Rèn luyện phương trình lượng giác

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN I.. Biểu diễn nghiệm của phương trình hệ quả và điều kiện của phương trình ban đầu qua cùng một

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

I CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN:

1 Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban

đầu) qua cùng một hàm số lượng giác:

1.1 Kiến thức cơ sở:

Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau:

Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác

Lời giải:

Khi đó (1 sin os2 sin)

14

.26

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B)

Giải phương trình cot sin 1 tan tan 4

2

x

x c

⇔ cos sinx cos os2 sinx.sin2 4 cos sinx 4

.26

2sin 2 0

Lời giải: Điều kiện sin 2x>0

Khi đó phương trình đã cho trở thành

2

2

os 2 0 sin 2 1sin 2 os 2 1 0 os 2 os 2 0

tan α+kπ =tanα ∀α ; cot(α +kπ) =cotα ∀α

+ Các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.

2.2 Một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Giải phương trình cos3 tan 5x x=sin 7x

Lời giải: Điều kiện cos5x≠0

Khi đó phương trình đã cho trở thành

22sin 5 os3 2sin 7 os5 sin 8 sin12

20 10

k x

k x

Lời giải: Điều kiện sinx≠ ⇔0 cosx≠ ±1

Khi đó phương trình đã cho trở thành

Do đó phương trình tương đương với

cos 0

2

24

coscos 3sinx 2cos cos 3sinx 2cos 1

cos 3sinx 2cos 1 3sinx 2 cos 1 0

( )1 ⇔cosx=1 thoả mãn điều kiện, do đó ta đượcx k= 2 ,π k Z∈

Tiếp theo giả sử c xos = ⇔0 sinx= ±1, thay vào (2) ta được ± − =3 1 0(vô lí)

Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện.

2sinx cos 2sinx 1 0 *

Giả sử c xos = ⇔0 sinx= ±1, thay vào (*) ta được ± ± − =1 2 1( ) 0(vô lí)

Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện.

Giả sử 4 14 5 ( )3

π + π π= + π ⇔ − =

Ta thấy vế trái của (3) chẵn, vế phải của (3) lẻ nên không tồn tại k n Z, ∈ thoả mãn (3)

Từ đó suy ra điều kiên (2) luôn được thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=14π +kπ7 (k Z∈ )

4 cos 3 sin 3

2

3 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG)

3.1 Kiến thức cơ sở

+ Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG

2

x= +α k π được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG;

x= +α kπ được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua O;

23

k

x= +α π được biểu diễn trên ĐTLG bởi 3 điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh

một tam giác đều nội tiếp ĐTLG;

2

k x

n

πα

= + được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh

một đa giác đều nội tiếp ĐTLG.

+ Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm không thoả mãn điều kiện (đánh dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”) Những điểm đánh dấu “o” mà không trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoả mãn điều kiện

3.2 Một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D)

Giải phương trình

s in2x +2costanx + 3x−s inx 1− =0

3

k x

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác

(như hình bên) ta được nghiệm của phương trình là

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A)

Giải phương trình 2 cos( 6 sin6 ) sin cos

24

π

5 4

π

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác

ta được nghiệm của phương trình là

sin 2 2cos( 1) 0 sin 2 01

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác

Ta được nghiệm của phương trình là

2

x= +π kπ

.

Các bài tập tương tự

1/ s inx sin 2 sin 3 3

cos os2 os3

3

π

−

4 3

π

π

II Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế.

Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một vài vấn đề cần chú ý như sau

1/ Nếu một bài toán PTLG có thể kết hợp nghiệm với điều kiện theo cả ba phương pháp trên thì nên áp dụng theo phương pháp nào?

Với vấn đề này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy phương pháp 1 là ít thao tác hơn cả

Vi vi vậy nếu làm được theo phương pháp 1: “Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả)

và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác”là ngắn gọn hơn

cả

2/ Khi làm bài thi nếu áp dụng phương pháp 3: “Biểu diễn trên ĐTLG”, do yêu cầu thẩm mỹ và tính chính xác nên sẽ mất rất nhiều thời gian trình bày Vậy có được phép bỏ qua phần vẽ hình ở khâu kết hợp điều kiện không?

Với vấn đề này, có thể cho phép học sinh không trình bày hình vẽ vào trong bài làm nhưng yêu cầu học sinh phải phác hoạ ra nháp và thực hiện đúng các thao tác như đã nói trong phương pháp để có kết luận chính xác Đồng thời khi trình bày vào bài làm phải nói rõ

là kết hợp trên ĐTLG ta được nghiệm của phương trình là…

3/ Có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán PTLG có điều kiện không? Làm sao biết mỗi bài toán nên kết hợp nghiệm theo phương pháp nào?

Câu trả lời là không có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán.

Với những bài toán không áp dụng được theo phương pháp 1 thì ta tìm cách áp dụng phương pháp 2 và 3 Phương pháp 3 có thể coi là phổ biến hơn phương pháp 2 nhưng trong một số bài toán mà việc biểu diễn nghiệm và điều kiện cần quá nhiều điểm hoặc các điểm biểu diễn trên ĐTLG quá gần nhau…thì phương pháp 3 gặp khó khăn và gần như không thể thực hiện được trong giới hạn về thời gian cũng như năng lực của học sinh Khi đó phương pháp 2 lại phù hợp hơn ( ví dụ 1, ví dụ 5 của phương pháp 2 minh hoạ cho điều này).

III Hướng phát triển chuyên đề:

Do thời gian có hạn nên chuyên đề chỉ đề cập những phương pháp cơ bản về kết hợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện Chuyên đề có thể nghiên cứu để mở rộng với các bài toán giải hệ phương trình lượng giác hoặc hệ lượng giác hỗn hợp, cũng như các phương trình kết hợp giữa hàm số lượng giác và các hàm số mũ, lôga rít và hàm số dưới dấu căn…

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 - 2011

Bài 1: [ĐH A02] Tìm x∈(0;2π) :5 sin x cos3x sin 3x cos 2x 3

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = −

Bài 3: [ĐH D02] Tìm x∈[0;14] : cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0− + − =

Bài 4: [Dự bị 1 ĐH02] Xác định m để phương trình sau cĩ ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;

2 sin x cos x+ +cos 4x sin 2x m 0+ − =

Bài 5: [Dự bị 2 ĐH02] sin x cos x4 4 1cot 2x 1

cos x

−+ =

a) Giải phương trình với a=1

3 b) Tìm a để phương trình trên cĩ nghiệm.

Bài 9: [Dự bị 6 ĐH02] 12 sin x

8cos x =

Bài 10: [ĐH A03] cos 2x 2 1

cot x 1 sin x sin 2x

Bài 13: [Dự bị 1 ĐH A03] 3 tan x tan x 2sin x− ( + ) +6 cos x 0=

Bài 14: [Dự bị 2 ĐH A03] cos 2x cos x 2 tan x 1+ ( 2 − =) 2

Bài 15: [Dự bị 1 ĐH B03] 3cos 4x 8cos x 2 cos x 3 0− 6 + 2 + =

Bài 16: [Dự bị 2 ĐH B03] ( ) 2 x

2 3 cos x 2sin

2 4

12cos x 1

Bài 20: [ĐH D04] (2 cos x 1 2sin x cos x− ) ( + ) =sin 2x sin x−

Bài 21: [Dự bị 1 ĐH A04] sin x sin 2x+ = 3 cos x cox2x( + )

Bài 22: [Dự bị 2 ĐH A04] 1 sin x− + 1 cos x 1− =

Bài 25: [Dự bị 1 ĐH D04] sin 4x sin 7x cos3x cos 6x=

Bài 26: [Dự bị 2 ĐH D04] sin 2x 2 2 sin x cos x− ( + )− =5 0

Bài 27: [ĐH A05] cos 3x cos 2x cos x2 − 2 =0

Bài 28: [ĐH B05] 1 sin cos x sin 2x cos 2x 0+ + + + =

Bài 35: [Dự bị 2 ĐH D05] sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 0+ + − − =

Bài 36: [ĐH A06] 2 cos x sin x( 6 6 ) sin x cos x

Bài 45: [ĐH A07] ( 2 ) ( 2 )

1 sin x cos x+ + +1 cos x sin x 1 sin 2x= +

Bài 46: [ĐH B07] 2sin 2x sin 7x 1 sin x2 + − =

Bài 49: [Dự bị 2 ĐH A07] 2 cos2 x+2 3 sin cosx x+ =1 3(sinx+ 3 cos )x

Bài 50: [Dự bị 1 ĐH B07] sin 5 cos 2 cos3

sin x− 3 cos x sin x cos x= − 3 sin x cos x

Bài 56: [ĐH D08] 2sin x 1 cos 2x( + ) +sin 2x 1 2cos x= +

Bài 57: [CĐ 08] sin 3x− 3 cos3x=2sin 2x

Bài 58: [Dự bị 1 ĐH A08] tanx=cotx+4cos 22 x

Bài 59: [Dự bị 2 ĐH A08] sin 2 sin 2

Bài 62: [Dự bị 1 ĐH D08] 4 sin( 4x+cos4x) +cos 4x+sin 2x=0

Bài 63: [Dự bị 2 ĐH D08] tan2 2 tan 2sin

x x

Bài 65: [ĐH B09] sin x cos x sin 2x+ + 3 cos 3x =2 cos 4x sin x( + 3 )

Bài 66: [ĐH D09] 3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0− − =

Bài 67: [CĐ 09] 2

(1 2sin x) cos x 1 sin x cos x+ = + +

Bài 68: [ĐH A10] (1 sinx os2 sin)

Bài 69: [ĐH B10] (sin2x+cos2 cosx) x+2 cos 2x−sinx 0=

Bài 70: [ĐH D10] sin 2x c− os2x+3sinx−cosx− =1 0

+

Bài 72: [DB A11] 9sinx+6cosx−3sin 2x+cos 2x=8

Bài 73: [ĐH B11] sin 2 cosx x+sin x cosx c= os2x+sinx cos+ x

Bài 74: [ĐH D11] sin 2 2cos sinx 1 0

-HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = −

1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12

k x

k k x

ππ

D.2002 Tìm x∈[0;14] : cos 3x 4 cos 2x 3cos x 4 0− + − = (1)

Ta có : cos 3x=4cos3x−3cosx

(1)⇔cos3x+3cosx−4(1 cos 2 ) 0+ x =

Bài toán thành : Xác định m để phương trình sau có ít

nhất 1 nghiệm thuộc đoạn [ ]0;1

[ ]0;11

3 13

10

23

m m

Điều kiện : sin 2x≠0

(1) 1 2sin2 cos2 1cos 2 1

cos 2 5cos 2 0

14

cos x

−

Điều kiện : cosx≠0

(1)⇔sin4 x+cos4 x= −(2 sin 2 )sin 32 x x

sin 3 sin

6

13

x

'

y y

−

00

13

−

+

k x

x x

Ta có : 1 tan tan 1 sin sin2 cos cos2 sin sin2

x x

coscos cos

2

x x

a) Giải phương trình với a=13

b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm.

2

1sin 1 8sin cos

x= +π m π

3

28

x= π +m π ;m∈

¢5

28

x= π +m π

7

28

cos sin cos (cos sin )

sin (sin cos )

x= +π k kπ ∈¢

11

B2003

2cot x tan x 4sin 2x

2cos 2 4sin 2 2 2 cos 2 4 1 cos 2 2

1 sin sin 1 cos cos

1 sin 1 cos 1 cos 1 sin

3 tan x tan x 2sin x− ( + )+6cos x 0= Điều kiện : cosx≠0

sin sin 2sin cos

2

1cos

32

32

2 cos 5cos 2 0

2

x x

k

x k

π ππ

x= π +k π k∈

¢

Nguyễn Trung Tiến WWW.ToanCapBa.Net

1 sin (1 sin )(cos 1) 2(sin cos ) 0

1 sin cos 1 sin cos sin 2sin 2 cos 0

1 sin sin 1 sin cos cos 0

1 sin (1 sin ) cos (1 sin ) 0

Điều kiện : sin 2x≠ ⇔0 cos 2x≠ ±1

(1) cot tan 2 cos 4

(2 cos 1)(2sin cos ) sin (2 cos 1)

2 cos 1 sin cos 0

1

cos coscos

sin x sin 2x+ = 3 cos x cox2x( + )

sin sin 2 3 cos 3 cos 2sin 3 cos 3 cos 2 sin 2

k k x

7

26

k x

k k

ππ

2sin 2

x x

x x x

πππ

1 tan 3 tan 3 tan 3(1 tan ) tan (1 tan ) 0

cos (1 cos ) sin 2sin (1 cos )cos cos sin 2sin (1 cos )

2sin cos 1 2sin 3sin cos 2 02sin (2cos 3) sin cos 1 0 (1)

Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến sin x

Ta có : ∆ =(2cosx+3)2−8(cosx+ =1) (2cosx+1)2

Nghiệm của (1) :

2cos 3 2cos 1

42cos 3 2cos 1 1sin

x= π +k π k∈¢

B2006

xcot x sin x 1 tan x tan 4

x x

41sin 3 3sin 4sin sin 3sin sin 3

2

3 2cos 3cos3 cos 3sin 3 sin sin 3 1

2

3 2

1 3 cos3 cos sin 3 sin 1

22

( )

2

2 sin 2 cos cos 2 sin 4sin 1 0

3 sin 2 cos 2 4sin 1 0

2 3 sin cos 4sin 2sin 02sin 3 cos sin 2 0sin 0

x

ππ

(2sin x 1 tan 2x 3 2 cos x 12 − ) 2 + ( 2 − =) 0 (1)

điều kiện : cos 2x≠0

ππ

4sin cos 0

2cos 1

k

x k

ππ

sin cos 0(sin cos )(1 sin )(1 cos ) 0 1 sin 0

k

k x

+ − − = (1) điều kiện :sin 2x≠0

(1) ⇔sin 22 x+sin 2 sinx x−cosx− =1 2 cos 2x

cos 2 0cos 2 (2cos cos 1) 0

2 cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )

2cos 1 3 sin 2 2 3(sin 3 cos )cos 2 3 sin 2 2 3(sin 3 cos )

x= π +k kπ ∈

¢

k x

x + x = − (1) điều kiện :sin 2x≠0

(1) cos 2 cos sin 2 sin sin cos

sin cos sin coscos cos 2 0

DB1

D2007

(1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan− x + x = + x (1) điều kiện : cosx≠0

cos sin 0(cos sin )(cos 2 1) 0

x k x

2 2 2 2

sin (cos sin ) 3 cos (cos sin ) 0cos 2 (sin 3 cos ) 0

cos 2 0cos 2 0

1

2sin 2 1 sin 2 1

k k x

k k x

23sin cos 2 sin 2 2sin sin 2cos 2 sin 0 2sin sin 1 0sin 1

2 ;6

726

2cos tan tan sin cos

sin sin cos

cos

sin cos 2sin 1 0

526

2

x x

42 7

k k x

k k x

(1 4sin 4sin ) cos 1 sin coscos 2sin 2 4sin cos 1 sin cos 0

1sin 2 sin

;12

512