Tìm tọa độ của véc tơ x theo cơ sở E.. a, Chứng minh hệ véc tơ Elà một cơ sở của không gian P2[x].. Tìm toạ độ của véctơ x theo cơ sở E.. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F... Tì
Trang 1BÀI TẬP ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 1
CÁC LỚP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Chương I: TẬP HỢP – ÁNH XẠ - SỐ PHỨC
Bài 1: a, Cho ánh xạ f :X Y , A B, X.Chứng minh rằng : f A B( )f A( )f B( )
b, Giải phương trình z6z31i i 0
Bài 2 : a Tìm tất cả các số phức z thoả mãn phương trình z61 i 1 3i
b, Gọi là tập các số thực, là tập các số thực không âm Xét ánh xạ: f : + xác định bởi f x( ) x2 Hỏi 1 f có là đơn ánh không, có là toàn không? Tại sao
Bài 3: a, Giải phương trình: x3 3 i 0
b, Cho ánh xạ : \ 1
5
f
xác định như sau: ( ) 4 2
x
f x
x
Hỏi f có là đơn ánh không? Toàn ánh không? Vì sao?
Bài 4 : a, , Tìm các căn bậc 4 của số phức z 1 3i
b, Cho ánh xạ f : xác định bởi ( ) 2 2
1
x
f x
x
Hỏi f có là đơn ánh không? Toàn ánh không? Vì sao?
Bài 5: a Biểu diễn số phức z 2 2 3i dưới dạng lượng giác và tính 4z
b Cho ánh xạ f :\ 1 xác định bởi ( ) 4 2
1
x
f x
x
Hỏi f có là đơn ánh? là toàn ánh không? Tại sao?
Bài 6: a Tìm tất cả các số phức z thoả mãn phương trình z4 3 i 1 i
b Cho ánh xạ f : xác định bởi 2 2
( ) 1
x
f x
x
Hỏi f có là đơn ánh? toàn ánh không? Tìm ảnh ( )
Bài 7 : a, Cho A B C, , là các tập hợp tùy ý Chứng minh rằng: A\ (B C )A B\ A C\
b, Giải phương trình 6 3
1 0
z iz i
Bài 8 : a, Cho, f X: Y là ánh xạ, các tập hợp A B, X.Chứng minh rằng :
f A B f A f B
b, Tìm căn bậc 4 của số phức z 2 i 12
Bài 9 : a, Cho các tập hợp A B, X và ánh xạ f X: Y là đơn ánh Chứng minh rằng
f A B f A f B
b, Giải phương trình 4 2
z i z i
Bài 10 :a, Cho A B C, , là các tập hợp tùy ý Chứng minh rằng: A\ (B C )A B\ A C\
b, Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn z3z
Trang 2Chương II,III : MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1: Cho ma trận:
3 5
A
m
a, Tìm m để A khả nghich
b, Tìm ma trận nghịch đảo A1
khi m = 0
Bài 2: Cho phương trình ma trận:
X
a, Giải phương trình khi 1
b, Tìm để phương trình vô nghiệm
Bài 3: Cho phương trình ma trận:
X
a, Tìm X khi 2
b, Phương trình có bao giờ vô nghiệm không? Tại sao?
Bài 4:Cho phương trình ma trận
X
a, Giải phương trình khi
b,Tìm để phương trình trên có vô số nghiệm
Bài 5: Tìm để tồn tại ma trận X sao cho:
X
Tìm X với vừa tìm được
Chương IV : KHÔNG GIAN VÉC TƠ Bài 1: a, Chứng minh rằng hệ véc tơ E 2; 1; 0 , 1;2;0 , 1; 1;1 là một cơ sở của 3
b, Cho x 2; 0;1 là một véc tơ thuộc3 Tìm tọa độ của véc tơ x theo cơ sở E
Bài 2: Cho tập hợp M a b a b c, ,
b c
a, Chứng minh M với các phép cộng ma trận và nhân ma trận với 1 số thực là một không gian con của M2
b, Tìm cơ sở và số chiều của M
Trang 3Bài 3: Cho 2
P x ax bx c a b c là không gian các đa thức có bậc không vượt quá
2
a, Chứng minh hệ véc tơ B 1;x1; (x x 1) là một cơ sở của P x2
b, Tìm tọa độ của p x( ) 2 3x4x2 theo cơ sở B
Bài 4 Trong không gian P2[x] cho hệ véc tơ E {x2 x 1;x2 2x 1;x2 x 2}
a, Chứng minh hệ véc tơ Elà một cơ sở của không gian P2[x]
b, Tìm véctơ p(x), biết toạ độ theo cơ sở E là
3 [ ( )] 5
2
E
p x
Bài 5 a, Chứng minh hệ véc tơ E {(1,1,1);(1, 0,1);(1,1, 0)} là một cơ sở của 3
b, Cho x 3,1, 2 là một véctơ của Tìm toạ độ của véctơ x theo cơ sở E 3
Bài 6 Trong không gian P2[x] cho hệ véc tơ E {x2 x 1;x1;2x1}
a, Chứng minh hệ véc tơ E là một cơ sở của không gian P2[x]
b, Tìm toạ độ của véctơ p x 3x24x theo cơ sở E 1
Bài 7 Trong cho tập 3 F ( , , )x x x1 2 3 R x3 | 1 2x2x3 0
1 Chứng tỏ F là không gian con của 3
2 Tìm cơ sở và số chiều của F
Bài 8 : Cho tập F p x( )P2[x] | (1)p 0 & (2)p 0
1 Chứng tỏ F là không gian con của P x2
2 Tìm cơ sở và số chiều của F
Bài 9 Cho tập 2
1 Chứng tỏ F là không gian con M2
2 Tìm cơ sở và số chiều của F
, 2
1 Chứng tỏ F là không gian con M2
2 Tìm cơ sở và số chiều của F
Bài 11 a, Hãy xác định tập hợp các véctơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
trong M2
M
.
b, Trong P x2 cho F x2 x 1,2x2 3x1,x2 2x 2
Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F
Bài 12 a, Hãy xác định tập hợp các véctơ M {x2 x 1,2x23x2,2x 1} độc lập
tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong P x2
b, Trong 3 cho F (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1)
Trang 4Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F
Bài 13 a, Chứng minh rằng các véc tơ e1 1;e2 (1x e); 3 (1x)2 lập thành một cơ sở của 2
P x
b, Trong M2 cho 1 1 2 1 3 1 1 0
F
Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F
Bài 14 a, Trong cho 3 x (1, 2, 3) và M {(1,1,1);(2,1, 0);(3, 1, 3)}
Hỏi x có thuộc không gian con sinh bởi M?
E e e x e x lập thành một cơ sở của 2
P x
Bài 15 Trong cho tập 4 4 1 3 4
1 2 3 4
0 ( , , , )
0
1 Chứng tỏ F là không gian con của 4
2 Tìm cơ sở và số chiều của F
Chương V ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bài 1:Cho ánh xạ f :3 , xác định bởi 2
f x y z x y z x y z m
a, Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính
b, Tìm cơ sở và số chiều của ker f với m vừa tìm được
Bài 2: Cho ánh xạ f P x: 2 P x2 , xác định bởi f p x ( )xp x( )p x( ), p x là đạo hàm '
cấp 1 của p x
a, Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính
b, Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở E,F, biết 2 2
1, , , 1,1 , 1
Bài 3: Trong P x2 cho ánh xạ
:
f P x P x
xác định bởi f p( ) p2p3p, p p', "
là các đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của p
a, Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính
b, Tìm ma trận ánh xạ f trong cơ sở 1, ,x x2
Bài 4: Cho ánh xạ tuyến tính f :3 xác định bởi 3 f x y z( , , )(2x y z x, 2yz z, )
a, Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc
b, Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của f
Bài 5: Cho ánh xạ f :4 xác định bởi: 3
f x x x x( , , , )1 2 3 4 (x1x2 x3,2x1x x4, 32x2x4)
a, Chứng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến tính
b, Tìm cơ sở và số chiều của Ker f, Im f
Bài 6: Cho ánh xạ f :3 với 3 f x y z( , , )(6x2y2 , 2z x 3 ,2y x 3 )z
a, Chứng tỏ f là phép biến đổi tuyến tính, tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc
b, Tìm véc tơ riêng và trị riêng của f
Trang 5Bài 7: Cho ánh xạ f :2 xác định bởi 3
f x y , 2xy x, 4 2 , 6y x3y m
a Xác định m để f là ánh xạ tuyến tính và tìm ma trận A của f theo các cơ sở chính tắc của 2 và 3
b Tìm cơ sở và số chiều của Ker f , Im f với m tìm được
Bài 8: Cho ánh xạ f :3 xác định bởi 2
f x y z( , , )(x y z x, y z 3 )m , m là tham số
a Xác định m để f là ánh xạ tuyến tính, sau đó tìm Ker f và số chiều của Ker f
b Với m tìm được, tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở của 3 là u 1 (1,1, 0),
2 (1, 0,1)
u , u 3 (0,1,1)và cơ sở của 2 là v1(1, 0),v2 (2, 1)
Bài 9: Cho ánh xạ f P x: 3 P x3 , xác định bởi f p x ( )2 ( ) (p x x1) ( )p x , p x là '
đạo hàm cấp 1 của p x
a Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính
b Tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở chính tắc
Bài 10: Hãy chéo hóa ma trận A và đưa ra ma trận chuyển
A
Bài 11: Cho ánh xạ f P x: 2 P x2
, xác định bởi f p x( ( )) p x'( ), p x là đạo hàm cấp 1 '
của p x
a, Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính
b, Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của f
Bài 12 Cho ánh xạ f :3 xác định bởi 3
3
1 Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính
2 Tìm cơ sở và số chiều của Ker f , Im f
Bài 13 Cho ánh xạ tuyến tính f :3 xác định bởi 3
(1,1,1) (1,2,1);
f f(1,1,2)(2,1, 1); f(1,2,1)(5, 4, 1);
1 Tìm cơ sở và số chiều của Ker f
2 Tìm cơ sở và số chiều của ảnh Im f
Bài 14 Cho f :3 là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở 3
1,1,1 , 1, 0,1 , 1,1, 0
2 3 3
1 2 4
E E
A
1 Tìm f2, 3, 1
2 Tìm cơ sở và số chiều củaKer f
Bài 15 Cho f :3 3 là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở
Trang 6
1,1,1 , 1,1, 0 , 1, 0, 0
1 0 1
2 1 4
1 1 3
E E
A
1 Tính f4, 3, 5
2 Tìm cơ sở và số chiều của Im f
Chương VI: GIỚI HẠN, LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
Bài 1 Tìm các giới hạn sau
1,
0
lim
x
x
2
lim( )tan
2
x
, 3, lim( 22 2 1 ), 0
x a
4,
1
1
lim
1
n
m
x
x
x
x a
ln cos lim
ln(1 )
x
x x
7,
3 8 2
2
lim
x x
0
lim sin 2
x
x
9,
100 50 1
lim
x
0
ln 1 lim
cos 3 1
x
x
Bài 2, Khảo sát tính liên tục của các hàm số
1,
sin
( )
x x
x
2,
( )
x x x
f x
x
( ) arctan
f x
x
( ) arctan
f x x
x
Bài 3,Cho hàm số xác định bởi: 1 khi 2 1
( )
f x
Tìma để hàm f liên tục với mọi x.?
Bài 4, Cho hàm số 2 , | | 1
( )
, | | 1
f x
Tìm a,b để hàm số liên tục trên
Bài 5, Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau và phân loại các điểm đó
( )
2
x
f x
x
| 1 | ( ) x
f x
4, ( ) 1
ln | 1 |
f x
x
1 ( ) arctan
f x
x
Trang 7Chương VII ĐẠO HÀM – VI PHÂN Bài 1, Tìm các giới hạn sau:
1, lim x x1
1 2
0
lim cos x
0
lim
1
x
0
1 lim cot
x
lim
1 sin 0
1 tan lim
1 s in x
x x
x
7,
0
1 sin
lim
ln(1 2 )
x
x
tan
0
lim ln
0
lim(1 ) x
Bài 2, Tìm đạo hàm các cấp tương ứng của các hàm số sau
1, Tìm y( )n ( )x , biết 21
4
y x
(100)(0)
y , biết 21
4
y x
3, Tìm y( )n ( )x , biết y sin2x 4, Tìm y(100)(1), biết y (3x2 1)lnx
5, Tìm y(100)( )x , biết y (2x 3) cos 2 x 6, Tìm y(100)(0);y(101)(0), biết y arctanx
7, Tìm y(100)( )x , biết y x2sinx 8, Tìm y(100)( )x , biết y ln(2x 3)
9, Tìm y( )n ( )x , biết y ln(x23x 2) 10, Tìm đạo hàm cấp n của hàm số 1
ln 1
x y x
Bài 3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số
1, 3
ln
3
x
x
x
2, xlnx23x 2 3, (x2 x)cos2x 4, 2 2 3
32x e x
Bài 4: Tìm khai triểm Maclaurin đến cấp n của hàm số
2
2
3
x
x
e
2) ln2 3 , 3
3 2
x n x
3) lnx23x 2 , n 4
4) (1 - )ln(1x x) - (1x)ln(1 - ),x n 5 5, ( ) 2 1 , 3
Bài 5: Tìm khai triển Taylor tại x đến cấp n của các hàm số sau: 0
1) (x 1) ,e x x 1,n3 2) ln 2 x1 , x 1 / 2,n3
3, ( )f x ln(23 ),x x 1,n3
1
x
2
5) ln(2 x x ),x 1,n 3
Chương VIII TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH
Tính các tích phân sau
1, e cos xdx5x 4 2,
2 1
dx
x x
4 3
cos sin
x dx x
4, arcsin
x+1
x dx
ln ln(ln )
dx
sin
dx
a b
Trang 87,
3
xdx
x x
3
sin x
dx cos x
10, a x dx a 0
1
dx
x
13, cos(ln )x dx 14, ln( 1 x 1x dx) 15, 2
dx
x cos x
Chương IX TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH – TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Bài 1 Tính các tích phân sau:
1, 2
0
4
3 5 cos
dx
x
3 2
0
cos cos sin
0 xsin 4
4,
ln 2
0
1
x
I e dx 5,
2 2 0 sin
1
0
x
xe dx
7,
1
0
arctan
8,
1
2 0
ln(1 ) 1
x dx x
1
0
arctan xdx
10,
3
2
3
sin
cos
dx
x
1
0 ln( 1)
e e dx
1
0 arccos xdx
13,
1
2 0
arctan
1
dx x
3 2
2 1
2 1
dx
x x
15,
3 2 4 sin
xdx x
Bài 2 Tích các tích phân suy rộng
0
I xe dx
2, 3 2
0
0
I= e x dx
4, 2
0
2
2
2
1
x
6, 3
2 1
4 3
x x
7,
2
3 9
x
dx
x
Bài 3 Xét sự hội tụ của các tích phân
1,
0
1
1
I= ln x dx
x ln ln x
4,
dx
1
1
1 cos dx x
2 1
1 cosn nx
dx n x
1
n
x dx
x
8, 1
2 0
sin 2 1
x dx x