Chương này tổng quát những kiến thức cơ bản cần có ñể chứng minh bất ñẳng thức lượng giác.. Các ñẳng thức bất ñẳng thức trong tam giác : Sau ñây là hầu hết những ñẳng thức, bất ñẳng th
Trang 1Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng
Cần Thơ
- - -
-GIÁO TRÌNH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Trang 2Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở Ch ương 1 : CÁC BƯỚC ðẦU CƠ SỞ ðể bắt ñầu một cuộc hành trình, ta không thể không chuẩn bị hành trang ñể lên ñường Toán học cũng vậy Muốn khám phá ñược cái hay và cái ñẹp của bất ñẳng thức lượng giác, ta cần có những “vật dụng” chắc chắn và hữu dụng, ñó chính là chương 1: “Các b ước ñầu cơ sở” Chương này tổng quát những kiến thức cơ bản cần có ñể chứng minh bất ñẳng thức lượng giác Theo kinh nghiệm cá nhân của mình, tác giả cho rằng những kiến thức này là ñầy ñủ cho một cuộc “hành trình” Trước hết là các bất ñẳng thức ñại số cơ bản ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev …) Tiếp theo là các ñẳng thức, bất ñẳng thức liên quan cơ bản trong tam giác Cuối cùng là một số ñịnh lý khác là công cụ ñắc lực trong việc chứng minh bất ñẳng thức (ñịnh lý Largare, ñịnh lý về dấu của tam thức bậc hai, ñịnh lý về hàm tuyến tính …)
Mục lục : 1.1 Các bất ñẳng thức ñại số cơ bản……… 4
1.1.1 Bất ñẳng thức AM – GM… ……… 4
1.1.2 Bất ñẳng thức BCS……… 8
1.1.3 Bất ñẳng thức Jensen……… 13
1.1.4 Bất ñẳng thức Chebyshev……… 16
1.2 Các ñẳng thức, bất ñẳng thức trong tam giác……… 19
1.2.1 ðẳng thức……… 19
1.2.2 Bất ñẳng thức……… 21
1.3 Một số ñịnh lý khác……… 22
1.3.1 ðịnh lý Largare ……… ……… 22
1.3.2 ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai……… 25
1.3.3 ðịnh lý về hàm tuyến tính……… 28
1.4 Bài tập……… 29
Trang 3Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
a a a n
a a
a
2 1 2
1
≥+++
Bất ñẳng thức AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là một bất ñẳng thức
quen thu ộc và có ứng dụng rất rộng rãi ðây là bất ñẳng thức mà bạn ñọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất ñẳng thức Sau ñây là hai cách chứng minh bất ñẳng thức này mà theo ý kiến chủ quan của mình, tác giả cho
r ằng là ngắn gọn và hay nhất
Ch ứng minh :
Cách 1 : Quy nạp kiểu Cauchy
Với n=1 bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng Khi n=2 bất ñẳng thức trở thành
2
2 2 1 2
1 2
1 +a ≥ a a ⇔ a − a ≥
a
(ñúng!) Giả sử bất ñẳng thức ñúng ñến n=k tức là :
k
k k
a a a k
a a
a
2 1 2
k
k k k k
k
k k
k k k
k k k
a a a a a
k
a a a k a a a k
k
a a
a a a
a k
a a
a a a
a
2
2 1 2
1
2 2 1 2
1
2 2
1 2
1 2
2 1 2
+ + +
+
=
≥
++++
++
≥++++
2
1
1
1 2 1
1
1 2 1 1 2 1 1
1 2 1 1
2
1
1
+
⇒
=
≥+
k
k
k k
k
k k
a a a k
a a
a
a a a k
a a a a a a k a a a a
Trang 4Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
Gọi
n
a a
Trong tích P'=a'1a'2a3 a n có thêm thừa số bằng A Nếu trong P' còn thừa số khác
A thì ta tiếp tục biến ñổi ñể có thêm một thừa số nữa bằng A Tiếp tục như vậy tối ña 1
−
n lần biến ñổi ta ñã thay mọi thừa số P bằng A và ñược tích n
A Vì trong quá trình biến ñổi tích các thừa số tăng dần n
A
P<
Ví dụ 1.1.1.1
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác nhọn CMR :
tanA+tanB+tanC≥3 3
L ời giải :
B A
B A
C B
tantan1
tantan
⇒tanA+tanB+tanC =tanAtanBtanC
Tam giác ABC nhọn nên tanA,tanB,tanC dương
Theo AM – GM ta có :
33tantan
tan
tantan
tan27tan
tantan
tantan
tan3tantantan3tantan
tan
2
3 3
≥+
+
⇒
++
≥+
+
⇒
++
=
≥+
+
C B
A
C B
A C
B A
C B
A C
B A C
B A
ðẳng thức xảy ra ⇔ A= B=C⇔ ∆ABC ñều
Trang 5Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
L ời giải :
Ta luôn có : cot(A+B)=−cotC
1cotcotcot
cotcot
cot
cotcot
cot
1cotcot
=+
+
⇔
−
=+
−
⇔
A C C
B B
A
C B
A
B A
Khi ñó :
3cot
cot
cot
3cotcotcot
cotcot
cot3cot
cot
cot
0cot
cotcot
cotcot
cot
2
2 2
2
≥+
+
⇒
=+
+
≥+
+
⇔
≥
−+
−+
−
C B
A
A C C
B B
A C
B A
A C
C B
tantan
tantan
≥+
A
C B
33
33tan
tantan
3tan
tantan
tantan
tan
tantan
tan3tan
tantan3tan
+
≥+
+
++
⇒
++
=
≥+
+
n n n
n n
n
n n
n n
n
C B
A C
B A
C B
A
C B
A C
B A C
B A
⇒ ñpcm
Ví dụ 1.1.1.4
Cho a,b là hai số thực thỏa :
cosa+cosb+cosacosb≥0
cos
≥+
+
⇔
≥+
+
b a
b a b
a
Trang 6Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
Ch ương 1Các bước ñầu cơ sở
0coscos
1cos1cos12
cos1cos
1
≥+
⇒
≥+
+
≥+
++
b a
b a
b a
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 3 2 2
cos 2 cos
cos cos 2
cos 2 cos
cos cos 2
≤ +
A C
A C C
B
C B B
A B
A
B A
A A A
A
cotcot4
32
sin2sin2
cos2cos4
coscos4
3
2
cot2sin2cos2
A B
A
B A
B A B
A
B A
B A
cotcot4
32
sin2
sin322
cos2cos
coscos
2
cotcot4
32
sin2sin
2
cos2cos4
coscos4
C A
C
A C
C B C
B C
B
C B
cotcot4
32
sin2
sin322
cos2cos
coscos
cotcot4
32
sin2
sin322
cos2cos
coscos
Cộng vế theo vế các bất ñẳng thức trên ta ñược :
Trang 7Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
A C C
B B
A
A C
A C C
B
C B B
A
B
A
cotcotcot
cotcot
cot2
32
sin2
sin2
sin2
sin2
coscos2
cos2cos
coscos2
≤
++
2
32
sin2
sin2
sin2
sin2
B ước ñầu ta mới chỉ có bất ñẳng thức AM – GM cùng các ñẳng thức lượng giác nên
s ức ảnh hưởng ñến các bất ñẳng thức còn hạn chế Khi ta kết hợp AM – GM cùng BCS, Jensen hay Chebyshev thì nó thực sự là một vũ khí ñáng gờm cho các bất ñẳng thức
2 2 1 2 2
2 1
AM – GM ta luôn phải chú ý ñiều kiện các biến là không âm, nhưng ñối với BCS các
bi ến không bị ràng buộc bởi ñiều kiện ñó, chỉ cần là số thực cũng ñúng Chứng minh bất ñẳng thức này cũng rất ñơn giản
2 1 1 2 2 2
2 2
n
n
b
a b
a b
1
1 (quy ước nếu b i =0 thì a i =0)
Cách 2 :
Trang 8Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM ta có :
2 2 1 2 2
2 2 1 2
2 2 2 1
2
2 2
n n
i i n
i n
i
b b
b a a
a
b a b
b b
b a
a
a
a
++++
++
≥+++
+++
Cho i chạy từ 1 ñến n rồi cộng vế cả n bất ñẳng thức lại ta có ñpcm
ðây cũng là cách chứng minh hết sức ngắn gọn mà bạn ñọc nên ghi nhớ!
Bây giờ với sự tiếp sức của BCS, AM – GM như ñược tiếp thêm nguồn sức mạnh, như
h ổ mọc thêm cánh, như rồng mọc thêm vây, phát huy hiệu quả tầm ảnh hưởng của mình Hai b ất ñẳng thức này bù ñắp bổ sung hỗ trợ cho nhau trong việc chứng minh bất ñẳng
th ức Chúng ñã “lưỡng long nhất thể”, “song kiếm hợp bích” công phá thành công nhiều bài toán khó
“Tr ăm nghe không bằng một thấy”, ta hãy xét các ví dụ ñể thấy rõ ñiều này
≤+
2
2cos12
sin22
2cos1
coscos
sinsin
cossin
cos
αα
αα
α
αα
αα
αα
α
α
−++
++
=
++
++
−
=
++
+
=+
+
ab b
a ab
ab b
a
ab b
a b
=
−++
≤
−+
≤+++
Trang 9Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
1
24
1112
122
15
2 2 2
2
2 2 2
2
++
≤++
⇔
+
++
≤+++
+
⇔
b a b
a
ab b a b
a ab
2
11
11
2 2
2
≤++
Theo AM – GM thì ( )6 hiển nhiên ñúng ⇒( )5 ñúng
Từ ( )1 và ( )5 suy ra với mọi a ,b,α ta có :
2
21cossin
≤+
=
⇔
Z k k ab
b a arctg
b a
ab
b a tg
b a ab
11
2cos
12
sin
2 2
πα
αα
2
11sin
cos
b a
c b a b
y a
x
+
−+
≤+
L ời giải :
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
( )*cos
sin
11cos
1sin1
3 3
2 2
2
3 3
2 2
2
b a
c b
y a
x
b a
c b a b
y a
x
+
≥+
⇔
+
−+
≤
−+
−
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1
b
y a
a
x a
2 1
2 1
;
cos
;sin
cossin
cossin
y b x a b a b
y a
x
+
≥+
Trang 10Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
ha
x
y z
N
Q
P A
M
2 2
1
b
y a
x b
a b
=
⇔
3 3 2
3 3 2
2 2
cossin
cossin
cossin
b a
c b y
b a
c a x
c y b x a
b
y a
2
2 2
2 + +
≤+
+
=++
⇒
=++
⇔
=+
+
⇔
++
=
c b a c b a c b a
a b c
ABC MCA ABC
MBC ABC
MAB
MCA MBC
MAB ABC
h
z h
y h
x h h h h h h
h
x h
y h
z
S
S S
S S
S
S S
S S
c b b a
h
z h
y h
x h h h h
z h h
y h h
x h z
+
≤ +
+
= +
+
mà S ah a absinC h a bsinC , h b csinA , h c asinB
2
12
bc R
ab A
c C b B a h
h
222sin
sin
=++
ca bc ab z
y x
22
2 2 2
Trang 11Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC
z y x
c b a
2
;08
sin
x x
2 2 2 2 2
2 2
2 4
8sin
cos
8sin
cos1111
sincos11sin
cos
≤+
⇒
=+
++
≤
++
≤+
x x
x x
x x x
2
2
≤+
+
−
x
a x a x
1cos
2sin1
2142
1
cossin
21
cos2sin1
2 2
2 2 2
2
4 2 2
4 2
2 2
2 2
2 2
2
≤+
−
⇒
++
=++
−
=
++
−
≤+
−
x
a x a a
x a
x a x
x x x
x x
a a
x x
a x a x
⇒ ñpcm
Trang 12
Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
++
n
x x
x nf x f x
f x
n
)(
)()
2 1
ii) f ''(x)<0 trong khoảng (a,b) thì :
++
n
x x
x nf x f x
f x
n
)(
)()
2 1
Bất ñẳng thức AM – GM và bất ñẳng thức BCS thật sự là các ñại gia trong việc chứng
minh b ất ñẳng thức nói chung Nhưng riêng ñối với chuyên mục bất ñẳng thức lượng giác
thì ñó lại trở thành sân chơi riêng cho bất ñẳng thức Jensen Dù có vẻ hơi khó tin nhưng
ñó là sự thật, ñến 75% bất ñẳng thức lượng giác ta chỉ cần nói “theo bất ñẳng thức Jensen hi ển nhiên ta có ñpcm”
Trong phát biểu của mình, bất ñẳng thức Jensen có ñề cập ñến ñạo hàm bậc hai,
nh ưng ñó là kiến thức của lớp 12 THPT Vì vậy nó sẽ không thích hợp cho một số ñối
t ượng bạn ñọc Cho nên ta sẽ phát biểu bất ñẳng thức Jensen dưới một dạng khác :
++
n
x x
x nf x f x
f x
f( ) ( ) ( n) 1 2 n
2 1
Sự thật là tác giả chưa từng tiếp xúc với một chứng minh chính thức của bất ñẳng thức
Jensen trong phát biểu có f '' x( ) Còn việc chứng minh phát biểu không sử dụng ñạo
hàm thì rất ñơn giản Nó sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy tương tự như khi chứng minh bất ñẳng thức AM – GM Do ñó tác giả sẽ không trình bày chứng minh ở ñây
Ngoài ra, ở một số tài liệu có thể bạn ñọc gặp khái niệm lồi lõm khi nhắc tới bất ñẳng
thức Jensen Nhưng hiện nay trong cộng ñồng toán học vẫn chưa quy ước rõ ràng ñâu là
lồi, ñâu là lõm Cho nên bạn ñọc không nhất thiết quan tâm ñến ñiều ñó Khi chứng minh
ta chỉ cần xét f '' x( ) là ñủ ñể sử dụng bất ñẳng thức Jensen Ok! Mặc dù b t ñẳng thức
Jensen không phải là một bất ñẳng thức chặt, nhưng khi có d u hiệu manh nha của nó thì bạn ñọc cứ tùy nghi sử dụng
Trang 13
Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
+
2
333sin33
f C f B f A
tan2
cos
sin2
x x
x x
222322
2
π
C B A f
C f
B f
2 2
2
32
tan2
tan2
Trang 14Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
Xét ( ) ( )2 2
tan x x
22tan
tan122
33
222322
2
π
tg
C B A f
C f
B f
tan2
tan2
tan2
sin2
sin2
cos
cos1sin
4
π
x x
x x
x f
Khi ñó theo Jensen thì :
36
tan6sin33
222322
2
ππ
C B A f
C f
B f
sin sin
3
2sin
A
C B
L ời giải :
Ta có
Trang 15Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
≥+
+
+
=+
+
C B
A C
B
A
C B A C
B A
2 2
2
2 2
2
sinsin
sinsin
sin
sin
coscoscos22sin
2
33sinsin
sin sin
sin sin sin
sin sin sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
sin sin
3
23
23
2sin
sinsin
sinsin
sin3
sinsin
sin
sinsin
sinln3
sinsin
sin
ln
sinlnsin
lnsin
ln3
sinsin
sin
ln
3
sinlnsinsin
lnsinsin
lnsin3
sinsin
sinln3
sinsin
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
C B A C
B A
C B A C
B A
C B
A C
B A
C B A
C B
A C
B A
C B
A C
B A
C B
A
C B
A C
B A
C B
A C
B A
C B
A C
B A
C C
B B
A A
C B
a C
a b
a1 1 + 2 2 + + ≥ 1 1+ 2 + + 1+ 2 + +
Theo khả n ng của mình thì tác giả rất ít khi sử dụng bất ñẳng thức này Vì trước hết
ta cần ñể ý tới chiều của các biến, thường phải sắp lại thứ tự các biến Do ñó bài toán
cần có yêu cầu ñối xứng hoàn toàn giữa các biến, việc sắp xếp thứ tự sẽ không làm mấ
tính tổng quát của bài toán Nhưng không vì thế mà lại phủ nhận tầm ảnh hưởng của bấ
ñẳng thức Chebyshev trong việc chứng minh bất ñẳng thức lượng giác, mặc dù nó có mộ
chứng minh hết sức ñơn giản và ngắn gọn
Trang 16Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
1 2
1 2
j i j i n
n n
n b a a a b b b a a b b a
Vì hai dãy a1,a2, ,a n và b1,b2, ,b n ñơn ñiệu cùng chiều nên (a i −a j)(b i −b j)≥0
Nếu 2 dãy a1,a2, ,a n và b1,b2, ,b n ñơn ñiệu ngược chiều thì bất ñẳng thức ñổi chi ều
++
c b a
cC bB aA
33
3
π
=++
≥++
++
⇒
++
b a
cC bB aA
cC bB aA C
B A c b a
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC ñều
++
≤+
+
C
C B
B A
A C
B A C B
sin3
L ời giải :
Xét ( )
x
x x
f = sin với
∈2
tancos
'
2
π
x x
x x
x x
f
Trang 17Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
Vậy f( )x nghịch biến trên
;
0 π
Không mất tổng quát giả sử :
C
C B
B A
A C
+
C
C B
B A
A C
B
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều
coscos
sinsin
C B
A
C B
A
≤+
+
++
A
C B
A
coscos
cos
tantan
tancos
cos
cos
sinsin
sin
3
costancos
tancos
tan3
coscos
cos3
tantan
tan
C B
A C
B A
C B
A
C C B
B A
A C
B A
C B
A
++
≤+
+
++
⇔
++
A
C B
A C
B A
coscos
cos
2sin2sin2sin2
3sin
sinsin
2
++
++
≥+
+
L ời giải :
Không mất tổng quát giả sử a≤b≤c
Trang 18Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
A
C B
A
coscos
cos
sinsin
sin
Khi ñó theo Chebyshev thì :
C B
A
C B
A C
B A
C C B
B A
A C
B A
C B
A
coscos
cos
2sin2sin2sin2
3sin
sincos
sin3
coscos
cos3
sinsin
sin
++
++
≥+
+
⇔
++
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ABCñều
1.2 Các ñẳng thức bất ñẳng thức trong tam giác :
Sau ñây là hầu hết những ñẳng thức, bất ñẳng thức quen thuộc trong tam giác và trong
l ượng giác ñược dùng trong chuyên ñề này hoặc rất cần thiết cho quá trình học toán của bạn ñọc Các bạn có thể dùng phần này như một từ ñiển nhỏ ñể tra cứu khi cần thiết.Hay bạn ñọc cũng có thể chứng minh tất cả các kết quả như là bài tập rèn luyện Ngoài ra tôi cũng xin nhắc với bạn ñọc rằng những kiến thức trong phần này khi áp dụng vào bài tập ñều cần thiết ñược chứng minh lại
1.2.1 ðẳng thức :
R
C
c B
b A
a
2sinsin
C ab b
a
c
B ca a
c
b
A bc c
b
a
cos2
cos2
cos2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
−+
=
−+
=
−+
=
A b B a c
C a A c b
B c C b a
coscos
coscos
coscos
pr C B A R R abc
C ab B
ca A bc
h c h b h a S
c b
a
c b
sin2
1sin2
1sin21
.2
1.2
1.21
2
Trang 19Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
Ch ương 1Các bước ñầu cơ sở
4
22
4
22
4
22
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
c b a m
b a c m
a c b m
c
b
a
−+
=
−+
=
−+
=
b a
C ab l
a c
B ca l
c b
A bc l
c b a
2cos2
2cos2
sin2sin4
2tan2tan2tan
C B A R
C c p
B b p
A a p r
−
2tan
2tan
2tan
2tan
2tan
2tan
A C
A C
a c
a c
C B
C B
c b
c b
B A
B A
b a
b a
S
c b a C B
A
S
c b a C
S
b a c B
S
a c b A
4cot
cotcot
4cot
4cot
4cot
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
++
=+
+
−+
=
−+
=
−+
C
ca
a p c p
B
bc
c p b p
ca
b p p B
bc
a p p A
2cos
2cos
b p p
a p c p B
a p p
c p b p A
2tan
2tan
C B A C
B A
R
r C
B A C
B A
C B A C
B A
C B A C
B A
R
p C B A C
B A
coscoscos21cos
coscos
12
sin2
sin2sin41coscos
cos
coscoscos12sin
sinsin
sinsinsin42sin2sin2sin
2
cos2
cos2cos4sinsin
sin
2 2
2
2 2
2
−
=+
+
+
=+
=+
+
+
=+
+
=+
+
=
=+
+
Trang 20Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
Ch ương 1Các bước ñầu cơ sở
1cotcotcot
cotcot
cot
12
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2tan
2
cot2
cot2
cot2
cot2
cot2cot
tantantantan
tantan
=+
+
=+
+
=+
+
=+
+
A C C
B B
A
A C C
B B
A
C B A C
B A
C B A C
B A
kA
kC kB kA kC
kB kA
C k
B k
A k
C k
B k
A
k
A k
C k
C k
B k
B k
A
k
kA kC kC
kB kB
kA
kC kB kA kC
kB
kA
kC kB kA kC
kB kA
C k
B k
A k C
k B
k A
k
kC kB kA kC
kB kA
C k
B k
A k C
k B
k A
k
k k
k
k k
k
coscoscos212sin
sin
sin
coscoscos211cos
cos
cos
212cot212cot212cot212cot212cot2
1
2
cot
1212tan212tan212tan212tan212tan
cotcot
cot
tantantantan
tan
tan
coscoscos4112
cos2
cos
2
cos
212sin212sin212sin41112cos1
2cos1
2
cos
sinsinsin412
sin2
sin
2
sin
212cos212cos212cos411
2sin1
2sin1
2
sin
1 2
2
2
2 2
2
1
+ +
−+
=+
+
−+
=+
+
++
+
=++
++
+
=++
+++
+++
=+
+
=+
+
−+
−
=+
+
++
+
−+
=++
++
+
−
=+
+
++
+
−
=++
++
+
1.2.2 B ất ñẳng thức :
a c b a c
c b a c b
b a c b a
C B c b
B A b a
cotcot
33tantan
tan
2
33sinsin
sin
2
3coscos
cos
≥+
+
≥+
+
≤+
+
≤+
+
C B
A
C B
A
C B
A
C B
A
332
cot2
cot2cot
32
tan2
tan2tan
2
32
sin2
sin2sin
2
332
cos2
cos2cos
≥+
+
≥+
+
≤+
+
≤+
+
C B
A
C B
A
C B
A
C B
A
Trang 21Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
Ch ương 1Các bước ñầu cơ sở
1cotcot
cot
9tantan
tan
4
9sin
sinsin
4
3cos
coscos
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
≥+
+
≥+
+
≤+
+
≥+
+
C B
A
C B
A
C B
A
C B
A
2
cot2
cot2cot
12
tan2
tan2tan
2
sin2
sin2sin
2
cos2
cos2cos
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
C B
A
C B
A
C B
A
C B
A
++
≥+
+
++
++
33
1cot
cotcot
33tantantan
8
33sinsinsin
8
1coscoscos
C B A
C B A
C B A
332
cot2
cot2cot
33
12
tan2
tan2tan
8
12
sin2
sin2sin
8
332
cos2
cos2cos
A A A
C B A
C B A
1.3 M ột số ñịnh lý khác :
1.3.1 ðịnh lý Lagrange :
N ếu hàm số y = f( )x liên tục trên ñoạn [a;b] và có ñạo hàm trên khoảng (a;b)
thì tồn tại 1 ñiểm c∈(a;b) sao cho :
f( )b − f( )a = f '( )(c b−a)
Nó i chung với kiến thức THPT, ta chỉ có công nhận ñịnh lý này mà không chứng minh
Ví chứng minh của nó cần ñến một số kiến thức của toán cao cấp Ta chỉ cần hiểu cách
dùng nó cùng những ñiều kiện ñi kèm trong các trường hợp chứng minh
Ví dụ 1.3.1.1
Chứng minh rằng ∀a,b∈R,a<bthì ta có :
sinb− sina ≤ b−a
L ời giải :
Trang 22Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
Ch ương 1Các bước ñầu cơ sở Xét f( )x =sinx⇒ f '( )x =cosx
Khi ñó theo ñịnh lý Lagrange ta có
( ) ( ) ( ) ( )
a b c a b a b
c a b a f b f b a c
sin
cos:
;
: ⇒ ñpcm
b b
a b b
111
b b
a b a a b
a b
1lnln1
β
βα
2 2
costan
tancos
tan'
:
c c
f f
βα
βα
βα
1cos
1
2 2
2 β < c < α
Từ ( )( )1 2 ⇒ñpcm
Ví dụ 1.3.1.4
Trang 23Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
CMR n ếu x>0 thì
x x
+
111
11
x x
1ln'
+
−
−+
=
x x x
1ln'
1
1'
1
ln1ln:1
−++
∈
∃
x x x
x f
x c g x x
x x
x x c
với x> 0⇒ f( )x tăng trên (0;+∞)
x x
x x
x x
x x
x f x
11
11ln1
11ln1
1arctan2
2
1
2 2
≤+
x x
=+
−+
=
−+
=+
⇒
−+
−+
=+
∈
∃
1
1arctan1
1
11
1arctan
arctan1
arctan1
1
1
1'
:1
;
2 2
2
n n c
n n
n n n
n c
n n
n f n
f c f n n c
Trang 24Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
1arctan2
21
1
11
1221
221
1
1
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
<
++
⇔
++
n n
n
n c
n n
n n c
n
n c n
⇒ñpcm
1.3.2 ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai :
Cho tam th ức f( )x =ax2 +bx+c (a≠0) và ∆=b2 −4ac
- N ếu ∆<0 thì f( )x cùng dấu với hệ số a, với mọi số thực x
- N ếu ∆=0 thì f( )x cùng dấu với a với mọi
a
b x
2
−
- N ếu ∆>0 thì f( )x có hai nghiệm x1, x2 và giả sử x1 < x2.Thế thì f( )x cùng dấu
v ới a với mọi x ngoài ñoạn [x1; x2] (t ức là x<x1 hay x> x2) và f( )x trái dấu với a
khi x ở trong khoảng hai nghiệm (tức là x1 <x<x2)
Trong một số trường hợp, ñịnh lý này là một công cụ hết sức hiệu quả Ta sẽ coi biểu
thức cần chứng minh là một tam thức bậc hai theo một biến rồi xét ∆ Vớ ñịnh lý trên thì
các bất ñẳng thức thường rơ vào trường hợp ∆≤0mà ít khi ta xét ∆>0
C y
B x
A
2
coscos
≤+
+
L ời giải :
x2 −2x(ycosC+zcosB)+(y2 +z2 −2yzcosA)≥0
Coi ñây như là tam thức bậc hai theo biến x
cos2cos
cos'
2
2 2 2
−+
=
∆
B z C y
A yz z
y B z C y
Vậy bất ñẳng thức trên ñúng
Trang 25Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
Ch ương 1Các bước ñầu cơ sở
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
B z C y x
B z C y
::sin
:sin:sin:
:cos
cos
sinsin
sin2sin4
12
cos2sin4
2sin42
cos2cos2
cos12cos
cos'
0cos22coscos
2
2 2
2 2
2 2
2 2
=
∆
≥
−++
−
C B A
C B A
A C
B C B
A C
B
A C
B x x
x
C B C B
2 2
2sin
A ab
b C c A b
a a
2cos22
cos2
cos'
02cos22
cos2
cos2
2 2 2
2 2 2
++
−+
=
∆
≥+
+++
+
Trang 26Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
cos
2
cos2cos22cos
2cos
cos
2
31
2cos120
≤+
A
k B
A k
cos2sin2cos
sin
−+
−+
=++
Trang 27Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
Ch ương 1Các bước ñầu cơ sở
23
0121'
≤+
≤
−+
=
c b bc f
c b c
b f
(vì a=2⇔b=c=0)
Vậy f( )a ≤0∀a∈[0;2]⇒ñpcm
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=0,b=c=0 và các hoán vị
Trang 28Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 1 Các bước ñầu cơ sở
Ví dụ 1.3.3.2
CMR ∀a,b,c không âm ta có :
29
L ời giải :
ðặt
c b a
c z
c b a
b y
c b a
a x
++
=++
=++
10
021
;03
1
x x
f
f f
ðây là phần duy nhất của chuyên ñề không ñề cập ñến lượng giác Nó chỉ mang tính
gi ới thiệu cho bạn ñọc một ñịnh lý hay ñể chứng minh bất ñẳng thức Nhưng thực ra trong m ột số bài bất ñẳng thức lượng giác, ta vẫn có thể áp dụng ñịnh lý này Chỉ có ñiều các bạn nên chú ý là dấu bằng của bất ñẳng thức xảy ra phải phù hợp với tập xác ñịnh của các hàm lượng giác
cotcot3 A+ 3 B+ 3C≥ với ∆ABC nhọn
1.4.2
2
3234
sin4
sin4
≤+
1sin
1
≥+
+
C B
A
1.4.4
8
72
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
Trang 29Tr ường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ B ất ñẳng thức lượng giác
Ch ương 1Các bước ñầu cơ sở
1.4.5
C B A C
B A
sinsinsin8
9cot
cos2
1.4.7 1+cosAcosBcosC≥sinAsinBsinC
1.4.8
S b
a c a c b c b
331
1
≥
−+
+
−+
+
−+
1.4.9 + + ≥2 3
c b
c m
b m
a
1.4.10
2
33
≥++
c
m b
m a
m a b c
p l m l m l
m a a + b b + c c ≥
1.4.12
abc m
c m b m
31
11
2 2
1.4.13 ( )( )( )
8
abc c
p b p a
3sin4
3sinsin
Trang 30Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Ờ Cần Thơ Bất ựẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
Chương 2 :
Các phương pháp chứng minh
Chứng minh bất ựẳng thức ựòi hỏi kỹ năng và kinh nghiệm Không thể khơi khơi mà ta ựâm ựầu vào chứng minh khi gặp một bài bất ựẳng thức Ta sẽ xem xét nó thuộc dạng bài nào, nên dùng phương pháp nào ựể chứng minh Lúc ựó việc chứng minh bất ựẳng thức mới thành công ựược
Như vậy, ựể có thể ựương ựầu với các bất ựẳng thức lượng giác, bạn ựọc cần nắm vững các phương pháp chứng minh đó sẽ là kim chỉ nam cho các bài bất ựẳng thức Những phương pháp ựó cũng rất phong phú và ựa dạng : tổng hợp, phân tắch, quy ước ựúng, ước lượng non già, ựổi biến, chọn phần tử cực trị Ầ Nhưng theo ý kiến chủ quan của mình, những phương pháp thật sự cần thiết và thông dụng sẽ ựược tác giả giới thiệu trong
chương 2 : ỘCác phương pháp chứng minhỢ
Mục lục :
2.1 Biến ựổi lượng giác tương ựương ẦẦẦ 32 2.2 Sử dụng các bước ựầu cơ sở ẦẦẦ 38 2.3 đưa về vector và tắch vô hướng ẦẦẦ 46 2.4 Kết hợp các bất ựẳng thức cổ ựiển ẦẦẦ 48 2.5 Tận dụng tắnh ựơn diệu của hàm số ẦẦẦ 57 2.6 Bài tập ẦẦẦ 64
Trang 31Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
2.1 Biến ñổi lượng giác tương ñương :
Có thể nói phương pháp này là một phương pháp “xưa như Trái ðất” Nó sử dụng các công th ức lượng giác và sự biến ñổi qua lại giữa các bất ñẳng thức ðể có thể sử dụng
t ốt phương pháp này bạn ñọc cần trang bị cho mình những kiến thức cần thiết về biến ñổi
l ượng giác (bạn ñọc có thể tham khảo thêm phần 1.2 Các ñẳng thức,bất ñẳng thức trong tam giác)
Thông th ường thì với phương pháp này, ta sẽ ñưa bất ñẳng thức cần chứng minh về dạng bất ñẳng thức ñúng hay quen thuộc Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng hai kết quả quen thu ộc sinx ≤1; cosx ≤1
Ví dụ 2.1.1
CMR :
7cos314sin214sin1
ππ
3cos7
2cos7cos14
sin214sin1
7
3cos7
2cos7
cos14sin2
14
5sin14
7sin14
3sin14
5sin14
sin14
3sin14sin1
ππ
ππ
π
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
π
++
=
−+
−+
cos7
3cos7
3cos7
2cos7
2cos7cos
7
2cos7
4cos7
cos7
5cos7
3cos7
cos2
17cos
πππ
ππ
π
ππ
ππ
ππ
π
++
++
;7
2cos
;7
Trang 32Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
Vì x,y,z ñôi một khác nhau nên ( )4 ñúng ⇒ ñpcm
Nh ư vậy, với các bất ñẳng thức như trên thì việc biến ñổi lượng giác là quyết ñịnh
s ống còn với việc chứng minh bất ñẳng thức Sau khi sử dụng các biến ñổi thì việc giải quy ết bất ñẳng thức trở nên dễ dàng thậm chí là hiển nhiên (!)
cos2sin22sin
sin22cos2sin2cos2sin
2
cos
sin22cos2
cos2sin2cossin2cos
sin2
cos
2
sin
2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
≥
−+
−
−
⇔
≥+
−+
+
−
−++
⇔
−+
++
≥++
++
x b x a c x b x
a
x b
x x ab x a
x bc x ca x x ab c
x b
x
a
x bc x ca
x x x
x ab c
x x
b x x
4
12
coscos
04
1cos
coscos
04
12cos2
cos2
1cos
4
92
2cos12
2cos1cos1
2 2
2 2 2
≥
−+
−
−
⇔
≥++
+
⇔
≤
−+
−+
−
C B C
B A
C B A A
C B
A
C B
A
⇒ ñpcm
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ABCñều
Trang 33Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
Ví dụ 2.1.4
Cho α β γ ≠ π +kπ (k∈Z)
2,
, là ba góc thỏa sin2α+sin2β +sin2γ =1 CMR :
α β β γ γ α 2α 2β 2γ
2
tantantan213
tantantan
tantan
γγ
ββ
α
γβ
α
γβ
α
γβ
α
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
tantantan21tantantan
tantan
tan
2tan1
1tan
1
1tan
1
1
2coscos
cos
1sinsin
sin
−
=+
+
⇔
=+
++
++
⇔
=+
+
⇔
=+
+
Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
tantantan
tantan
tan3
tantantan
tantan
tan
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
≥
−+
−+
−
⇔
++
γα
γγ
βγ
ββ
α
αγγ
ββ
αα
γγ
ββ
α
⇒ ñpcm
βαα
γ
αγγ
β
γββ
α
tantan
tantan
tantan
tan
tantantan
tan
tantantan
≥+
+
2
tan2
tan2tan32
cot2
cot2
cot2
cot2
cot2
cot2
ðặt
2cot
;2cot
;2
>
xyz z y x
z y
x, , 0
Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
Trang 34Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
( ) ( )
33
1113
2 2
2 2
≥
−+
−+
−
⇔
++
≥++
⇔
++
≥++
≥++
x z z y y x
zx yz xy z
y x
xyz
zx yz xy z
y x
z y x z y x
2sin
3
1sin
Lời giải :
Vì −1≤sinx≤1 và cosx≥−1 nên :
3+sinx>0;3−sinx>0 và 2+cos>0
Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
cos1218cos612
sin92cos26
2
2 2
⇔
−
≤+
x x
x x
x x
x x
do cosx≤1 nên bất ñẳng thức cuối cùng luôn ñúng ⇒ ñpcm
Ví dụ 2.1.7
CMR
2
;3
πβα
11
coscos
2
βα
βα
Lời giải :
Từ
2
1cos
;cos02
;
Trang 35Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
<
4
1coscos0
1coscos
0
βα
βα
12
12
12
2
2 3
2 2 2
b ab a
a
b a a b a
b
b a a
a b
b a a
a
Bất ñẳng thức cuối cùng ñúng vì a≤1 và 2 −4 =(cos −cos )2 ≥0⇒
βα
sin
Lời giải :
2sin
;2
ππ
sin2(a+b)=sin2acos2b+sin2bcos2a+2sinasinbcosacosb
nên thay cos2b=1−sin2b vào thì bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
(a b)
b a b
a
b a b a b
coscossin
sin
coscossinsin2sinsin
Trang 36Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
Ví dụ 2.1.9
Cho ∆ABC không vuông CMR :
C B
2
tan tan tan
tan tan
tan 9 tan tan
tan 5 tan
cos 4 cos 4
0 1 cos 4 cos
cos 2
0 1 cos 4 2 cos 2 cos 2
4
3 cos 2
2 cos 1 2
2 cos 1
4
3 cos cos
cos
cos cos cos
1 cos
cos
1 cos
cos
1 cos
cos
1 cos
cos
cos
4
cos cos cos
1 8
3 cos
1 cos
1 cos
1 4 1 cos
1 1 cos
1 1
cos
1
4
tan 1 tan 1 tan 1 8 tan tan
tan 4 tan tan
tan
4
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
≥
− +
−
−
⇔
≥ +
−
−
⇔
≥ + +
− +
⇔
≥ + +
+
⇔
≥ +
+ + +
⇔
≥ +
+
≤
− +
+
−
B A B
A C
B A C C
C B
A B A
C B
A
C B
A
C B
A
C B A A
C C
B B
A C
B A
C B A C
B A
C B
A
C B
A C
B A
C B
A
⇒ ñpcm
Ví dụ sau ñây, theo ý kiến chủ quan của tác giả, thì lời giải của nó xứng ñáng là bậc
th ầy về biến ñổi lượng giác Những biến ñổi thật sự lắt léo kết hợp cùng bất ñẳng thức
m ột cách hợp lý ñúng chỗ ñã mang ñến cho chúng ta một bài toán thật sự ñặc sắc !!!
Ví dụ 2.1.10
Cho n ửa ñường tròn bán kính R , C là một ñiểm tùy ý trên nửa ñường tròn Trong hai hình quạt nội tiếp hai ñường tròn, gọi M và N là hai tiếp ñiểm của hai ñường tròn với ñường kính của nửa ñường tròn ñã cho CMR : MN ≥ R2 ( 2−1)
Trang 37Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
N
M O
O1
O2C
α
αα
π
cos1
coscos
cos1
cos2
sin
1 1
1 1
R
R R O
O R
Tương tự :
α
αα
α
sin1
sinsin
2 2
2
2
cos2
sin2cos
1
2cos2.2
cos2sin
2
cos2
sin2cos2
cos1sin1
1cossin
sin1
coscos
1
sin
sin
cossin
1
sincos
sincos1
cos
2 2
++
++
=
+
++
=
⋅++
⋅+
=
αα
αα
α
αα
α
αα
α
αα
αα
α
αα
α
α
αα
αα
ααα
R R
R
R
R R
R R
22
42
cos
αα
2.2 Sử dụng các bước ñầu cơ sở :
Các bước ñầu cơ sở mà tác giả muốn nhắc ñến ở ñây là phần 1.2 Các ñẳng thức, bất ñẳng thức trong tam giác Ta sẽ ñưa các bất ñẳng thức cần chứng minh về các bất ñẳng
th ức cơ bản bắng cách biến ñổi và sử dụng các ñẳng thức cơ bản Ngoài ra, khi tham gia các kỳ thi, tác giả khuyên bạn ñọc nên chứng minh các ñẳng thức, bất ñẳng thức cơ bản
s ử dụng như một bổ ñề cho bài toán
Trang 38Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
sinsin2sinsin
sin
C B A R C B
;
1
B A C A C B C B
cos2
cos2
cos2
cos2
cos2
cos2
sin2
sin2sinsin
sin
sin
1
C B A C
B A C B A
B A A C C B C
B A
≤
⇔
++
sin2
sin2sin
sin2sin44
7sinsinsin
sinsin
sin2sin41coscos
Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với :
4
3sinsinsin
sinsin
mà :
Trang 39Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
B A B
A C
A C A
C B
C B C
B A
coscossin
sincos
coscossin
sincos
coscossin
sincos
4
3coscoscos
coscos
coscos
Mặt khác ta có :
2
3coscos
1cos
cos4cos21
1cos
cos4cos
2
1
1
≥+
+
++
+
++
4
33
coscos
coscos
coscos
coscos
cos
2
≤+
+
≤+
B A
Lời giải :
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
Trang 40Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
2( ) 4 3 2 2 2 ( )1
c b a S ca
S
b a c B
S
a c b A
4cot
4cot
4cot
2 2 2
2 2 2
2 2 2
−+
=
−+
=
−+
tan2
tan2tan
3cot
sin
1cot
sin
1cot
sin1
cotcot
cot434sin
1sin
1sin
141
≥+
⇔
C B
A
C C
B B
A A
C B
A S S C
B A
C C
B B
A
48
52
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2sin
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
Ta có :
2
sin2
sin2sin41coscos
cos4
12
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
2cos2cos2
sin2sin22cos2cos
2cos
2
cos
B A A
B
B
A B
A A