Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác

Cách thức xây dựng hệ thống bài tập phương trình lượng giác ..... CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2.1.. Môn toán là môn học có thể giúp học sinh rèn luyện và

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Các kí hiệu sử dụng trong luận văn 3

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số công thức lượng giác 6

1.1.1 Các hệ thức cơ bản 6

1.1.2 Công thức cộng 6

1.1.3 Công thức nhân đôi 6

1.1.4 Công thức nhân ba 7

1.1.5 Công thức hạ bậc 7

1.1.6 Công thức biến đổi tích thành tổng 7

1.1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích 7

1.2 Các hàm số lượng giác 7

1.2.1 Hàm số tuần hoàn 7

1.2.2 Hàm số y = sinx và y = cosx 8

1.2.3 Hàm số y = tanx và y = cotx 9

1.3 Cách thức xây dựng hệ thống bài tập phương trình lượng giác 10

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2.1 Phương trình lượng giác cơ bản 12

2.2 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 24

2.3 Phương trình bậc nhất đối với sin(x) và cos(x) 29

2.4 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 36

2.5 Phương trình bậc hai đối với hàm sin(x) và cos(x) 43

2.6 Phương trình lượng giác đối xứng 53

2.7 Một số dạng phương trình lượng giác khác 64

2.8 Bài tập tổng hợp 81

2.9 Bài tập trắc nghiệm 96

Kết luận khóa luận 105

Tài liệu tham khảo 106

CÁC KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Toán học là một ngành khoa học cơ bản đặt nền tảng cho các ngành khoa học khác Môn toán là môn học có thể giúp học sinh rèn luyện và phát triển những năng lực

tư duy cơ bản nhất của con người như suy nghĩ, lập luận, logic…

Trong giải tích toán học, chủ đề về phương trình lượng giác là một chủ đề chứa đựng nhiều kiến thức mang tính trừu tượng như: các khái niệm về lượng giác (đường tròn lượng giác, các hàm số lượng giác, phương trình lượng giác…), các phương pháp giải phương trình lượng giác…, đòi hỏi học sinh cần rèn luyện năng lực tư duy, đặc biệt là tư duy logic và tư duy trừu tượng cùng với các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa…

Phương trình lượng giác nằm trong chương trình Giải tích – 11 tiếp nối chương trình Lượng giác ở Học kỳ 2 lớp 10, chiếm một tỉ trọng ít trong chương trình toán 11 nhưng có khối lượng kiến thức khá lớn cùng với nhiều công thức và các dạng bài tập khác nhau Do đó, việc nắm vững lý thuyết và vận dụng làm bài tập đối với học sinh thực sự rất khó khăn Học sinh thường gặp không ít lung túng, sai sót khi giải bài tập Điều này không chỉ do tính phức tạp, đa dạng, phong phú của công việc này mà còn do chính nhược điểm mắc phải khi các giáo viên soạn thảo hệ thống bài tập, phân dạng và hướng dẫn học sinh giải bài tập

Dựa vào cơ sở những lý do trên cùng với sự đổi mới giáo dục trong những năm gần đây, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác”

II Mục đích nghiên cứu

Xây dựng hệ thống bài tập phương trình lượng giác nhầm giúp học sinh THPT rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác

III Đối tượng và khách thể nghiên cứu

a Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu cách xây dựng bài tập phương trình lượng giác nhầm giúp học sinh THPT rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác

b Khách thể nghiên cứu

Hệ thống bài tập phương trình lượng giác

IV Giả thuyết nghiên cứu

Nếu xây dựng được một hệ thống bài tập phương trình lượng giác có tính chất phân hóa khi dạy học ở lớp 11 trường THPT thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học và phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo trong việc giải bài tập phương trình

lượng giác cho từng học sinh

V Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về vấn đề xây dựng hệ thống bài tập phương trình lượng giác nhầmgiúp học sinh THPT rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác trong chương trình môn Toán THPT lớp 11

VI Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài

VII Phạm vi nghiên cứu

Từ tháng 12/2016 đến tháng 05/2017

VIII Đóng góp của luận văn

- Về mặt lý luận: Khóa luận tổng hợp các kiến thức về chủ đề “Phương trình lượng giác”

- Về mặt thực tiễn: Khóa luận là đề tài tham khảo cho giáo viên và học sinh trong giảng dạy và học tập về chủ đề “Phương trình lượng giác”

PHẦN NỘI DUNG: gồm 2 chương

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số công thức lượng giác

Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày công thức mà không chứng minh Các

chứng minh xem trong [1]

Với điều kiện biểu thức thức có nghĩa, ta có

1.1.3 Công thức nhân đôi

tan tantan( )

1 tan tantan tantan( )

sin 2 2sin cos

2 tantan2

1.1.4 Công thức nhân ba

3 3

sin 3 3sin 4sincos 3 4cos 3cos

1.1.6 Công thức biến đổi tích thành tổng

1.1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích

1.2 Các hàm số lượng giác

1.2.1 Hàm số tuần hoàn

Định nghĩa: Hàm số f x( ) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số

dương T sao cho với mọi xD ta có

21sin cos sin ( ) sin ( )

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 

 Đồng biến trên mỗi khoảng

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 

 Đồng biến trên mỗi khoảng

    k 2 ; 2  k   , k 

 Nghịch biến trên mỗi khoảng

 k 2 ;    k 2   , k 

 Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng

Hình 1.1 Đồ thị hàm số ysin x

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

 Đồng biến trên mỗi khoảng

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

 Nghịch biến trên mỗi khoảng

 k   ;  k   , k 

 Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng

,

xk k làm một đường tiệm cận

Hình 1.3 Đồ thị hàm số y tan x

Hình 1.4 Đồ thị hàm số y cot x

1.3 Cách thức xây dựng hệ thống bài tập phương trình lương giác

- Mục đích: Xây dựng hệ thống bài tập khoa học, lấy rèn luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác cho HS làm trọng tâm

- Kiến thức: Hệ thống kiến thức về Lượng Giác và Phương Trình Lượng Giác trong chương trình Đại số 10 và 11

- Phương hướng:

 Xây dựng hệ thống bài tập tự luận và trắc nghiệm

 Hệ thống bài tập tự luận được xây dựng theo sơ đồ:

Ví dụ mở đầu  Ví dụ tổng quát  Ví dụ minh họa  Ví dụ nâng cao 

Bài tập tự rèn luyện  Bài tập tổng hợp

+ Ví dụ mở đầu có mục đích hình thành hướng tiếp cận giúp HS xây dựng cách giải tổng quát cho từng dạng phương trình lượng giác

+ Ví dụ minh họa với bài tập có mức độ tăng dần (6 thang nhận thức của Bloom) để giúp HS củng cố, rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải PTLG

+ Ví dụ nâng cao giúp HS nâng cao khả năng phân tích, tổng hợp và tư duy

+ Bài tập tự rèn luyện giúp HS rèn luyện kỹ năng giải PT và tinh thần tự học + Bài tập tổng hợp giúp HS phân biệt được các dạng của PTLG

 Trong các ví dụ bao gồm 2 phần: quá trình định lướng tìm lời giải và lời giải

chi tiết Trong đó, quá trình định hướng tìm lời giải bao gồm:

+ Phân tích đặc điểm của PT, các câu hỏi gợi ý, để dẫn dắt HS đi đến cách giải PT một cách tự nhiên nhất Những câu hỏi hay gợi ý được đặt ra sẽ là những vấn đề cho HS giải quyết và từ đó đi đến cách giải

+ Đề xuất cách giải: Dựa vào những phân tích đưa ra, đề xuất một cách giải hợp lý + Các lưu ý khi giải phương trình

 Đề xuất cách giải phương trình dựa trên sơ đồ tư duy: Giúp học sinh dễ dàng hệ thống kiến thức và hệ thống phương pháp giải

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP

 Định hướng tìm lời giải

- Ở câu a,b: PT có dạng PTLGCB, ta áp dụng công thức để giải

- Ở câu c:  ? PT có dạng nào?

 PTLGCB (hàm sin có góc là một biểu thức theo x) (giải tương tự a)

- Ở câu d:  ? Nhận xét hệ số đứng trước sinx và cosx?

1cos

Nhận xét: Trong VD trên, câu a và b ta đã sử dụng thao tác phân tích đơn giản để đề

xuất hướng giải Tương tự câu c,d là sự phân tích và tổng hợp các kiến thức đã có từ câu a,b để đề xuất hướng giải

Ví dụ 2.1.2.2: Giải các phương trình sau:

5

 Định hướng tìm lời giải

- Ở câu a: PT có dạng cosucosv

 Vận dụng công thức đã học để giải

- Ở câu b: VT chứa hàm cos và VP chứa hàm sin

 Biến đổi sin thành cos để đưa PT về dạng tương tự câu a

- Ở câu c và câu d, giải tương tự câu a và b

 Định hướng tìm lời giải

- Ở câu a: PT có dạng cosu cosv

 Biến đổi PT đưa về dạng cosucosv

- Ở câu b: cả hai vế của PT đều là các hàm lượng giác bậc 2

 Vận dụng công thức hạ bậc để đưa PT về dạng cosucosv (cùng góc)

- Ở câu c: PT có hàm cos bậc 2 và bậc 1

 Tương tự câu b

Nhận xét: Bằng cách phân tích đặc điểm PT và tổng hợp các kiến thức liên quan (công

thức hạ bậc) để quy về các phương trình quen thuộc Từ đó ta tìm được hướng giải VD trên

2.1.3 Bài tập ứng dụng tìm điều kiện xác định của phương trình

 Định hướng tìm lời giải

- Câu a, b, c: hàm số xác định khi mẫu thức khác 0

 Vận dụng kiến thức giải PT để giải

2

24

5

24

2.1.4 Bài tập nâng cao

Ví dụ 2.1.4.2: Giải các phương trình sau:

 Định hướng tìm lời giải

- Ở câu a: 2 vế của PT đều có bậc 2

 Vận dụng công thức hạ bậc để biến đổi PT về dạng cơ bản cos u cosv

- Ở câu b: VT PT có các hàm sin và cos ở dạng bậc bốn

 Vận công thức để hạ bậc để đưa PT về dạng cơ bản (tương tự a)

 ? Ngoài ra, ta có thể hạ bậc VT PT đó dựa trên khai triển nào?

Ví dụ 2.1.3.3: Giải các phương trình sau:

)cos cos 2 sin sin2

 Định hướng tìm lời giải

- Ở câu a:  ? Hai vế PT có dạng công thức nào?

VT và VP của PT có dạng cosAcosB và sinAsinB

 Áp dụng công thức tổng thành tích tìm nhân tử chung

 Vận dụng công thức tích thành tổng ta triệt tiêu cos2x

- Ở câu d: VT có hai hạng tử là tích của hàm lượng giác (có cung x và 3x)

 Vận dụng công thức tương tự câu c

1 3)sin cos

2sin sin cos cos

)2sin 3 sin cos 2 1

cos 2 cos 4 cos 2 1

2.2.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.2.2.1: Giải các phương trình sau:

3)sin

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 105ok180o k 

Ví dụ 2.2.2.2: Giải các phương trình sau:

)2sin cos 1 0

 Định hướng tìm lời giải

- Ở câu a: VT có hạng tử chứa 2sinx.cosx

 Vận dụng công thức ta có thể biến đổi hạng tử này về sin2x

- Ở câu b: VT có hạng tử chứa sinx.cosx.cos2x

 Vận dụng kinh nghiệm câu a, ta biến đổi về sin2x và kết hợp với cos2x, ta biến đổi về sin4x

)cos3 cos 3 sin 2 0

c x x x d)sin 3xsinx 2 cosx0

 Định hướng tìm lời giải

- Ở câu b: PT có hạng tử chứa cosx và sin2x

 ? Giữa cosx và sin2x có mối quan hệ gì không?

sin 2x2cos sinx x , giữa sin2x và 2cosx có nhận tử chung là cosx

 Ta biến đổi PT về PT tích và giải tương tự câu a

- Ở câu c: VT PT có hiệu hai hàm cos và hạng tử sin2x, trong đó hiệu hai hàm cos

 Áp dụng công thức tổng thành tích sẽ xuất hiện nhân tử chung sin2x (PT có

dạng tương tự câu a)

- Ở câu d: VT chứa tổng hai hàm với góc có đặc điểm: 3

 

) cos 3 cos 3 sin 2 0 2sin 2 sin 3 sin 2 0

sin 2 3 2sin 0

2sin 2 0

x k x

2.3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx

Phương trình bậc nhất đối với hàm sinx và cosx có dạng:

 Định hướng tìm lời giải

- Ở câu a:  ? Nhận xét VT PT có dạng của công thức lượng giác nào đã học? 3

 Biến đổi PT về dạng sin(  )a

- Ở câu b: PT có dạng gần giống câu a

 ? Hệ số đứng trước sinx và cosx ở câu a có đặc điểm gì?

Hệ số đứng trước sinx và cosx có tổng bình phương bằng 1

[!] Sau đây ta sử dụng khái quát hóa để giải phương trình (2.3)

Ví dụ 2.3.1.2 Giải phương trình sau: asinubcosuc a( 2b2 0) (2.3)

 Định hướng tìm lời giải: vận dụng kiến thức tích lũy được từ VD 2.3.1.1 [b], ta

sẽ thực hiện chia cả hai vế PT cho một số k khác 0, sao cho hệ số đứng trước sinx và

cosx lúc này có tổng bình phương bằng 1

[!] Như vậy trước khi giải PT dạng (2.3), ta cần kiểm tra PT có nghiệm hay không?

Ví dụ 2.3.1.3: Giải các phương trình sau:

1 3 1

(*) cos 2 sin 2

524

1324

3 4: cos ;sin

 Định hướng tìm lời giải

- Câu a: VT PT chứa 2 hạng tử có cung phụ nhau

 Ta sử dụng tính chất của hai cung phụ nhau biến đổi PT về cùng cung x

- Câu b: VT chứa các hạng tử có đặc điểm: một hạng tử chứa cung hơn kém

2



và

một hạng tử chứa cung bù (so với góc 2x)

 Tương tự câu a, ta biến đổi PT về cung một cung 2x

- Câu c: VT xuất hiện hạng tử sinx chứa bậc 2

 Tương tự VD trên ta sử dụng công thức hạ bậc để biến đổi về dạng PT (2.3)

- Câu d: VT PT xuất hiện hạng tử chứa sinx.cosx và hạng tử chứa bậc 2, hạng tử sinx.cosx có thể biến đổi về sin2x

 PT có dạng tương tự câu c

 Định hướng tìm lời giải

- PT có dạng asinubcosuc a( 2b2 0), nên để PT có nghiệm: a2b2 c2

Bài giải

a) Để phương trình sinx2cosxm có nghiệm :

b) Giải tương tự câu a ta được: 5 5

 Định hướng tìm lời giải

- Ở câu a, b, c, d: PT đều có dạng PT bậc 2 (với ẩn là một hàm lƣợng giác)

2

52

26

x x

)2cos 3cos 1 0 (2cos 1)(cos 1) 0

2cos 1

x k x

k x

23

63

x x

( )4

( )6

(Các ví dụ sau chúng tôi sẽ trình bày cách giải PT bậc 2 bằng cách đặt ẩn phụ)

Ví dụ 2.4.2.2: Giải các phương trình sau:

 Định hướng tìm lời giải

- Ở câu a: VT có hạng tử chứa cos2x và hạng tử chứa cosx

 ? Có thể biến đổi hàm cos2x và cosx về cùng góc không?

Biến đổi về biểu thức:cos 2x2cos2x1

 PT trở về dạng (2.4) (giải tương tự VD trên)

- Ở câu b: VT có hạng tử chứa sin 2 2x và hạng tử cos2x

 ? So sánh với câu a, hãy tìm ý tưởng giải câu b?

 Tương tự câu a, ta biến đổi: sin 22 x 1 cos 22 x

- Ở câu c: VT vừa có hạng tử chứa tanx và hạng tử chứa cotx

 ? Tìm mối quan hệ giữa tanx và cotx?

( )2

2.5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI sinx và cosx

Dạng tổng quát: asin2x b sin.cosxc.cos2x d 0 ( , , ,a b c dR) (2.5)

2.5.1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.5.1.1: Giải phương trình sau:

4sin x6 3 sin cosx x2cos x 4 0 (1)

 Định hướng tìm lời giải

- Phương trình trên có các hạng tử chứa sinx và cosx bậc 2 và hạng tử chứa sinx.cosx

 Biến đổi 2sin cosx xsin 2x(bậc 1) và ta hạ bậc sin2x;cos2xcos 2x

Mặt khác sin

tan

cos

x x

x

 Chia cả hai vế cho cos 2 x đưa PT về dạng (2.4)

[?] Khi chia cả hai vế cho cos 2 x, ta cần chú ý điều gì?

Nghiệm của PT cosx = 0 có phải là nghiệm PT đề ra hay không?

Vậy tập nghiệm của phương trình là: ;

 Định hướng tìm lời giải

Để giải phương trình (5.1), ta có hai cách (tương tự VD trên)

Cách 1: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi để đưa PT về dạng PT (2.1)

1 cos 2 sin 2 1 cos 2

Cách 2: Ta chia cả hai vế PT cho cos 2 x.

(Những ví dụ sau này chúng tôi giải theo cách 2)

Ví dụ 2.5.1.3: Giải các phương trình sau:

 Định hướng tìm lời giải

- Câu a, b, c: PT ở dạng PT (2.5) dựa vào VD 2.1.5.2

- Câu d: VT có hạng tử sinx và cosx ở dạng bậc 2 và hạng tử sin2x

 ? Liệu rằng có thể biến đổi về dạng PT (2.5) được không?

Nhận xét: sin2x = 2sinx.cosx, biến đổi đưa về PT có dạng (2.5)

- Câu e: VT chứa hạng tử chứa sinx và cosx dạng bậc 2 và hạng tử chứa cos2x, sin2x PT có dạng gần giống câu d

 ? Dựa vào câu d, tìm ý tưởng giải câu e?

Biến đổi cos2x = cos 2 x – sin 2 x

4tan 2

x x

arctan ( )5