Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên.. Gọi O là trọng tâm của ∆ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm của CD.. Tính các góc của ∆OIB.. Đờng thẳng qua O song song với AB, cắt A
Trang 1UBND huyện Đông Hng Đề kiểm tra chọn nguồn HSG Môn Toán lớp 8
Phòng Giáo dục năm học 2005-2006
(Thời gian làm bài 90 phút)
Đề bài
Câu 1( 5điểm ) : Cho A = [ ]
9
7 : ) 3
9 )(
81
5 18
81
7 (
9
2
+ +
−
−
+ +
− +
+ +
+
+
x
x x
x x
x x x
x x
x
a Rút gọn A
b Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
Câu 2 (6điểm) Chứng minh rằng :
a Nếu ( a + b + c )2 = 3.(ab + bc +ca) thì a = b = c
b Nếu
c
z y x b
y x z a
x z
y+2 − = 2 +2 − = 2 +2 −
2
và (a ; b ; c ; 2b + 2c –a ; 2c +2a – b ; 2a + 2b – c đều khác 0)
Thì
c b a
z b
a c
y a
c b
x
− +
=
− +
=
−
2 Câu 3( 3điểm) Giải phơng trình :
1 2006
20052005 + − 2006 =
x
Câu 4( 4điểm ) :
Cho ∆ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho
BD = CE Gọi O là trọng tâm của ∆ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm của
CD
a Chứng minh : ∆AOB ∼∆KOI
b Tính các góc của ∆OIB
Câu 5( 2điểm) :
Cho hình thang ABCD(AB//CD) , Giao điểm hai đờng chéo là O Đờng thẳng qua O song song với AB, cắt AD và BC lần lợt tại M và N Chứng minh :
MN CD
AB
2 1
1
= +
Trang 2đáp án , biểu điểm môn toán lớp 8 chọn nguồn HSG
Câu 1 (5điểm)
a.(2,5điểm) Rút gọn A
7 : 3
9 9
5 3
9 )
9 (
7 9
7
2
2 2
2 2
2
+
+
−
⋅
−
+ + +
−
⋅
−
+ +
+
+
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
( 0,5diểm)
7 : 3 9
9 5 3
7 9
7
2
+
+ +
− + + +
+ +
+
+
x
x x
x
x x x
x x
x
(0,5điểm)
7 : 3
9
9 5 9
7 3
7
2
2
+
+ +
+
− + + + + + +
+
x
x x
x
x x x
x x
x
(0,25điểm)
= ( )( )
7 : 3
9
45 4 63
16 3
7
2
2 2
2
+
+ +
+
−
− + + + + +
+
x
x x
x
x x x
x x
x
(0,5điểm)
7 : 3
9
3 2 3 7
2
2 2
+
+ +
+
+ + +
+
x
x x
x
x x
x
(0,25điểm)
= ( ) ( )
9 3
9
9 3
2
2
+
+
⋅ +
+
+
+
x
x x
x
x
x
(0,25điểm)
=
7
9
+
+
x
x
(0,25điểm)
b.(2,5 điểm) Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
ĐK : x≠ ± 9 ; x≠ − 3 ; x≠ − 7 (0,5điểm)
A =
7
9
+
+
x
x
= 1 +
7
2
+
Để A nguyên thì
7
2
+
x nguyên => Do x là số nguyên =>x + 7 là ớc của 2 ; 2 = ( ± 1 ; ± 2
) (0,5điểm)
(0,5điểm)
x = -9 (loại) Vậy với
x ∈ {− 5; -6 ; -8 } thì
A có giá trị là số nguyên (0,5điểm)
Câu 2 (6điểm)
a.(2,5 điểm) Chứng minh rằng : Nếu ( a + b + c )2 = 3.(ab + bc +ca)
Thì a = b = c
( )2
c
b
a + + = 3.(ab + bc +ca) (0,5điểm)
=> 2(a + b + c)2 = 6(ab + bc +ca) (0,5điểm) => 2a2 + 2b2 + 2c2 + 4ab + 4bc + 4ca = 6ab + 6bc + 6ca (0,5điểm) => 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab – 2bc – 2ca = 0 (0,5điểm) => (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0 (0,25điểm)
Trang 3Lập luận đợc a =b = c (0,25điểm)
b.(3,5 điểm) Chứng minh rằng nếu
c
z y x b
y x z a
x z
2
Và a ; b ; c ; 2b + 2c –a ; 2c +2a – b ; 2a + 2b – c đều khác 0
Thì
c b a
z b
a c
y a
c b
x
− +
=
− +
=
−
2
Đặt :
c
z y x b
y x z a
x z
y+2 − = 2 +2 − = 2 +2 −
2
c
z y x b
y x z a
x z
y
=
− +
=
− +
=
−
2
2 4 4 2
2 4
4
(0,25điểm)
c b a
z y x y x z x z
− +
+
−
−
− + +
−
+
2 2
2 2 2 4 4 2 4
4
(0,25điểm)
c b
a
z
=
−
+ 2
2
9
=>
9 2
2
k c b a
z
=
−
b
y x z a
x z y c
z y
x+2 − = 2 +2 − = 2 +2 − =
2
(0,25điểm)
b
y x z a
x z y c
z y
x
=
− +
=
− +
=
−
2
2 4 4 2
2 4
4
(0,25điểm)
b a c
y x z x z y z y
− +
+
−
−
− + +
−
+
2 2
2 2 2 4 4 2 4
4
(0,25điểm)
b a
c
y
=
−
+ 2
2
9
=>
9 2
2
k b a c
y
=
−
Tơng tự ta có :
9 2
2
k a c b
−
Từ (*) ; (**) ; (***) =>
c b a
z b
a c
y a
c b
x
− +
=
− +
=
−
Câu 3( 3đ) : Giải phơng trình x − 20052005 + x − 20062006 = 1
x = 2005 ; x = 2006 Giá trị vế trái bằng giá trị vế phải và bằng 1 Vậy nghiệm của phơng trình là x1 = 2005 ; x2 = 2006 (0,5điểm)
Ta xét các trờng hợp sau :
* Nếu x < 2005 thì x− 2005 > 0 và x− 2006 > 1
do đó 2005 2006
2006
2005 + −
* Nếu x > 2006 thì x− 2005 > 1và x− 2006 > 0
do đó 2005 2006
2006
* Nếu 2005 < x < 2006 thì 0 < x – 2005 < 1
-1 < x – 2006 < 0
=> 2005
2005
−
x < x− 2005 = x – 2005
x− 20062006 < x− 2006 = 2006 - x (0,5điểm)
Trang 4E D
K
O
I
=> x− 20052005+ x− 20062006 < x – 2005 + 2006 – x = 1
Vậy Phơng trình chỉ có hai nghiệm là x1 = 2005 ; x2 = 2006 (0,5điểm)
Câu 4( 4đ ) : Cho ∆ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE Gọi O là trọng tâm của ∆ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm của CD
a Chứng minh : ∆AOB ∼∆KOI
b Tính các góc của ∆OIB
∆ABC (AB = BC = CD)
D ∈ AB ; E ∈ AC
BD = CE ; O – trọng tâm của ∆ADE
EO x A = K ; ID = IC
a Chứng minh : ∆AOB ∼∆KOI
b Tính các góc của ∆OIB
(Vẽ hình , ghi GT + KL đúng cho 0,5 điểm)
a ) Chứng minh : ∆ AOB ∼ ∆ KOI(2 điểm)
Chứng minh KI là đờng trung bình của tam giác ADC => KI//AC (0,5 điểm)
=>I KˆE =K EˆA= 30 0 =O AˆK. (3) và KI=
2
1
AC=
2
1
AB (4) (0,5 điểm)
CM tam giác AOK vuông ở K và có O AˆK = 30 0=> OK=
2
1
OA (5) (0,5 điểm)
Từ (3), (4), (5) có ∆OAB đồng dạng với ∆OKI (c,g,c) (0,5 điểm)
b) Tính các góc của ∆ OIB(1,5 điểm)
Từ ∆OAB đồng dạng với ∆OKI=> A OˆB=K OˆI và
OB
OI OA
Từ đó chứng minh đợc: K OˆA=B OˆI và
OB
OA OI
=> ∆KOA đồng dạng với ∆IOB (c,g,c) (0,5 điểm)
=> Tính đợc O IˆB= 90 0 ;O BˆI = 30 0 ; B OˆI = 60 0 (0,5 điểm)
Câu 5(2điểm)
◊ABCD(AB//CD) A B
GT AC x BD = O M N
KL
MN CD
AB
2 1 1
= + D C
(Vẽ hình, ghi GT + KL đúng cho 0, 5 điiểm)
Trang 5Chøng minh :
MN CD
AB
2 1
1
= +
MN // AB //CD = > Theo §/Lý TaLÐt ta cã :
AD
AM
CD
MO = ;
DA
DM AB
AD
AD AD
DM AM AD
DM AD
AM AB
MO CD
MO
(0,5
®iÓm)
T¬ng tù : + = 1
AB
NO CD
NO
(0,25 ®iÓm)
VËy
CD
NO
MO+ +
AB
NO
MO+ = 2 <=> + =2
AB
MN CD
MN
(0,5 ®iÓm)
Chia c¶ 2 vÕ cho MN =>
MN CD AB
2 1
§iÒu ph¶i chøng minh (0,25 ®iÓm)