Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học - Tích Phân

Tài Liệu Ôn Thi Đại Học

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2013 - 2014

TÍCH PHÂN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1

CHUYÊN ĐỀ:

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1: NGUYÊN HÀM

1 Khái niệm nguyên hàm

• Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:

1) Phương pháp đổi biến số

Nếu ∫ f u du( ) =F u( )+C và u=u x( ) có đạo hàm liên tục thì:

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2

Khi đó:∫ f x dx( ) = ∫ g t dt( ) , trong đó ∫ g t dt( ) dễ dàng tìm được

Chú ý: Sau khi tính ∫ g t dt( ) theo t, ta phải thay lại t = u(x)

• Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

HT 3: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3

5

sincos

dx x

2

tancos

∫ x

dx e

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

HT 5: Tính các nguyên hàm sau:

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất địn8)

+ Nếu ( sin , cos ) R− x x = −R(sin , cos )x x thì đặt t = cosx

+ Nếu (sin , cos ) R x − x = −R(sin , cos )x x thì đặt t = sinx

+ Nếu ( sin , cos ) R− x − x = −R(sin , cos )x x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

HT 8: Tính các nguyên hàm sau (dạng hữu tỷ):

11

+

−

∫ x

dx x

3−1

dx x

HT 9: Tính các nguyên hàm sau (dạng vô tỷ):

dx

x x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5

∫ x dx

1

−+

HT 10: Tính các nguyên hàm sau (dạng lượng giác):

1) ∫ sin 2 sin 5x xdx 2) ∫ cos sin 3x xdx 3) ∫ (tan2x+tan4x dx)

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6

BÀI 2: TÍCH PHÂN

1 Khái niệm tích phân

• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(2) – F(1) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ∫ ( )

• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong

giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: =∫b ( )

f u x u x dx f u du trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u)

liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ∫

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7

1

−

∫ x

dx x

4 1 2 2

2

−

∫ x x

dx x

143

1

∫ x x x x dx 4)

2 2 3

( 1)

ln

++

3)

2 1 0

42

−+

e dx e

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

HT 15: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):

1)

1

19 0

21

++

dx x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9

1

−

dx x

9)

1

5 2

12)

2

2 0

2 −

∫ x x x dx

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

−

2 2 0

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 10

4 2

+ ++

∫ x x

dx x

10)

2 1

1

++

5)

1 32 0

11

+ ++

∫ x x

dx x

6)

1 4

0 1 +

dx x

7)

2

4 1

1

−+

10)

2

2 0

11

−+

dx x

12)

2 0

21

−+

dx x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 11

dx x

++

2 1

dx x

tancos 1 cos

dx x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác

tancos 1 cos

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13

ln(sin )cos

π

π

dx x

3)

1

0

14+

∫ x dx e

4)

ln 8

ln 3∫ x e x+1

dx e

−+

∫ x x

e dx e

10)

2 1

12)

ln 3

0

11+

dx x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 14

VẤN ĐỀ 9: (ĐỌC THÊM) Một số tích phân đặc biệt

α

−

=+

1 2

1cos ln

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 15

sin1

−

++

dx x

2 0

0

2 sin sin 2

π

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 16

BÀI 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1 Diện tích hình phẳng

• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]

• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])

• Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b

S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ 2)

Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]

Thể tích của B là: =∫b ( )

a

• Thể tích của khối tròn xoay:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < 2)

sinh ra khi quay quanh trục Ox:

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 18

9) y= +x sin2x y; =π;x=0;x =π 10) sin2 sin 1, 0, 0,

2

π

HT 42: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1) ( ) :C y =x3−2x2+4x−3,y =0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2

2) ( ) :C y =x3−3x+2,x = −1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2

3) ( ) :C y =x2−2x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C)

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 19

+

+

dx x

7/3

3 0

1

++

∫ x

dx x

16)

2 3

++

dx x

dx x

dx x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 20

sinsin 2 cos

dx x

ln

∫

e

x dx x

2

2

ln(sin )sin

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 21

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 22

TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 – 2011

HT 52: (A,A1 – 2012)

3

2 1

:16

−

x

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 23

HT 67: (A – 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

HT 68: (B – 2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y=xln x y=0,x =e Tính thể tích khối tròn xoay tạo

thành khi H quay quanh Ox

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 24

x với các trục tọa độ 4

3

= − +