TỔNG HỢP 21 ĐỀ THI HSG TOÁN 9

b Chứng minh AK là tiếp tuyến chung của hai đường trũn O và O’ c Gọi M là trung điểm của BC.. Tam giác HME là tam giác vuông tại E nên nội tiếp đờng tròn đ-ờng kính MH.. Các tam giác MDN

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

môn toán 9Thời gian làm bài: 150 phỳt

a, Tỡm hai toạ độ giao điểm của (p) và (d)

b, Tớnh diện tớch tam giỏc tạo bởi hai toạ độ giao điểm và gốc toạ độ

Cõu 3: Giải hệ phương trỡnh:

Cõu 4: Cho cú ba gúc nhọn nội tiếp (O;R) Vẽ AI vuụng gúc với BC, BE vuụng gúc với AC AI cắt BE tại H

hớng dẫn chấm đề số 1

Cõu 1: (3đ)

1,5đ

Cõu 2:

Cõu 3: Hệ phương trỡnh cú hai nghiệm:

(x; y; z) = (1; 2; 3) và (x; y; z) = (-1; -2; -3) 2,0đ

Cõu 4:

a, 2,0đ

b, Kẽ đường kớnh CD

cú 3,0đ c, 3,0đ Cõu 5:

2,0đ

H . O F E I D A C B A C H

B

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

môn toán 9Thời gian làm bài: 150 phỳt

Cõu 4(6,0 điểm): Cho hai đường trũn (O) và (O’) tiếp xỳc ngoài tại A Gọi AB là đường

kớnh của đường trũn (O), AC là là đường kớnh của đường trũn (O’), DE là tiếp tuyếnchung của hai đường trũn, D  (O), E  (O’), K là giao điểm của BD và CE

a) Tứ giỏc ADKE là hỡnh gỡ? Vỡ sao?

b) Chứng minh AK là tiếp tuyến chung của hai đường trũn (O) và (O’)

c) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng MK vuụng gúc với DE

Cõu 5(2,0 điểm): Giải phương trỡnh :

Hết

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy min P = 4 khi x = 4

0.5

1.0

1.0

1.00.5

0.50.5

với Ox, cắy Oy trên điểm có tung độ m

Dựa vào đồ thị ta kết luận:

Nếu m < 1 thì phương trình vô nghiệm

Nếu m = 1 thì phương trình có nghiệm : 0

Nếu m > 1 thì phương trình có 2 nghiệm

1.0

1.01.0

1.0

1

O - 1

1 2

1

-x y

Gọi số cần tìm là với

Theo giả thiết:

Giải hpt ta được: (loại) Suy ra

Vậy số cần tìm là :96

1.0

1.00.750.25

4

a) Theo tính chất góc ngoài của tam giác :  O1 = 2B, O’1 = 2C

mà O1 + O’1 = 1800 nên B+C=900, suy ra K=900 Ta lại có

D = E = 900 nên tứ giác ADKE là hình chữ nhật

b) A1+A2=D1+D2=900 nên KA  BC Vậy AK là tiếp tuyến

của (O) và (O’)

c) K1 + E1 = C + EKA = 900 nên MK  DE

2.02.02.0

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

môn toán 9Thời gian làm bài: 150 phỳt

Bài 4 (3,5đ) Cho đều cạnh Điểm di động trên cạnh ,

điểm di động trên tia đối của tia sao cho Đờng thẳng cắt đờng thẳng tại

a CM tứ giác nội tiếp đợc

b Tìm giá trị lớn nhất của theo

Bài 5 (3đ) Cho tam giác nội tiếp đờng tròn , điểm thuộc cung không chứa Gọi theo thứ tự là các đờng vuông

Chứng minh rằng

Hết

hớng dẫn chấm đề số 3 Bài 1 (4đ)

1 (2đ) có nghĩa khi và chỉ khi (0,5đ)

(loại) hoặc (vô nghiệm) (0,25đ)

Bài 3 (6,0đ)

1.(2,5) Vì dơng nên

(0, 5đ)Cộng tất cả các BĐT cùng chiều trên ta đợc

(Chú ý là đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )

Cộng từng vế ba BĐT cùng chiều trên ta đợc:

(0,25đ) (0,25đ)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

A

K B

C

H

M I

§Ò sè 4

Bµi 1 ( 3 ®iÓm ): Cho biÓu thøc:

P=

1) Rót gän biÓu thøc P

2) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 14-6

3) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P

Bài 2 ( 3 điểm ): Giải phơng trình:

1)

2)

Bài 3 ( 3 điểm ):

1) Cho biểu thức A = Tìm giá trị nhỏ nhất của A

2) Cho (x+ )(y+ ) = 3 Tìm giá trị của biểu thức P = x + y

Bài 5 ( 3 điểm ): Cho a, b, c lần lợt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của

tam giác ABC Chứng minh rằng:

Bài 6 ( 5 điểm ): Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm Trên cạnh BC

lấy điểm D sao cho BD = 20 cm Đờng trung trực của AD cắt các cạnh

AB, AC theo thứ tự ở E, F Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF

-

Khi đó P =

0,250,5

- 2 = 4

( áp dụng BĐT Côsi cho hai số dơng ; )

Dấu " = " sảy ra <=> = <=> x = 4 thoả

Thö l¹i: x = 11; y = 5 lµ nghiÖm cña pt

VËy pt cã 1 nghiÖm duy nhÊt (x,y) = (11,5)

0,50,25

0,250,25

0,25

0,51) A =

A =

A = 4 <=> x - 2 = 0 <=> x = 2

0,5

Tõ hai tam gi¸c vu«ng AMB vµ ANC, ta cã:

m Ta có BI = BD.cos600 = 20 = 10

Ta có: EI = 50 - x, áp dụng định lý pitago trong

tam giác vuông DEI ta có: ED2 = EI2 + ID2 = (50 -

Ta có: FK = 40 - y; áp dụng định lí pitago trong

tam giác vuông DFK ta có: DF2 = DK2 + FK2 =

0,5

0,250,250,250,250,25

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

môn toán 9Thời gian làm bài: 150 phỳt

Đề số 5

Bài 1( 4,5điểm): Cho biểu thức: A =

a) Tìm điều kiện củ x để biểu thức A xác định

b) Rút gọn gọn biểu thức A

c) Tính giá trị của A khi x = 25

d) Tìm các giá trị của x để A =

Bài 2(4 điểm): Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô

Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại Biết mỗi ô tô chỉ trở đợc không quá 32 ngời, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan?

Bài 3 (4 điểm): Cho tam giác MNP cân tại M Các đờng cao MD và

NE cắt nhau tại H Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MH Chứng minh rằng:

a).E nằm trên đờng tròn (O)

b) Bốn điểm M, N, D, E cùng thuộc một đờng tròn

c) DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O)

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có góc A bằng 150; góc B bằng 450

trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2BC

a) Tính góc ADB

b) Tính khoảng cách từ D đến AC, nếu biết BC = 3 cm

Bài 5 (3,5 điểm): Cho hai số thực a,b thoã mãn a > b và ab = 2 Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q =

x= ( T/m điều kiện) (0,25 điểm)

Vậy với x= thì A = (0,25 điểm).

N D P

a) Tam giác HME là tam giác vuông tại E nên nội tiếp đờng tròn

đ-ờng kính MH Từ đó E đđ-ờng tròn (O) (1 điểm)

b) Các tam giác MDN và MEN là các tam giác vuông có chung cạnh huyền MN nên 4 điểm M,N,D,E cùng thuộc một đờng tròn đờng

kính MN (1 điểm).

c) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O):

Ta có : ENP = DMP ( vì cùng phụ với góc MPN) (1) (0,25 điểm)

Vì OM = OE nên tam giác OME cân , suy ra: OME = OEM (2) (0,25

Tam giác NEP vuông tại E, có ED là đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền NP

nên: DN = DE Suy ra tam giác DNE là tam giác cân Suy ra DNE = DEN (3) (0,5 điểm)

Từ (1), (2), và (3) Suy ra : OEM = DEN (0,25 điểm)

Lại có: OEM + HEO = 90o , Nên OEH + HED = 90o Suy ra DE OE

Vậy Giá trị nhỏ nhất của Q đạt đợc là: Qmin=4 ( 0,5 điểm)

(Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối

đa)

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

môn toán 9Thời gian làm bài: 150 phỳt

Câu 2 (1điểm):

Tìm các giá trị của m để 2 đờng thẳng y = (m – 1)x + 2 (m 1)

Và y = (3 –m)x + 1 (m 3) song song với nhau

Câu 3(2điểm): Cho hệ phơng trình:

Giải và biện luận hệ phơng trình trên

Câu 4(3điểm): Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Các tiếp tuyến tại A của các đờng tròn (O) và (O’) cắt đờng tròn(O’)

và (O) theo thứ tự tại C và D Gọi P và Q lần lợt là trung điểm của các dây cung AD và AC

b B = - + (0,25®iÓm) =

= (0,25®iÓm) = = (1®iÓm).c/ V× B = = 1+ Nªn B z ( B nguyªn) th× - 3 ph¶i lµ íc cña 4 -3 = 1; 2; 4

+ NÕu m = 2 th× (3) tho¶ m·n víi mäi x

Mà BPD = AQB APB + AQB = 1800

Tứ giác APBQ nội tiếp

*****************************************

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

môn toán 9Thời gian làm bài: 150 phỳt

Câu 1 (6 điểm): Cho biểu thức

A =

a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức A

c) với giá trị nào của a thì A có giá trị nguyên

Câu 2(4 điểm): Cho hàm số: y = có đồ thị là (Dm) và hàm số: y

= có đồ thị là (T)

a) Với m = 2 Vẽ (T) và (D-2) trên cùng hệ trục toạ độ

b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phơng trình

x + 2m - 2

Câu 3(3 điểm): Giải hệ phơng trình:

Câu 4(2 điểm): Giải phơng trình:

Câu 5: ( 6 điểm): Cho hai đờng tròn ( O;R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài

tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O), C (O’)

b) Víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã:

A = (1 ®iÓm)

A = (1 ®iÓm)c) Ta cã:

A = a a 11 = 1 - (0,5 ®iÓm)BiÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn khi:

1 y

x 0

1

(1 ®iÓm)

b) Tõ ph¬ng tr×nh x + 2m - 2 => x + 2m = 2 (0,25 ®iÓm)

b) học sinh chứng minh đợc: IO  IO’ (tia

phân giác của hai góc kề bù)

(0,5 điểm)

=> Góc OIO’ = 900

Tam giác IOO’vuông tại I, đờng cao IA nên:

IA2 = OA.O’A = R.r (0,5 điểm) (0,5 điểm)

Nên BC = 2 IA = 2 (0,5 điểm)

c) Do góc BAC = 90 0 nên góc BAD = 90 0 Tam giác ABD vuông tại A nội

Do đó ba điểm B,O,D thẳng hàng (0,5 điểm)

d) Do tam giác CBD vuông tại B nên:

c b

a o

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

môn toán 9Thời gian làm bài: 150 phỳt

Đề số 8:

Câu 1: (4 điểm)

Cho biểu thức

a, Rút gọn A

b, Tính giá trị của A khi

c, Tìm giá trị lớn nhất của A

Câu 2: (4 điểm)

Giải hệ phơng trình:

Câu 3: (2 điểm)

Cho 3 số x,y,z thoả mãn đồng thời

Tính giá trị của biểu thức

Câu 4: (4 điểm): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn AB = c, AC= b,

CB = a

Chứng minh rằng:

Câu 5: (4 điểm):

Cho đờng tròn (O;R) và đờng thẳng d cắt (O) tại 2 điểm A, B Từ

điểm M trên d kẻ các tiếp tuyến MN, MP với (O) (N,P là các tiếp

điểm) Gọi K là trung điểm của AB

a, Chứng minh 5 điểm M, N, O, K, P cùng nằm trên 1 đờng tròn

b, Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua 2 điểm cố

định khi M di động trên ( d)

e, Xác định vị trí của M để tứ giác MNOP là hình vuông

Câu 6: (2 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ớc tự nhiên của

p4 là 1 số chính phơng

Hết

hớng dẫn chấm đề 8 Câu 1:

b, 1,5 đ

(0,25)Thay x vào A ta có:

Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với

(0,25)(0,25)(0,25)

Ta có các trờng hợp sau:

Ta giải từng trờng hợp:

(0,5)(0,5)(0,5)(0,5)Vậy hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm

MKO vuông tại K K nằm trên đờng tròn đờng kính MO (0,25)Vậy 3 điểm N, P, K nằm trên đờng tròn đờng kính MO (0,25) Hay 5 điểm M,N,O,P,K cùng nằm trên đờng tròn đờng kính MO

(0,25)

b, 1 đ

Ta có K là trung điểm của AB nên K cố định (0,25)

Mà theo câu a) đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP chính là đờng

Theo câu a) đờng tròn đờng kính MO đi qua O; K (0,25)Vậy đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua 2 điểm cố định O, K(0,25)

c, 1 đ

Tứ giác MNOP là hình vuông MN= ON,

OM= ON = R ( R là bán kính đờng tròn (O)) (0,25)

M là giao điểm của (O; R ) với đờng thẳng d (0,25)Vậy ta xác định đợc 2 điểm M1; M2 thoả mãn điều kiện đề ra

(2) (0,5)

(0,25)(0,25)Vì

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

môn toán 9Thời gian làm bài: 150 phỳt

đề số 9:

Bài 1 ( 4 điểm )

Cho biểu thức

a) Rút gọn P

Bài2(4 điểm) a) Cho đờng thẳng , , cắt nhau tạo thành một tam giác Tính diện tích tam giác đó.

b) Tìm trên đờng thẳng y = 4x + 1 những điểm có toạ độ thoả mãn:

Bài 4(5điểm) Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự

đó.vẽ đờng tròn tâm O qua B và C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với ờng tròn (O); Gọi I là trung điểm BC ,N là trung điểm EF

a.Chứng minh rằng các điểm E,F luôn nằm trên một đờng tròn

cố định khi đờng tròn (O) thay đổi

b.Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) tại K Chứng minh rằng :EK song song với AB

c.Chứng minh rằng tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạytrên một đờng thẳng cố định khi đờng tròn(O) thay đổi

Bài 5(4 điểm) a.Giải phơng trình nghiệm nguyên:

(0.25)

(0.25)

(0.5)

(0.5)

(0.5)

b §iÒu kiÖn: x  0 (0.25)

2 A B y=2

a + c < 2 (3) 0,25 Cộng vế với vế của (1) , (2) , và (3) ta có

0.25

b

2010+x2= xy+yz+zx+x2= (x+y)(z+x) 0.25

2010+y= xy+yz+zx+y2=(x+y)(y+z) 0.25

2010+z2 = xy+yz+zx+z2=(y+z)(z+x) 0.25

Suy ra: x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx) 0.5

Do đó: P= 2.2010=4020 0.25

Bài 4

1 ABF và AFC đồng dạng (g_g) 0.5

Ta có : AB/ AF=AF/AC AF2=AB.AC 0.5

AF= Mà AE=AF nên AE=AF= không đổi 0.5

Vậy E,F thuộc đờng tròn (A; ) cố định

2 Tứ giác AOIF nội tiếp đờng tròn

Ta có : AIF = AOF (1) 0.5AOF = EOF và EKF = EOF

EKF = AOF (2) 0.5Từ(1) và(2) AIF = EKF

Do đó :EK vàAB song song vơí nhau 0.5

3 Cm đợc A,N,O thẳng hàng và AO EF ;

Gọi H là giao điểm của BC và EF

Ta có : ANH và AIO đồng dạng nên 0.5

Suy ra :AH.AI =AN.AO

Lại có :AN AO=AE2 =AB.AC 0.5

Do đó : AI.AH =AB.AC không đổi

x = 2009 (tm) 0.5

*************************************************

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

môn toán 9Thời gian làm bài: 150 phỳt

Bài 4:(7đ) Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Điểm M thuộc nữa

đờng tròn, điểm C thuộc đoạn OA.Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M vẽ tiếp tuyến Ax,By.Đờng thẳng qua M và vuông góc MC cắt Ax;By tại P và Q AM cắt CP tại E; BM cắt CQ tại F

a.Chứng minh tứ giác ACMP nội tiếp

(0,5đ)

(0,5đ)

(1) (0,5đ) (0,5đ)

*Với x = 0 thay vào phơng trình (1) ta đợc y =1 (0,25đ)

*Với y= 0 thay vào phơng trình (1) ta đợc x =1 (0,25đ)

Vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm (x;y) = (0;1); (1;0) (0,25đ)

Bài 3:

a> (m+2)x + (m -1)y – 1 = 0 mx + 2x + my – y – 1 = 0 (0,25đ)

Với m = 1 thì (Dm) có dạng: 3x -1 = 0.Khoảng cách từ 0 đến (Dm) là (0,5đ)

Với m 2 ; m 1.Khoảng cách từ 0 đến (Dm) lớn nhất khi OI (Dm) mà (Dm) cắt Ox tại A và cắt Oy tại B (0,5đ) y

AOB vuông tại O có OI là đờng cao nên

(0,5đ) A

I B

<FEM = <MAB EF // AB (0,25đ)

Bài 5: áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các cặp số không âm :

F

đề thi học sinh giỏi cấp huyện

môn toán 9Thời gian làm bài: 150 phỳt

1)(4đ) Cho hệ phương trỡnh

a) Giải hệ khi m= (1 điểm)

b) Xỏc định giỏ trị của m để hệ cú nghiệm duy nhất (x;y) thoả món điều kiện x > y (1 điểm)

2) (2đ) Giải phơng trình sau: : ( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 16) = 64xyz

Câu3: (3đ) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: y2 = - 2(x6- x3y - 32)

Câu 4: (2 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trờn cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đườngthẳng CD ở F.Chứng minh rằng :

Câu 5 (5đ) Cho nửa đờng tròn(O) đờng kính AB và một điểm M

trên nửa đờng tròn đó (M A; B) N là điểm đối xứng với O qua AM

a) Chứng minh tứ giác OANM là hình thoi

b) Gọi P; Q; Rlà trọng tâm của các tam giác MAB; MAN; NAO Tứ giác OPQR là hình gì?

c) Chứng minh rằng khi M di động trên nửa đờng tròn thì PQ luôn đi qua một điểm cố định

(0,5®)

Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y)=(5;6) (0,5®)

b)Giải hệ (I) tìm được (1®)

(1®) (0,5®)

=> x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 do x Z => x {-1; -2; 1; 0; 1; 2} (0,75®) Xét các trường hợp (1,25®)

Câu 5(4đ)

a) ON AM tại H và HN=HO (0,5đ)

(O đối xứng với N qua AM)

HA = HM (đk vuông góc với dây)(0,5đ)

Vậy OANM là hình thoi (2 đờng chéo

Vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng) (0,5đ)

I R

H

hãy tính: A =

Câu 4: (5điểm)

Cho hai đờng tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài tại A (R>R’) Vẽ các

đờng kính AOB, AO’C Dây DE của đờng tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC

a) Tứ giác BDCE là hình gì? vì sao?

b) Gọi I là giao điểm của CE với đờng tròn (O’) C/M ba điểm D, A,

hớng dẫn chấm đề số 12 Câu 1: (5 điểm)

a) ĐKXĐ: x 0; x 0,5

đ

z 2 x 2

y 2

c) Víi ®iÒu kiÖn x ; x ta cã: 0,25®

P- = - = <0 0,5 ®

P< 0,25 ®

C©u 2: (5 ®iÓm)

a) Khi m = 1

1,0 ®

b) Ta thÊy: x = (m + 3) y 0,5 ®

(m – 2) ( m + 3)y + 4y = m – 1

(m2 + m – 2)y = m – 1 0,5 ®

Vậy + với m = 1 hệ vô nghiệm: Bất kỳ, x = 4y

AIC vuông tại I AI IC (0,5 đ)

Mặt khác BD//EC vì là các cạnh đối của hình thoi

Các đờng thẳng AD, AI cùng đi qua A và vuông góc với hai đờng

thẳng song song (BD; EC) nên A, D, I thẳng hàng (0,5 đ)

c) DI vuông tại I có IK là trung tuyến tơng ứng với cạnh huyền nên KI

= KE = KD (0,75đ)

O

K

O’

C B

D

A