Các quy tắc tính đạo hàm1.. Đạo hàm của một số hàm số thờng gặp.. Các quy tắc tính đạo hàm Ký hiệu U=Ux, V=Vx.. U x′ - Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng, h
Trang 1Các quy tắc tính đạo hàm
1 Đạo hàm của một số hàm số thờng gặp (Ký hiệu U=U(x))
( )C ′=0 (C là hằng số)
( )x ′=1
( )x n ′=n.x n-1 (n ∈ N, n ≥ 2) ( )U n ′=n.U n-1 U′
′
x
1
=-2
1
x
U
1
=-2
U
U′
′
)
( x =
x
2
1 (x>0)
( )′
U
U
2
′
2 Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
(U ±V)′ = U′ ±V′
( )UV ′ = U′V +U V′
)
(k U ′ = k.U′ (k là hằng số)
′
V
V
V U V
U′ − ′
′
V1 = - 12
V
3 Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)].
'
g x = f ' u U x′
- Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thơng các hàm số
- Tính đợc đạo hàm hàm số hợp
A.Ví dụ tự luận
VD1 Tính đạo hàm của các hàm số
1/ y=2x5-3x4+x3
-2 1
x2+1
Trang 22/ y=
2
1
x4
-3
4
x3+
4
1
x2+3x-2 3/ y=2x2 (x-3)
4/ y=
1
2
+
+
m
mx
với m là tham số khác -1
Giải
1/ Ta có:
'
y = 10x4-12x3+3x2 –x
2/ Ta có:
'
y = 2x3- 4x2+
2
1
x+3 3/ Ta có:
y= 2x3- 6x2
⇒ y'= 6x2-12x
4/ Ta có:
y=
1
+
m
m
x+
1
2
+
m Do m là tham số khác (-1), nên
'
y =
1
+
m
m
VD2 Tính đạo hàm các hàm số
1/ y=
1
1
+
1 4
1
3 2
−
+ +
x
x x
2/ y=
1
2
+
−
x
x
4/ y=(3x-2)(x2+1)
Giải:
1/ Ta có:
'
y = -( 1 ) 2
)' (
+
+
x
x
= -( 1 ) 2
1
+
x ∀x≠-1
2/ Ta có:
Trang 3y = ( 1 ) 2
)' ).(
2 ( ) 1 )'.(
2 (
+
+
−
− +
−
x
x x
x x
= ( 1 ) 2
) 2 ( ) 1 (
+
−
− +
x
x x
=( 1 ) 2
3
+
x ∀x≠
-1
3/ Ta có:
'
y = 2 2 2
) 1 4 (
)' 4 )(
1 3
( ) 1 4 ( )' 3
(
−
− +
+
−
− +
+
x
x x
x x
x x
2
) 1 4 (
4 ).
1 3
( ) 1 4 )(
1 6
(
−
+ +
−
− +
x
x x x
x
= 2 2
) 1 4 (
5 6 12
−
−
−
x
x x
∀x≠
4 1
4/ Ta có:
'
y = ( 3x− )'(x2+1) - (3x-2)(x2 + )'
= 3(x2+1)-(3x-2).2x
= 3x2+3- 6x2+4x
= -3x2+4x+3
VD3 Tính đạo hàm của các hàm số
1/ y= x 1 x+ 2
2/ y= x(x2- x+1)
3/ y=
x
x
−
+
1
1
Giải:
1/ Ta có:
'
y = (x) ′ 1 x+ 2 +x( )′
+ 2
1 x
= 1 x+ 2 + 2
2
1 x
x
2
1
2 1
x
x
+ +
2/ Ta có:
'
y = ( x) ′ (x2- x+1) + x (x2 − x+ 1 ) ′
Trang 4=
x
x
2
1
x 2 − + +
x
(2x-x
2
1
)
=
x
x x
2
1
2 − + + 2x
x-
2
1
∀x > 0 3/ Ta có:
'
y = ( )
x
x x
x x
−
′
− +
−
−
′ +
1
1 ) 1 ( 1 ) 1
(
=
x x
x x
−
−
+ +
−
1
1 2
1 1
=
x x
x x
−
−
+ +
−
1 ) 1 (
2
1 ) 1
(
2
=
x x
x
−
−
+
−
1 ) 1 ( 2
3
∀x <1 VD4 Tính đạo hàm hàm số
1/ y= (2x+3)10
2/ y= (x2+3x-2)20
2
a x
x
+ (a là hằng số)
Giải:
1/ Ta có:
'
y = 10(2x+3)9.( 2x+ )'
= 20(2x+3)9
2/ Ta có:
'
y = 20(x2+3x-2)19.(x2 + 3x− 2 ) ′
= 20(x2+3x-2)19.(2x+3)
3/ Ta có:
'
y = ( 2)' 2 22 22( 2 2)
a x
a x x a x x
+
′ +
− +
Trang 5=
2 2
2 2
3 2
2
2
a x
a x
x a
x x
+
+
− +
= 2 2 3
2 3
) (
2
a x
xa x
+
−
VD5 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C ): y=x3-3x+7 1/ Tại điểm A(1;5)
2/ Song song với đờng y=6x+1
Giải:
Ta có: y'= 3x2-3
1/ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là
k = y'(1) = 0
⇒Phơng trình tiếp tuyến cần viết là:
y = 5
2/ Gọi tiếp điểm là M(x0;y0)
y0= x0 -3x0+7
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6
⇒ y'(x0) = 6
⇔3x02-3 = 6
⇔x0 = ± 3
Với x0 = 3 ⇒y0=7.
⇒Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6 3
Với x0 =- 3 ⇒y0=7
⇒Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6 3
VD6 Cho hàm số y=
1
1
2
+
+ +
x
x x
Giải bất phơng trình khi y' ≥0
Giải:
Trang 6Ta có:
+ y'=
2 ) 1 (
)' )(
1 (
) 1 ( )'
+
+ + +
− + + +
x
x x x x
x x
) 1 (
) 1 (
) 1 )(
1 2 (
+
+ +
− + +
x
x x x
x
= 2
2
) 1 (
2
+
+
x
x x
∀x ≠-1
Do đó: y' ≥0 ⇔ 2
2
) 1 (
2
+
+
x
x x
≥0
⇔
≥ +
−
≠
0 2
1
x
x
⇔
≥
−
≤
0
2
x x
B Ví dụ trắc nghiệm
Chọn những phơng án đúng trong ví dụ sau:
VD7 Cho hàm số y=
1 2
1
+
x , khi đó y' ( 2 ) bằng
A
5
1
B
5
1
25
1
D
25
1
−
VD8: Cho hàm số y= 2x, khi đó y' ( 4 ) bằng
2 2
1
C
2
4 2
VD9 Cho hàm số y=(x+1)5, khi đó y' ( − 2 ) bằng
VD10 Cho hàm số y=2x- x, khi đó y'(1) bằng
A
2
1
B
2
3
tại
Trang 7VD11 Cho hàm số y=
2
1
−
+
x
x
, khi đó y'(−1) bằng
C.-2
1
D.-3 1
VD12 Cho hàm số y=2x3-3x2+3, khi đó phơng trình 'y =0 có nghiệm
A x=0 và x=1 B x=0 và x=-1 C x=1 và x=3 D x=-1 và x=3
VD13 Cho hàm số y=( )2
3 2
1
+
x Đạo hàm 'y bằng
A.( )4
3 2
4
+
−
3 2
1
+
−
3 2
2
+
−
3 2
4
+
−
x
VD14 Cho hàm số y=
1 2
4
+
+
x
x
, đạo hàm 'y bằng
A
( )2
1 2
7
+
1 2
7
+
−
1 2
5
+
1 2
5
+
−
x
VD15 Cho hàm số y=
x
x2 +1, khi đó tập nghiệm của phơng trình 'y >0 là
A S =(-∞;−1]∪[1;+∞) C S =(-∞;−1)∪(1;+∞)
B S =(-∞;0))∪[1;+∞) D S = (−∞;−1)∪(0;+∞)
VD16 Cho hàm số y=
1 4
3
+
−
x
x
, khi đó bất phơng trình y'<0 có tập
nghiệm là:
A S =(− ;+∞
4
1 ) B S =[− ;+∞
4
1 ) C S =[3;+∞) D S≠φ
Đáp án:
VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15 VD16
IV Bài tập.
A Bài tập tự luận
Trang 8Bài1 Tính đạo hàm của các hàm số:
1/ y=x3 -2x2+x- x +1 7/ y= x+3+ 4−x
2/ y=
3 2
1
−
+
x
x
8/ y=( 2 )7
3
−
x
3/ y=
2
2 2
2
+
+
+
x
x x
9/ y=(x-2) x2 +1
4/ y=
x
x
−
+
1
1
10/ y=(x2 −2)2 + x2 +4 5/ y= 2x2 +3x+4 11/ y=(x+1) x2 + x+1
9 x
x
3
2
+
+
+
x
x x
H
ớng dẫn:
1/
x x
x y
2
1 1 4 3 '= 2 − + − , ∀x>0 7/
x x
y
−
− +
=
4
1 3
2
1
với-3<x<4
3 2
5 '
−
−
=
x
2
3
≠
∀x 8/ y'=14x(x2 −3)6
2
2
2 4 '
+
+ +
=
x
x x
1
1 2 2
'
2
2
+
+
−
=
x
x x
y
4/ Ta có:
y=1-x
−
1
2
4 )
2 (
4 '
2
2
+ +
−
=
x
x x
x y
( )2
1
1 '
x x
y
−
−
=
3 )
1 2 ( 2
11 '
2
+
−
=
x x x
y
5/
4 3 2
2
3 4 '
+
=
x x
x y
6/
2
9
2 9 '
x
x y
−
−
= với -3< x <3
Trang 9Bµi 2 Cho hµm sè: y= 3 2 1
3
− +
1/ 'y lµ b×nh ph¬ng cña mét nhÞ thøc
2/ y'≥0 ∀x∈R
3/ 'y <0 ∀x (0;1)∈
4/ 'y >0 x∀ >0
H
íng dÉn:
Ta cã: y′=x2 −6x+2m=g(x)
1/ Ta ph¶i cã:
∆′=0 ⇔9−2m=0
⇔m=
2 9
2/ Ta ph¶i cã:
∆′≤0 ⇔9-2m 0≤
2
9
≥
3/ Ta ph¶i cã:
<
<
0 ) 1 (
0 ) 0 (
g
g
⇔
<
+
−
<
0 2 5
0 2
m
m
⇔m<0 4/ Ta ph¶i cã:
+ HoÆc ∆′<0 ⇔m >
2 9
+ HoÆc
<
>
>
∆′
0 2
0 ) 0 ( 0
S
g HÖ v« nghiÖm
Trang 10Bài 3 Viết phơng trình tiếp tuyến của (c ) y=x3-3x2 biết tiếp tuyến vuông góc
với đờng thẳng y= x
3 1
H ớng dẫn:
+ Ta có y′= 3x2-6x + Gọi (x0;y0) là tiếp điểm, y0=x03 -3x0
Ta phải có:
3x02-6x0=-3 ⇔x0=1 =>y0=-2
=> phơng trình tiếp tuyến là: y=-3x+1
Bài 4 Cho đờng cong (c)): y=
3
1
−
+
x
x
Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của (c) với trục ox Biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y =-x+1
H
ớng dẫn:
+ Ta có y′= 2
) 3 (
4
−
−
x
+ Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1
+ Gọi (x0; y0) là tiếp điểm, y0=
3
1
0
0
−
+
x x
Ta phải có:
=
=
<=>
−
=
−
−
5
1 1
) 3 (
4
0
0 2
x x
+ Ta có 2 tiếp tuyến là
y = -x và y = -x+8
+ Từ đó suy ra kết quả
B Bài tập trắc nghiệm
Chọn phơng án đúng trong các bài tập sau:
Trang 11Bài 4 Cho hàm số y =
x
2
1 , y′ ( 1 ) bằng
A
2
1
B
2
1
−
Bài 5 Cho biết hàm số y =
1
1 2
−
+
x
x
, y′(−1) bằng
A
4
3
4
3
C
2
1
D
2
1
−
Bài 6 Cho hàm số y = x+1, y′(2) bằng
Bài 7 Cho hàm số y =(1-3x)6, y′(0)bằng
Bài 8 Cho hàm số y = 2x2 +1, Khi đó tập nghiệm của bất phơng trình y′ ≥ 0
là:
A S =IR B S =[0;+∞) C S = (0 ;+∞) D S = φ
Bài 9 Cho hàm số f(x)= x2+3x-1 và g(x) = 2x-3 Bất phơng trình f′(x)≥g′(x)
có tập nghiệm là:
A S = φ B S = ; )
2
1 (− +∞ C S = ; )
2
1 [− +∞ D –S = φ
Bài 10 Hàm số y=
4
3 2
+
−
x
x
có
) 4 (
11
+
=
′
x
) 4 (
11
+
−
=
′
x
) 4 (
5
+
=
′
x
) 4 (
5
+
−
=
′
x y
Bài 11 Hàm số y = x x có
A
x
y
2
1
=
x
y
2
3
=
2
3 x
y′=
Bài 12 Hàm số y = x3+2x2-mx+1 có y′ > 0 ∀x∈IR, khi đó tập các giá trị của m là:
3 2
1
D
-3 2 1
Trang 12A T= ]
3
4
; (−∞ − B T= (
3
4
;−
∞
− ) C T = (−∞;1] D T= (−∞;1)
Bài 13 Hàm số y =
2
−
x
mx
có y′<0∀x∈IR \{2}Khi đó tập các giá trị của m là:
A T= ; )
2
1 (− +∞ B T= (
2
1
;−
∞
− ) C T = (−∞;0) D T= (−∞;0] Bài 14 Hàm số y = (2x+3)10 có
A y′=10(2x+3)9 B y′=10(2x+3)10 C y′=20(2x+3)9 D y′=20(2x +3)10 Bài 15 Hàm số y = x2 −3x+5có
A
5 3
2
=
′
x x
x y
B
5 3 2
3 2
−
=
′
x x
x y
C
5 3
−
=
′
x x
x y
D
5 3
3 2
−
=
′
x x
x y
Đáp án:
B4 B B5.A B6.C B7.D B8.B B9.C B10.A B11.D B12.B B13.A B14.C B15.B