các dạng toán 7

Chuyên đề toán 7 : Khai thác bài toánI> Đặt vấn đề: Toán học là chìa khoá vạn năng để tiến công vào mọi lĩnh vực khoa học.. Khi học toán các em thờng ỉ lại, lời suy nghĩ, học một cách th

Chuyên đề toán 7 : Khai thác bài toán

I> Đặt vấn đề:

Toán học là chìa khoá vạn năng để tiến công vào mọi lĩnh vực khoa học Phơng pháp t duy đặc thù của toán học là phơng pháp suy luận logic đòi hỏi ngời học toán phải luôn tích cực tự giác, chủ động sáng tạo do đó phần lớn các em ngại học toán (50%) Khi học toán các em thờng ỉ lại, lời suy nghĩ, học một cách thụ động, khuôn mẫu, lý thuyết xuông, thờng bắt chớc một cách máy móc lời giải của thầy, không có khả năng tìm tòi sáng tạo Vì vậy để học sinh học tốt môn toán thì công việc của ngời thầy phải tạo sức thu hút thuyết phụ, niềm say

mê khát vọng trong học tập, tạo cho học sinh tính năng động, phát triển t duy

độc lập sáng tạo (sáng tạo trong tiếp thu kiến thức, sáng tạo trong vận dung kiến thức), khả năng suy nghĩ óc phê phán , tìm tòi qua việc giải quyết những bài toán

có tính logíc cao Để làm đợc điều đó đòi hỏi mỗi ngời thầy luôn luôn chịu khó tìm tòi, học hỏi và tích luỹ

Không dừng lại ở mỗi bài toán đã giải, nếu mỗi ngời thầy trong quá trình giảng dạy chú ý đến vấn đề khai thác kết quả mỗi bài toán trong sách giáo khoa tởng chừng nh đơn giản thì ở sau nó rất nhiều điều mới mẻ thú vị đó là tinh thần tiến công trong toán học là phẩm chất mà mỗi ngời làm toán cần rèn luyện Với tôi trong quá trình tham gia giảng dạy trực tiếp, học hỏi nhiều ngời, học trong tr-ờng s phạm, học trong sách báo cũng có đ… ợc chút ít kinh nghiệm về cách khai thác kết quả từ bài toán đơn giản trong sách giáo khoa để các bạn đồng nghiệp tham khảo

II> Nội dung:

1) Cách khai thác

- Trong tiết dạy lý thuyết tôi yêu cầu các em xem trớc bài sắp học (bằng cách đọc chậm kết hợp với suy nghĩ đối chiếu với vốn tri thức đã có, nắm sơ lợc kiến thức của bài), ghi lại những thắc mắc và và đến lớp với những câu hỏi có sẵn trong đầu Trong tiết luyện tập học sinh càng có điều kiện phát huy năng lực sáng tạo qua việc khai thác các bài toán

- Từ một bài toán đơn giản bằng cách phát hiện ra những tính chất mới của bài toán, bằng cách diễn đạt bài toán dới những hình thức khác, đi sâu khai thác khía cạnh , các trờng hợp lý thú, biết thay đổi giả thiết, lật ngợc vấn đề , tổng quan hoá, đặc biệt hoá, tơng tự, xét bài toán chứng minh dới dạng quỹ tích hay dựng hình dới các dạng biến hình nh đối xứng trục, đối xứng tâm,phép quay .đều là những công cụ đắc lực để ngời thầy cũng nh học sinh sáng tạo , khai thác để đề xuất đợc nhiều bài toán mới

- Để khai thác tốt các bài tập ra cho học sinh cần đợc chọn lọc để tìm đúng bài cần thiết, ra đúng thời điểm Bài dễ chuẩn bị trớc bài khó, bài trớc là một gợi

ý cho cách giải bài sau; cứ thế học sinh có thể tự mình giải quyết đợc những vấn

đề mới đặt ra (không nên luôn đặt học sinh trớc những bài toán khó, quá sức làm, các em sẽ choáng ngợp, mất tự tin, làm các em dễ nản lòng )

Theo tôi các em học sinh khá giỏi không cần làm quá nhiều các bài tập toán, mà chỉ cần làm một lợng vừa đủ, điều quan trọng là phải hiểu đợc cái nút riêng của từng bài xác định hớng đi đúng đắn, biết vận dụng các kiến thức liên

quan gỡ dần để tìm ra kết quả bài toán đồng thời hiểu đợc cách giải chung của từng nhóm bài tơng tự Có kiến thức vững chắc dễ suy luận, nhiều em học sinh giỏi đã biết giải toán một cách chọn vẹn, linh họat chuyển hớng giải quyết khá nhanh khi gặp bế tắc

Sau đây là một số những ví dụ minh họa

2 Những ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán 1:











+

−

−

−

1

1 1

1 ).

1 ( )

x x

x x

Đây là bài toán rút gọn bằng cách biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ

ở lớp 8

+

− +

−

− +

− +

=

) 1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( ) 1 ( 1 ).

1 )(

1 ( ) (

x x

x x x

x x

x x f

=x + 1 - x + 1+ x2 -1

= x2 + 1

Từ kết quả của bài toán này ta có thể đặt ra các bài toán sau để học sinh thấy rõ đợc mục đích của việc học các phép biến đổi đồng nhất

Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức:

1 1

1

1 1

1 ) 1









+

−

−

x x

Bài này thực chất là bài 1 rút gọn biểu thức nhng nếu học sinh không nắm

đợc phơng pháp chứng minh đẳng thức thì cũng rất lúng túng khi làm bài ⇒ làm bài 2 để củng cố phơng pháp chứng minh đẳng thức

Bài toán 3 : Tính giá trị của biểu thức:









+

−

−

−

1

1 1

1 1

2

x x

x x

Bài toán 4: Giải phơng trình f(x) = 5

Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)









+

−

−

−

1

1 1

1 ).

1 ( )

x x

x x f

1 1

1 1

1 1

+

−

− + +

− + +

−

x x

x x x x x

x

x + ≥ ∀

= 2 1 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x)=1 khi và chỉ khi x=0

Nhận xét: Nếu đổi dấu biểu thức ta có:











+

−

−

−

−

=

1

1 1

1 ).

1 ( )

x x

x x

f

1 ) 1 (

1 1

1 1 1

2

+

−

− + +

− + +

−

−

=

x x

x x x x x

1 1

2 − ≤ −

−

= x

Giá trị lớn nhất của -f(x) = -1 Vậy ta có bài toán 6:

Bài toán 6:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:









+

−

−

−

1

1 1

1 1 )

x x

x x

Bài toán 7: Chứng minh biểu thức:









+

−

−

−

1

1 1

1 1 )

x x

x X f

luôn dơng với mọi giá trị thích hợp của biến

Ví dụ 2:

Bài toán 1: CMR

a2 + b2 + c2≥ ab + bc+ ac

⇒ 2M = ( a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2

Nhận xét: Khi thay c bằng một số bất kì ta đợc các bài toán mới

Bài toán 2: ( Với c = 1) CMR:

a2 + b2 + 1 ≥ ab + b + a Bài toán 3: ( Với c= -1) CMR:

a2+ b2 + 1 ≥ ab - b - a

Đặc biệt đối với lớp 9 thay c= 2003 ta đợc bài toán 4

Bài toán 4: ( Với c= 2003) CMR

a b

ab b

a2 + 2 + 2003 ≥ + 2003 + 2003

Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac Bài toán 6: Tìm GTLN của biểu thức:

N = 2003 - a2 -b2 - c2 + ab + bc + ac

Ví dụ3

Bài toán 1: Muốn viết tất cả các số tự nhiên từ 1→ 99phải dùng bao nhiêu chữ

số 5?

(Bài 5a trang 15 SGK toán 6)

Giải:

Cách 1: Ta liệt kê các chữ số chứa chữ số 5 Đó là

5;15;25;35;45;50;51;52;53;54;55;56;5 7;58;59;65;75;85;95 Đếm chữ số 5 ta

đ-ợc 20 chữ số 5 từ 1→99

Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đã liệt kê các số chứa chữ số 5 Đó cũng

là cách giải hợp lệ Tuy nhiên cách giải trên sẽ gặp một số khó khăn, phức tạp trong trờng hợp số lợng các số liệt kê quá lớn (chẳng hạn từ 1→999) Vậy có quy luật gì trong dãy số trên hay không? hình nh chúng hơn kém nhau 10 đơn vị: 5; 15; 25 Nh… ng rồi quy luật lại thay đổi, đó là các số tự nhiên liên tiếp từ

50→59, sau đó nhảy cách 6 đơn vị (59 nhảy sang 65) rồi lặp lại quy luật hơn

Phải chăng không tìm đợc quy luật gì để đếm các chữ số 5?

Cách 2: Bây giờ ta xétt riêng các chữ số 5 ở hàng đơn vị thì chữ số 5 lặp lại sau

10 số(5;15;25 85;95)… → có 10 chữ số 5 ở hàng đơn vị Lại xét riêng các chữ số

5 ở hàng chục thì chữ số 5 cũng có mặt 10 lần (ở các số 50; 51 59).…

Vậy chữ số 5 có mặt 20 lần.

Nh vậy ta đã tìm đợc cách đếm các chữ số 5 theo phơng pháp “bổ dọc” (đếm từng hàng) Vận dụng phơng pháp này để đếm chữ số 5 trong bài toán 2

Bài toán 2: Khi viết tất cả các số tự nhiên từ 1→999 phải dùng bao nhiêu chữ số 5?

Giải

+ Các số chứa các chữ số 5 ở hàng đơn vị

5; 15;25; 995 gồm … 1 100

10

5

995− + = (số) + Các số chứa chữ số 5 ở hàng chục:

50; 51 59 gồm có 10 số… 150; 151;159 gồm 10 số

………

950;951 959 gồm 10 số…

→ có 10.10 =100 (số) chứa chữ số 5 ở hàng chục Vậy tổng cộng có 100+100+100=300 (chữ số 5)

Nhận xét: Ta xét xem nếu thay “chữ số 5 ” bởi chữ số 6 chẳng hạn Tổng quát

(bởi chữ số a ≠ 0) Ta đi đến một bài toán tổng quát hơn bài toán 2

Bài toán tổng quát: “thay chữ số 5” bởi chữ số “a ≠ 0”

Vậy nếu a=0 ta lại có bài toán tổng quát mới

Bài toán 3: Khi viết tất cả các số tự nhiên từ 1→999 phải dùng bao nhiêu chữ số 0

Giải: Rõ ràng là số lợng các chữ số 0 ít hơn số lợng các chữ số 5 cụ thể là:

- ít hơn hàng đơn vị là 1 chữ số (không viết số 0)

- ít hơn hàng chục 10 chữ số (không viết chữ số 0 ở hàng chục của các số 00; 01; 02; ;09 ).…

- ít hơn ở hàng trăm 100 chữ số ( không viết chữ số ở hàng trăm của các số

000, 001, 002, , 099).…

Nh vậy khi viết các số tự nhiên từ 1→ 999 số lợng mỗi chữ số ≠ 0 là 300, còn số lợng chữ số 0 là

300 - 111 =189

Nhận xét:

1) Ta thấy nếu bổ xung chữ số 0 vào để mọi số từ 0→999 đều có 3 chữ sốthì mọi chữ số từ 0→ 9 đều bình đẳng, số lợng mỗi chữ số đều nh nhau Do đó

ta có thêm cách 2 giải bài toán 2

Xét các số tự nhiên từ 000→999 có 1000 số gồm:

3.1000 =3000 chữ số

Mỗi chữ số từ 0 → 9 đều có số lợng nh nhau, mỗi chữ số đợc viết 3000 : 10=300 (lần)

2) Từ việc bổ xung các chữ số 0 để đợc dãy mới 000; 001, ,999kết hợp… với phơng pháp đếm chữ số 5 ở từng hàng (phơng pháp bổ dọc) ta có 3 cách giải bài toán 2

Gọi các số cần đếm có dạng: 5ab;a5b;ab5 ; ( 0 ≤a;b≤ 9 )

+ Xét dạng: 5ab

Ta thấy chữ số a có 10 cách chọn (từ 0 → 9).

Với mỗi cách chọn của a, chữ số b có 10 cách chọn (từ 0 →9)

Vậy có 10.10.1=100 số (dạng 5ab)

+ Xét các số dạng a5 b

Ta thấy chữ số a có 10 cách chọn (từ 0 → 9)

Với mỗi cách chọn của a, chữ số b có 10 cách chọn (từ 0 →9)

Vậy có 10.10.1=100 số (dạng a5 b)

+ Xét các số dạng ab5

Tơng tự ta có 10.10.1=100 số (dạng ab5)

Vậy tổng cộng có 100 + 100 + 100 =300 (cs5)

3) ở bài toán 1: Khi viết các số tự nhiên từ 1→ 99, số lợng mỗi chữ số từ

1→ 99 là 20 chữ số

ở bài toán 2: Khi viết các số tự nhiên từ 1→ 999; số lợng mỗi chữ số từ

1→ 9 là 300 chữ số

Lại tổng quát các bài toán trên; khi thay 99; 999 bởi   

9

99

9

ncs ta đi đến bài toán 4

Bài toán 4: Khi viết các số tự nhiên từ 1 →   

9

99

9

ncs phải dùng bao nhiêu chữ số 5; chữ số 0?

ĐS: n   

0 ) 1 (

0

00

cs

n− chữ số 5

 





−

−1 0 / 1

1

11 0

000

s nc cs n

n   chữ số 0

Nhận xét: Từ cách giải thứ 3 của bài toán 2, nếu ta thu hẹp phạm vi bài

toán thay yêu cầu đếm chữ số 5 bởi yêu cầu đếm số chứa chữ số 5 trong dãy từ

1→ 999 ta có bài toán 5

Bài toán 5: Có bao nhiêu số chứa ít nhất 1 chữ số 5 trong dãy từ 1→ 999

Giải: Ta bổ xung thêm cac chữ số 0 để đợc dãy mới

000; 001;002; ;999 (1)…

+ Số không chứa chữ số 5 của dãy 1 có dạng: abc ( 0 ≤ a; b; c≤9 & ≠ 5) Vậy mỗi chữ số a; b;c đều có 9 cách chọn từ (0 → 9≠ 5)

Tất cả có : 9.9.9 = 729 số (không chứa chữ số 5)

Số các số không chứa chữ số 5 từ 1→999 là: 729 -1 =728

Số các số chứa ít nhất một chữ số 5 trong dãy từ 1 → 999 là:

999 - 728 = 271 số:

Nhận xét: Dễ thấy kết quả không thay đổi nếu ta thay chữ số 5 bởi 1 chữ

số khác, chữ số 1 chẳng hạn, tổng quát bởi “chữ số a ≠ 0” ta đi đến một bài toán tổng quát hơn bài toán 5

Bài toán tổng quát thay việc đếm số chứa ít nhất một chữ số bởi bài toán

đếm số chứa ít nhất một chữ số a ≠ 0 trong dãy từ 1→ 999 không dừng lại ở dãy

từ 1 → 999 ta xét dãy: 1→ 9999 ta có bài toán 6

Bài toán 6: Có bao nhiêu số chứa ít nhất một chữ số5 trong dãy số tự nhiên từ 1

→ 9999

Giải tơng tự bài toán 5 ta đợc:

Số không chứa chữ số 5 của dãy 0000; 0001; ; 9999 có dạng…

abcd (0≤ a;b; c; d ≤9; a ; b; c; d ≠ 5) Gồm 9.9.9.9 số (không chứa chữ số 5)

+ Số các số chứa ít nhất một chữ số 5 của dãy 1→ 9999 là

9999 - (9.9.9.9 -1) = 3439 số

Nhận xét:

ở bài toán 5 : Trong dãy số tự nhiên từ 1→ 999 số lơng các số chứa ít nhất

1 chữ số (trong các chữ số từ 1→ 9) là

999 - (9.9.9 -1) =271 số

ở bài toán 6: Trong dãy số tự nhiên từ 1→ 9999 số lợng các số chứa ít nhất

1 chữ số ( trong các chữ số từ 1→ 9) là

9999- (9.9.9.9 -1)= 3439 số

Lại tổng quát bài toán trên khi thay 99; 999; 9999 bởi 99 9 (n chữ số 9)…

ta đi đến bài toán 7:

Bài toán 7: Có bao nhiêu số chứa ít nhất 1 chữ số 5 trong dãy tự nhiên từ 1 →

99 9 (n chữ số 9)…

ĐS: 99 9 (9.9.9 9 1)

9 / 9

/

−

−  







s nt s

Ví dụ 4:

Bài toán 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số

2

13

−

+

n

x

là phân số tối giản

2

15 1 2

15 2 2

− +

=

−

+

−

=

−

n n

n n

n

Để phân số

2

13

−

+

n

n

là tối giản thì phân số

2

15

−

n là phân số tối giản

⇒ ( 15 ; n-2 ) =1 Vì 15  3 ; 15  5 ⇒







−

− 5 2

3 2





n

n

⇒ 22 53 ⇒ ≠≠53 ++22

≠

−

≠

−

k n

k n k n

k n

(k ∈ N; k ≠ 0)

Nhận xét: Nếu ta thay điều kiện phân số tối giản bởi trờng hợp ngợc lại:

phân số có thể rút gọn đợc ta có bài toán 2

Bài toán 2 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số

2

13

−

+

n

n

có thể rút gọn đợc

Cách 1: Từ kết quả phân tích bài toán 1 ta thấy:

Để phân số

2

13

−

+

n

n

có thể rút gọn đợc thì phân số

2

15

−

n phải rút gọn đợc

⇒ ƯCLN (15; n-2) ≠ 1, Vì 15 có ớc ≠ 1 là 3; 5; 15

⇒











+

=

+

=

+

=

⇒











−

−

−

2 15

2 5

2 3

15 2

5 2

3 2

k n

k n

k n n

n n







Cách 2: Tìm ngay ƯSCLN (n+13; n-2)

⇒ Ta cũng có kết quả tơng tự

Nhận xét: Xét bài toán 2 trong trờng hợp đặc biệt giá trị phân số

2

13

−

+

n

n

là số tự nhiên ta có bài toán 4:

Bài toán 4: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số

2

13

−

+

n

n

có giá trị là một số tự nhiên

Giải: Từ kết quả bài toán 1 ta thấy

Để phân số

2

13

−

+

n

n

có giá trị là một số tự nhiên thì phân số

2

15

−

n cũng phải

có giá trị là một số tự nhiên.⇒ 15 n− 2 hay n-2 ∈ Ư (15)













=

=

=

=

−

⇒

15 5 3

1 2

n

+ Với n-2 =1 ⇒ n=3

+Với n- 2 =3 ⇒ n=4

+ Với n-2 =5 ⇒ n=7

+Với n-2= 15 ⇒ n=17

Nhận xét: từ kết quả baì tập 4 ta thấy.

2

15 1 2

− +

=

−

+

n n

n

ta có bài toán 5:

Bài toán 5: Tìm điều kiện của số tự nhiên n để phân số

2

13

−

+

n

n

có giá trị lớn nhất

và giá trị đó bằng bao nhiêu?

2

15 1 2

15 2 2

− +

=

−

+

−

=

−

n n

n n

n

Để phân số

2

13

−

+

n

n

có giá trị lớn nhất thì phân số

2

15

−

n có giá trị lớn nhất Phân số

2

15

−

n có giá trị lớn nhất ⇔n-2 có giá trị lớn nhất ⇒ n=3 (vì n-2 ∈

N; n-2 ≠ 0)

Vậy với n= 3 thì phân số

2

13

−

+

n

n

có giá trị lớn nhất = 16

Nhận xét: Lấy nghịch đảo của phân số

2

13

−

+

n

n

ta có bài toán 6

Bài toán 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số

13

2 +

−

n

n

tối giản Giải

Ta có

13

15 1 13

15 13 13

2

+

−

= +

− +

= +

−

n n

n n

n

Để phân số

13

2 +

−

n

n

là phân số tối giản thì phân số

13

15 +

n phải tối giản

⇒ (15; n+13) =1

Mà 15 = 3.5 ⇒ ( ; 0 )

13 5

13 3 5

13

3 13

≠

∈







−

≠

−

≠

⇒





 +

+

k N k k n

k n n

n





Nhận xét : Ngợc lại với phân số tối giản là phân số có thể rút gọn đợc ta

có bài toán 7:

Bài toán 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số

13

2 +

−

n

n

có thể rút gọn đợc Giải: từ kết quả bài 6 ta thấy:

Để phân số

13

2 +

−

n

n

có thể rút gọn đợc thì phân số

13

15 +

n phải rút gọn đợc

ƯSCLN (15; n+13) ≠ 1

3 5

1 3 5

3

3 1 5

13

3 13

≠

∈







−

=

−

=

⇒





 +

+

⇒





 +

+

k n

k n n

n n

n









Nhận xét: Xét trờng hợp đặc biệt của bài toán 7 khi phân số

13

2 +

−

n

n

có giá trị là một số tự nhiên ta có bài toán 8

Bài toán 8: Tìm điều kiện của số tự nhiên n để phân số

13

2 +

−

n

n

có giá trị là một số

tự nhiên

Giải: Từ kết quả bài 6 ta thấy:

Để phân số

13

2 +

−

n

n

có giá trị là một số tự nhiên thì phân số

13

15 +

n phải có giá trị là một số tự nhiên

⇒15 n+ 13 hay n+ 13 ∈ Ư (15) ⇒ n=2 (vì n ∈ N)

13

2 ≥ +

−

n

n

ta có bài toán 9 Bài toán 9: Với giá trị nào của số tự nhiên n để phân số

13

2 +

−

n

n

có giá trị nhỏ nhất; giá trị đó bằng bao nhiêu?

Giải: từ

13

15 1 13

15 13 13

2

+

−

= +

− +

= +

−

n n

n n

n

ta thấy

Để phân số:

13

2 +

−

n

n

có giá trị nhỏ nhất thì ps

13

15 +

n phải có GTLN t/m

+

∈ +

n 13

15

Phân số

13

15 +

n có giá trị lớn nhất t/m ∈ +

+

n 13

15

Khi đó ps

13

2 +

−

n

n

có giá trị nhỏ nhất là 0

15

15 1 13

2 = − = +

−

n n

Ví dụ 5:

Bài toán 1: Cho m ∈ N chia m cho 5 thì số d có thể là những số nào?

( Bài 6 - trang 35 - SGK toán 6)

Giải: Khi m:5 thì số d có thể là một trong các chữ số sau 0;1; 2; 3; 4 ( vì số d <

số chia)

Nhận xét: Nếu thay số 5 bởi số khác (≠ 0) , số 7 chẳng hạn ta cũng đợc kết

quả tơng tự.( số d có thể là một trong các số từ 0→ 6) Tổng quát hơn ta thay số

5 bởi số n ≠ 0 ta có bài toán 2 tổng quát hơn bài toán 1

Bài toán 2: Cho A ∈ N, chia A cho n (n ∈ N; n ≠ 0) thì số d có thể là những số nào?

Nhận xét: Nếu ta thay n bằng số cụ thể , kết hợp tính chất chia hết của một

hiệu ta có bài toán 3

Bài toán 3: Chứng tỏ rằng nếu hai số không phải là bội của 3 mà khi chia cho 3 cũng có số d thì hiệu của chúng chia hết cho3

Giải: Gọi hai số đó là a và b (a; b ∈ N; a≥ b)

Ta có: a=3q1 +r (1)

b = 3q2 +r (2)

Do a ≥ b nên q1 ≥ q2 trừ từng vế hai đẳng thức (1) và(2) ta có:

3q1 q2 

b

Vậy hiệu hai số đó chia hết cho 3

Nhận xét: Vẫn lại xét về số d trong phép chia cho 3 ta thấy hai số chia cho

3( không là bội của 3) mà khi chia cho 3 có số d khác nhau (d là 1 và 2) thì tổng

d chia hết cho 3⇒ tổng hai số đó chia hết cho 3 ta có bài toán 4

Bài toán 4: Chứng tỏ rằng nếu hai số không là bội của 3 mà khi chia cho 3 có số

d khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 3

Ta có: a =3q1+r1 b= 3q2 + r2 Vì ; 0 & ; { }1 ; 2 3

3

2 1 2

1 ≠ ∈

⇒







r r r

r b

a





Do đó r1 ≠ r2 ⇒ r1 + r2 =3

Vậy a+b = 3(q1+ q2)+(r1 +r2)

= 3(q1+q2) +3

= 3 (q1+q2+1) 3 Vậy tổng a+b 3

Nhận xét: Tổng quát bài toán 3 ta có bài toán 5

Bài toán 5 : Chứng minh rằng nếu hai số a va b có cùng số d trong phép chia cho

m (m ∈ N; m ≠ 0) thì hiệu a- b chia hết cho m

Nhận xét: Lại vẫn xét về chuyên đề đồng d kết hợp áp dụng nguyên lý

ĐiRiKLê ta có một số bào toán sau:

Bài toán 6: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn đợc hai số có hiệu chia hết cho 5

Giải: Khi chia một số cho 5 d có thể là một trong 5 số sau: 0; 1; 2; 3; 4 Vậy trong 6 số bao giờ cũng ∃ hai số khi chia cho 5 cùng số d Vậy hiệu của hai số chia hết cho 5

Nhận xét: Xét bài tóan 6 trong phạm vi rộng hơn ta có bài toán 7.

Bài toán 7: Chứng minh rằng có thể tìm đợc số có dạng19931993 199300 0… … chia hết cho 1994

Giải: Xét 1994 số có dạng:

1993; 19931993; ; 19931993 1993 (1994 lần 1993) Mỗi số trên đều… …

là số lẻ nên không số nào chia hết cho 1994

Khi chia số này cho 1994 ta nhận đợc 1993 số d (1→ 1993) Vì có 1994

số mà chỉ có 1993 loại số d Nên theo nguyên lý ĐiRiKlê ít nhất phải có hai số khi chia cho 1994 có cùng số d, do đó hiệu của chúng chia hết cho 1994 và số

đó có dạng19931993 199300 0 … …

Nhận xét: Hoàn toàn tơng tự, thay việc xét các số có dạng 1993;

19931993; ;19931993 199300 0 bằng việc xét các số chỉ toàn chữ số 1 và… … …

0 ta có bài toán 8

Bài toán 8: Tồn tại hay không một số tự nhiên khác 0 chia hết cho 1994 mà khi viết số tự nhiên này chỉ cần dùng chữ số 0 và chữ số 1

Giải : tơng tự bài toán 7

Xét 1994 số dạng: 1; 11; 111; ;111 111 ( 1994 số 1)… …

Đs: Có tồn tại số tự nhiên n chia hết cho 1994 (n ≠ 0 ) mà n chỉ gồm toàn

chữ số 0 và chữ số 1

Nhận xét: Tổng quát bài toán 8 ta có bài toán 9

Bài toán 9: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n (n ≠ 0) thì trong hệ thập phân luôn tồn tại một số chia hết cho n mà khi viết chỉ dùng hai chữ số 0 và 1

Giải: Xét số ai =11 1 (có i chữ số 1) ( với i=1; 2; ;m) Các số này khi… … chia cho n các số d nhận giá trị là:

0; 1; 2;3; ; n-1…

Vậy nếu m>n thì có hai số có cùng số d khi chi cho n Vậy hiệu hai số đó chia hết cho n và chỉ dùng hai chữ số 0 và 1

Nhận xét: áp dụng kết quả các bài toán trên ta có thể đứa ra bài toán sau.

Bài toán 10: Với k ∈ N Timg giá trị nhỏ nất của k để lúc nào cũng cọn đợc hai

số trong k số đó có hiệu chia hết cho 2001

ĐS: Giá trị nhỏ nhất cần tìm của k là 2002

Nhận xét: Tổng quát bài toán 10 ta có bài toán 11

Bài toán 11: Với k ∈ N Tìm giá trị nhỏ nhất của k để lúc nào cũng chọn đợc hai

số trong k số đó có hiệu chia hết cho n (n ∈ N; n ≠ 0)

ĐS: Giá trị nhỏ nhất cần tìm của k là k= n+1

Ví dụ 6:

Bài toán 1: Cho 5 điểm: A; B; C; D; E Vẽ các đờng thẳng đi qua từng cặp hai

điểm Có thể có bao nhiêu đờng thẳng trong hình vẽ? ( các đờng kẻ trùng nhau chi kẻ một đờng thẳng)

Giải:

+ Nếu 5 điểm thẳng hàng thì có 1 đờng thẳng

+ Nếu 4 đờng thẳng hàng thì có 5 đờng thẳng