin cos ( )cos2

dx I

=

2

cos

dx x

=

∫

cos

dx

x

dt I

⇒ =

sin 2sin cos 3cos

dx I

=

dx

I

cos

dx

x

Trang 8

Tớch Phaõn

2.2.3 Tính sin cos

sin cos

=

+)Tìm A, B, C sao cho:

sin cos

=

+ +

− +

c x b x a

dx C

dx c x b x a

x b x a B dx A

cos sin

cos sin

sin cos

Tích phân ∫ dx tính đợc

c x b x a

x b x

+ +

−

cos sin

sin cos

Tích phân ∫asinx+dx bcosx+ctính đợc

Ví dụ 13 Tính: cos 2sin

4cos 3sin

+

=

+

Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho:

cosx+2sinx= A 4cosx+3sinx +B −4sinx+3cos ,x ∀x

cos x + 2sin x = 4 A + 3 B cos x + 3 A − 4 B sin , x ∀ x

2

5

A

A B

A B

B

 =



+

2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đa về tích phân hàm lợng giác đơn giản hơn

(Xem ví dụ 17, 20, 21)

2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng ∫R(sin ,cosx x dx) , với R(sin ,cosx x)là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx

Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân

t

+

Ta có

2

sin ;cos

−

• Những trờng hợp đặc biệt:

+) Nếu R(sin ,cosx x là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là )

R ( − sin , cos x − x ) = R ( sin ,cos x x ) thì đặt t tgx = hoặc t = cot gx, sau đó đa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t

+) Nếu R ( sin ,cos x x )là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

R ( − sin ,cos x x ) = − R ( sin ,cos x x )thì đặt t = cos x

Trang 9

Tớch Phaõn

+) Nếu R ( sin ,cos x x )là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:

R ( sin , cos x − x ) = − R ( sin ,cos x x )thì đặt t = sin x

Trang 10

Tớch Phaõn

3.Tích phân hàm vô tỉ

3.1 Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản

Ví dụ 14 Tính tích phân:

1

dx I

=

+ +

Giải

3 3 2 2

1 2

0 3

1

2 2 2 3

Ví dụ 15:Tính tích phân

2

x dx

2

2 2 1

15 1

x dx

−

+ +

3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lợng giác

(xem ví dụ 2)

3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn

Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức

Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng đúng

Ví dụ 15:Tính = ∫1 −

0

2

x

0

2 2

1

0

2

x I

Đặt t= 1 − x2 ⇔ t2 = 1 − x2 ⇔ x2 = 1 − t2

Ta có: xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0 

15

2 5

3 )

1 (

1

0

5 3 0

1

2







=

−

−

I

4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 16: Tính

2 2 2

1

J x dx

−

=∫ −

Giải: Lập bảng xét dấu của x2 − 1 trên đoạn [− 2;2]

x -2 -1 1 2

2 1

x − + 0 - 0 +

−

4

= − ữ + − ữ + − ữ =

Trang 11

Tớch Phaõn

III.Tích phân một số hàm đặc biệt

1.Cho hàm số y= f x( ) liên tục và lẻ trên đoạn [−a a; ] Khi đó ( ) 0

a

a

−

Ví dụ 17: Chứng minh

2

2 2

0

4 sin

xdx I

x

π

π

−

Giải: Đặt x = − ⇒ t dx = − dt Khi x=

2

π thì t = -

2

π , khi

2

x= −π thì

2

t =π

t

−

∫

−

2

2

2

sin 4

π

π

suy ra : 2I = 0 Ta đợc

2

2 2

0

4 sin

xdx I

x

π

π

−

2.Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn [−a a; ] Khi đó

0

a

I f x dx f x dx

−

Chứng minh : Ta có

0

0 ( ) ( ) ( )

Ta tính

0

( )

a

−

=∫ bằng cách đặt x = − t ( 0 ≤ ≤ t a ) ⇒ dx = − dt

−

Thay (2) vào (1) ta đợc

0 ( ) 2 ( )

a

−

Ví dụ 18: Tính tích phân:

2

2 2

cos

4 sin

x

π

π

−

+

=

−

∫

Ta có

4 sin 4 sin 4 sin

+

4 sin

x

f x

x

=

− là hàm số lẻ trên 2 2;

π π

2

2 2

0

4 sin

x dx x

π

π

−

=

−

∫

Trang 12

Tớch Phaõn

( )

4 sin

x

f x

x

=

− là hàm số chẵn trên 2 2;

π π

− 

 nên ta có

0

2 sin 2 0 2

x I

x

π

−

3.Cho hàm số y= f x( ) liên tục và chẵn trên đoạn[−α:α] Khi đó ∫ ∫

−

−

= +

α

α

α

dx x f dx

a

x f

2

1 1

) (

Chứng minh: Đặt t= -x ⇒ dt= - dx Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= t 1

t

a a

+

Khi x= - αthì t = α ; x =α thì t =- α

− +

= +

= +

α

α α

α α

dt t f a

a dt

a

t f a dx

a

x f

t t

t

1

1 1 1

) ( 1

) (

+

= + +

= α

α

α α

α α

I dx x f dt a

t f dt t

1

) ( )

(

−

−

= +

α

α

α

dx x f dx

a

x f

2

1 1

) (

Ví dụ 19 : Tính tích phân:

12x 1

x

−

=

+

Giải:Đặt t= -x ⇒ dt= - dx

Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1

1

1

` 1

4 4

1

1

4

1 2

2 1

2 1

t dx

x

−

= +

−

= 1

1

1

1

1

1 4

4 4

1

t dt

Suy ra

5

1 5

2

1 2

1

5 1

1

==

−

I

4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0;

2

π

  Khi đó

(sin ) (cos )

=

Đặt

2

t = − ⇒π x dx= −dt

Khi x = 0 thì

2

t = π , khi

2

x = π thì t = 0

Do đó

0

2

(sin ) (sin( ) (cos ) (cos )

2

π

π

Nhận xét : Bằng cách làm tơng tự ta có các công thức

*Nếu f(x) liên tục trên [ ] 0;1 thì (sin ) (sin )

2

π

=

Trang 13

Tích Phaân

*NÕu f(x) liªn tôc trªn [ ] 0;1 th×

(cos ) (cos )

=

∫ xf x dx ∫ f x dx

π

VÝ dô 20:Chøng minh: I=

2

0

sin

n

x dx

π

π

= +

I=

=

VËy I+J=

π

2

0

sin

n

x dx

π

π

= +

VÝ dô 21: TÝnh tÝch ph©n: 2

0

sin

1 cos

dx x

π

+

Gi¶i: §Æt x= −π t(0≤ ≤t π)⇒dx= −dt

0

0

sin sin

π

π

π

= −

1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

π π

2

π

2

Trang 14