Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu lý thuyết về kiến thức lượng giác khối 10, giải các phương trình lượng giác cơ bản khối 11, các công thức lượng giác

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠN G TRÌN H LƯỢN G GIÁC

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình lượng giác là một nội dung rất quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11 và có trong các đề thi THPT Quốc gia hằng năm

Quá trình giải một phương trình lượng giác thường gồm các bước: biến đổi phương trình về dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình cơ bản và so sánh với điều kiện xác định (nếu có) rồi kết luận nghiệm của phương trình

Việc biến đổi phương trình lượng giác đòi hỏi học sinh không những nắm vững công thức lượng giác mà còn biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo các công thức đó Tuy nhiên, vì các công thức lượng giác được học ở lớp 10 nên phần nhiều học sinh lớp 11 thấy khó khăn khi tự củng cố các kiến thức về công thức lượng giác Do đó, hoạt động củng cố về công thức lượng giác cho học sinh là rất cần thiết

Khi biến đổi phương trình lượng giác, một số học sinh dù đã rất thuộc các công thức lượng giác nhưng vẫn lúng túng trong việc lựa chọn công thức lượng giác

để áp dụng hoặc lúng túng không biết cách áp dụng công thức sao cho hợp lý, hiệu quả Những khó khăn này là do học sinh chưa vận dụng linh hoạt, thuần thục các công thức lượng giác Còn đối với các phương trình lượng giác chứa ẩn

ở mẫu thức, sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, nhiều học sinh thấy khó khăn trong việc so sánh nghiệm của phương trình cơ bản này với điều kiện xác định của phương trình

Học sinh Trung tâm GDTX càng gặp nhiều khó khăn trong các bước giải phương trình lượng giác Vì thế, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác” để góp một số kinh nghiệm cho việc dạy và học về phương

trình lượng giác trong chương trình Toán lớp 11 hiệu quả hơn

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

+ Xây dựng hệ thống và phân loại các bài tập về giải phương trình lượng giác

từ dể đến khó phù hợp với đối tượng học sinh, giúy học sinh lớp 11 hiểu và nắm vững và có kỹ năng giải phương trình lượng giác

+ Hình thành phương pháp và các bước giải, kỹ năng giải các dạng bài tập đó + Rèn cho học sinh kỹ năng huy động, vận dụng kiến thức đã học để giải toán + Đưa ra hệ thống bài tập nhằm cũng cố cho học sinh kỹ năng vận dụng khi gặp dạng toán giải phương trình lượng giác

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

+ Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu và áp dụng thực nghiệm là học sinh lớp 11 GDTX Thọ Xuân năm học 2015-2016

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu lý thuyết về kiến thức lượng giác khối 10, giải các phương trình lượng giác cơ bản khối 11, các công thức lượng giác cơ bản, kỹ năng biến đổi lượng giác, kỹ năng giải phương trình lượng giác Nghiên cứu phương pháp giảng dạy toán, đặc biệt là phương pháp giảng dạy bài tập toán

+ Phương pháp quan sát sư phạm: thông qua thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp, dự giờ đúc rút kinh nghiệm, tiếp thu sự phản hồi từ học sinh

+ Phương pháp thực nghiệm: thực hiện kiểm tra đánh giá ở các lớp 11A1, 11A2 sau quá trình học tập

B NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

+ Bài tập toán có tác dụng bổ sung, hoàn thiện, nâng cao kiến thức phần lý thuyết còn thiếu do thời lượng phân phối chương trình quy định

+ Bài tập toán giúy học sinh hiểu sâu hơn lý thuyết, cũng cố rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán, kỹ năng vận dụng lý thuyết vào thực tiễn …

+ Bài tập toán còn giúy cho học sinh phát triển tư duy tích cực, tạo tiền đề nâng cao năng lực tự học, cũng cố khả năng sử dụng ngôn ngữ, cách trình bày lời giải, khả năng khám phá và tự khám phá, hình thành phương pháp làm việc khoa học, hiệu quả

+ Thông qua bài tập toán giáo viên giảng dạy có một kênh thông tin thu thập, đánh giá chính xác năng lực học tập của học sinh

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN

+ Trước khi áp dụng sáng kinh nghiệm này, để giải được một phương trình lượng giác, nhiều học sinh không biết phải bắt đầu từ đâu, bất đầu như thế nào Học sinh cần phải trang bị những kiến thức cơ bản nào, kỹ năng cơ bản gì để cơ thể tiếp cận và giải được các phương trình lượng giác

+ Khi gặp phương trình lượng giác học sinh thường có tâm lý sơ khó nên không chịu suy nghĩ để giải quyết

+ Một số giáo viên trẻ khi giảng dạy chưa nắm chắc mối quan hệ của kiến thức lớp dưới và lớp trên nên việc chuẩn bị kiến thức nền, kiến thức cơ bản, kiến thức trọng tâm và các kỹ năng tối thiểu cần đạt để học sinh có thể tiếp cận kiến thức lớp sau bị hổng, bị thiếu

III CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN

Để giải được một phương trình lượng giác, học sinh cần nắm vững công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản và biết cách biến đổi phương trình

về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất,

bậc hai đối với một hàm số lượng giác; dạng bậc nhất đối với sin x và cos x ; dạng thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

Các phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác được biến đổi

về dạng cơ bản mà không cần áp dụng công thức lượng giác Còn hầu hết các phương trình lượng giác khác đòi hỏi học sinh phải áp dụng một hoặc nhiều công thức lượng giác để biến đổi phương trình về dạng cơ bản, hoặc dạng tích, dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác Chẳng hạn, học sinh áp

dụng công thức cộng để biến đổi phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

về dạng cơ bản; áp dụng công thức hạ bậc để biến đổi phương trình thuần nhất

bậc hai đối với sin x và cos x về dạng bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x Vì vậy,

việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác chủ yếu là rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải Ngoài ra, nếu phương trình

lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức thì sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, phải so sánh nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản này với điều kiện xác định để kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

Học sinh cần một hệ thống bài tập vừa củng cố kiến thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có)

Nội dung đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác” nêu một số kinh nghiệm tích lũy trong quá trình dạy học phương trình lượng giác như sau:

1 Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu các ví

dụ về cách vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác

2 Hệ thống bài tập rèn kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua

đó rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về các dạng đã biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có)

1 Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu các

ví dụ về cách vận dụng linh hoạt công thức lượng giác khi biến đổi phương trình lượng giác

Các công thức lượng giác :

- Công thức cơ bản

- Công thức cộng

- Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc

- Công thức biến đổi tổng thành tích

- Công thức biến đổi tích thành tổng

Mỗi công thức lượng giác có dạng A B= Khi vận dụng công thức dạng này vào biến đổi phương trình lượng giác, nếu có A thì đa số học sinh thường nhận biết ngay việc thay A bằng B, nhưng ngược lại, nếu có B thì không ít học sinh thấy khó nhận ra việc thay B bằng A

Hoạt động 1 và ví dụ 1 sau đây giúp cho học sinh củng cố và vận dụng công thức lượng giác theo hai chiều A B= và B A= Lưu ý rằng vì có khá nhiều công thức lượng giác nên có thể hướng dẫn cho học sinh tự thực hiện hoạt động

1 ở nhà rồi kiểm tra các công thức học sinh đã viết được trên lớp

Hoạt động 1 Viết mỗi công thức lượng giác theo chiều ngược lại là từ vế phải sang bằng vế trái, chẳng hạn, viết lại công thức cộng

sin a b+ =sin cosa b+cos sina b theo chiều ngược lại là :

sin cosa b+cos sina b=sin a b+

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

6

b) sin cos4x x+cos sin 4x x =sin 2x (1b)

Hướng dẫn :

Áp dụng công thức cộng : sin(a b+ =) sin cosa b+cos sina b (*)

- Đối với phương trình (1a), áp dụng công thức (*) ta có:

sin sin cos cos sin

- Đối với phương trình (1b), áp dụng công thức (*) theo chiều ngược lại là :

sin cosa b+cos sina b=sin a b+ , ta có:

sin cos4x x+cos sin 4x x=sin x+4x

Lời giải ví dụ 1:

6

2 sin cos cos sin 3 sin 1

cosx 1

b) sin cos4x x+cos sin 4x x =sin 2x

sin x 4x sin 2x

⇔ + = ⇔sin 5x=sin 2x

,

x x k

k

π



2

2

x k

k

π

 =



 = +



Z

Một công thức lượng giác có thể áp dụng cho nhiều góc khác nhau Đa số học sinh trung bình, yếu không nhận ra được công thức lượng giác cần áp dụng hoặc không biết áp dụng công thức sao cho hợp lý khi biến đổi phương trình lượng giác là vì chưa từng viết lại công thức lượng giác bằng cách thay góc trong công thức bởi một góc khác Nếu cho học sinh viết lại mỗi công thức lượng giác dưới nhiều hình thức khác nhau ứng với các góc khác nhau thì các em sẽ không thấy khó khăn khi vận dụng các công thức này vào biến đổi phương trình lượng giác Hoạt động 2 và ví dụ 2 sau đây giúp cho học sinh nhận biết công thức lượng giác cần áp dụng và áp dụng một công thức lượng giác cho các góc khác nhau Hoạt động 2 Viết lại các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc khi thay góc x trong các công thức bởi một góc khác như 2x,

2

x

,

, …, chẳng hạn, thay

góc x trong công thức nhân đôi sin 2x=2sin cosx x bởi góc

2

x

ta được

sin 2sin cos

Ví dụ 2 Giải phương trình

x x

Hướng dẫn:

Áp dụng các công thức nhân đôi biến đổi phương trình về dạng cơ bản.

- Thay góc x trong công thức sin 2 x =2sin cosx x bởi góc

2

x

, ta được:

sin 2sin cos

x x

x=

- Thay góc x trong công thức cos 2x =cos2x−sin2x bởi góc

4 x

π

 , ta được :

Lời giải ví dụ 2

x x

2

x π x

sinx sin 2x

x x k

π

= +



2

2

x k

π

=





⇔

 = +



, k∈Z 2 ,

x π k π k

2 Hệ thống bài tập rèn kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua đó rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có).

Các bài tập sau đây giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về mỗi công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; dạng bậc

nhất đối với sin x và cos x ; dạng thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

Lưu ý các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức: biến đổi phương trình về dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình dạng cơ bản rồi so sánh với điều kiện xác định của phương trình, từ đó kết luận nghiệm của phương trình

i) Các bài tập áp dụng công thức cơ bản

Bài 1 Giải các phương trình :

a) cos3x+sin cos2 x x=1 (1a)

b) 2sin2x+sin cosx x+3cos2x=2 (1b)

Hướng dẫn:

Dùng công thức cos2x+sin2x=1, biến đổi phương trình (1a) về dạng cơ bản, phương trình (1b) về dạng tích

Lời giải:

a) cos3x+sin cos2 x x=1

( 2 2 )

cosx 1

b) 2sin2x+sin cosx x+3cos2x=2

cos sinx x cosx 0

cos 0

sin cos 0

x

=



⇔  + = ⇔ costanx x= −=01,cosx≠0 2 ,

4

k

 = +



 = − +



¢

Bài 2 Giải các phương trình : 12 tan 3

cos x + x=

Hướng dẫn:

Dùng công thức 12 tan2 1

cos x = x+ , với cosx≠0, biến đổi phương trình về dạng

bậc hai đối với tan x

Lời giải:

2

1

tan 3

cos x + x=

(tan2x 1) tanx 3

2

tan x tanx 2 0

tan 1

x

x

=



( )

4 arctan 2

π

 = +



⇔ 



, k∈Z

Nhận xét:

Nếu thay 12

cos x bằng

2 tan x+1 thì được phương trình tương đương vì không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình

Bài 3 Giải phương trình : 21 sin 0

cot x 1+ x=

+

Hướng dẫn:

Tìm điều kiện xác định, dùng công thức cot2 1 12

sin

x

x

+ = , với sinx ≠0, biến

đổi phương trình về dạng bậc hai đối với sin x , so sánh nghiệm với điều kiện

xác định của phương trình

Lời giải:

Điều kiện xác định: sinx≠0

Với điều kiện trên, ta có :

(1) ⇔sin2 x+sinx=0

⇔ sinx=0 (loại) hoặc sinx = −1

2 , 2

x π k π k

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2 ,

2

ii) Các bài tập áp dụng công thức cộng

Bài 4 Giải phương trình : 3 sin cos

Hướng dẫn:

Dùng các công thức sin(a b+ =) sin cosa b+cos sina b và

cos a b− =cos cosa b+sin sina b biến đổi phương trình về dạng cơ bản

Lời giải:

(4) 3 3sin 1cos 3cos 1sin

sinx 0

Bài 5 Giải phương trình: sin3 cosx x−cos3 sinx x= 3 cos2x+1 (5)

Hướng dẫn:

Dùng công thức sin cosa b−cos sina b=sin(a b− ) , biến đổi về dạng bậc nhất

đối với sin 2x và cos 2x

Lời giải:

(5) ⇔ sin 2x− 3 cos2x=1 sin 2 1

x π

⇔

5

k

 − = +



∈





7 12

k

 = +





Z

Bài 6 Giải phương trình: cos3 cos2x x−sin 3 sin 2x x=sin 5x+ 2 cosx

Hướng dẫn:

Dùng công thức: cos cosa b−sin sina b=cos(a b+ ), biến đổi phương trình về dạng cơ bản

Lời giải:

cos3 cos2x x−sin 3 sin 2x x =sin 5x+ 2 cosx

cos5x sin 5x 2 cosx

4

4

x π x k π k

16 2

 = − +



⇔ 

 = − +



, k∈Z

Chú ý:

Công thức Điều kiện xác định của

vế trái

Điều kiện xác định của

vế phải

tan

1 tan tan

a b

a b

+ + =

cos cos 0

a b

a b

≠





tan

1 tan tan

a b

a b

−

− =

cos cos 0

a b

a b

≠





Khi áp dụng công thức cộng, chỉ được thay tan a b( + ) bởi tan tan

1 tan tan

a b

+

thay tan a b( − ) bởi tan tan

1 tan tan

a b

− + với điều kiện tan a và tan b cùng tồn tại, tức

là: cos cosa b≠0 2

2

 ≠ +



⇔ 

 ≠ +



, k∈Z,l∈Z0

Bài 7 Giải phương trình: tan 5tan 2 1

4 1 tan

x x

x

Hướng dẫn:

Tìm điều kiện xác định của phương trình dùng công thức

tan

1 tan tan

a b

a b

+ + =

− biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với tan x

Lời giải:

Điều kiện xác định : cos 4 cos 0

x

π





Với điều kiện trên, ta có : (7) tan 1 5tan 2 1

1 tan 1 tan

tanx 1 5tanx 1

2

tan x 3tanx 2 0

⇔ − + = ⇔tanx=1 (loại) hoặc tanx=2

arctan 2 ,

Vậy nghiệm của (7) làx=arctan 2+kπ ,k∈Z

Bài 8 Giải phương trình:

6

x

π π

(8)

Hướng dẫn:

Tìm điều kiện xác định của phương trình, dùng các công thức

tan tan

tan

1 tan tan

a b

a b

1 tan tan

a b

a b

về dạng cơ bản

Lời giải:

Điều kiện xác định : ( )

cos 0

6

x

≠







Với điều kiện trên, ta có :

, 2

x π kπ k

Vậy phương trình (8) vô nghiệm

iii) Các bài tập áp dụng công thức nhân đôi, hạ bậc

Bài 9 Giải phương trình: 2sin cos cos 2cos2 1

x x x = π − x−

  (9)

Hướng dẫn:

Áp dụng các công thức nhân đôi 2sin cosa a=sin 2a

và 2cos2a− =1 cos 2a, biến đổi phương trình về dạng cơ bản

Lời giải:

(9) sin cos cos

x x

x

π

1

sin sin

sinx 0

Bài 10 Giải phương trình:

2

tan 2

1 tan 1 tan

x

+

Hướng dẫn:

Tìm điều kiện xác định, áp dụng công thức nhân đôi: tan 2 2 tan2

1 tan

x x

x

=

− biến đổi

phương trình về dạng bậc hai đối với tan x

Lời giải:

Điều kiện xác định : cos 0

x x

≠





Với điều kiện trên, ta có :

(10)

2

1 tan 1 tan 1 tan

+

( 2 ) ( 2 ) 2

2

tan x 4 tanx 3 0

tanx 1

⇔ = (loại) hoặc tanx=3 (thỏa điều kiện)

arctan 3 ,

Vậy nghiệm của phương trình (10) là x =arctan 3+kπ , k∈Z.

Bài 11 Giải phương trình: cos2 6sin2 1 0

2

x

x+ − =

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức hạ bậc 2 1 cos 2

sin

2

a

a= − biến đổi phương trình về dạng bậc

hai đối với cos x

Lời giải:

2

x

x+ − =

2

x

2

cos x 3cosx 2 0

cos 1

cos 2

x

x

=



2 ,

x k π k

iv) Các bài tập áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Bài 12 Giải phương trình: sin sin 3 sin 2

3

x+ x−π = x

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức sin sin 2sin cos

a b a b

a+ b= + − đưa phương trình về dạng

cơ bản

Lời giải:

3

x + x−π = x

2sin cos 3 sin 2

6

6

k

 − = +



 − = − +



Z

2

k

 = − −





Z