SANG KIEN KINH NGHIEM CAC DANG TOAN CASIO

ĐẶT VẤN ĐỀ Hiện nay đa số học sinh khi đến trường học đều trang bị cho mình một chiếc máy tính điện tử bỏ túi để cho tiện trong việc tính toán khi làm bài tập.. Trong khi lý thuyết trình

Trang 1

DẠY SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ BỎ TÚI

GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƯỜNG THCS

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Hiện nay đa số học sinh khi đến trường học đều trang bị cho mình một chiếc máy tính điện tử bỏ túi để cho tiện trong việc tính toán khi làm bài tập Song hầu hết các em đều không biết vận dụng hiệu quả máy tính phục vụ cho tính toán, giải bài tập toán nói riêng và các bài tập có liên quan đến tính toán khác nói chung

Mặt khác trong chương trình cải cách sách giáo khoa mới lượng bài tập nhiều và có rất nhiều bài tập cần phải sử dụng đến máy tính bỏ túi Trong khi lý thuyết trình bày trong một tiết dạy nhiều, phần lớn không được chứng minh mà công nhận là chủ yếu, các thuật toán để giải một số dạng toán không được trình bày đầy đủ; trong sách giáo khoa các nội dung về sử dụng máy tính điện tử bỏ túi thường chỉ được trình bày ở phần “Bài đọc thêm” Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh khai thác được hết tính năng của chiếc máy tính bỏ túi trong việc giải các bài toán đơn giản, các bài toán có thuật toán, các bài toán có qui luật như dãy số, chuỗi …

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nếu trình bày cho các em các phương pháp sử dụng máy tính cùng với thuật giải để giải nhanh một số dạng toán có trong chương trình sẽ giúp cho học sinh hứng thú học tập hơn, tiếp cận tốt với chương trình toán đổi mới một cách nhanh chóng hơn Với ý tưởng như trên tôi xin nêu ra một giải pháp “sử dụng máy tính điện tử bỏ túi giải nhanh một số dạng toán ở trường THCS”

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

Ngay từ khi chưa có toán, loài người đã biết sử dụng công cụ thô sơ (những

viên sỏi, sợi dây, ) để làm tính Qua từng thời kỳ, mặc dù được coi là "làm việc chỉ

với cây bút chì và tờ giấy", phương pháp giảng dạy và nghiên cứu toán học bao giờ

cũng kèm theo sự hỗ trợ của công cụ như hình vẽ, bàn tính, Tuy nhiên, chỉ với máy

tính, các công cụ hỗ trợ giảng dạy mới có tính năng động: khác với bảng số là bảng tính cố định, máy tính có khả năng tính với độ chính xác cao với dữ kiện ban đầu tùy

ý Để nâng cao chất lượng dạy và học, thầy và trò cần phải đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng tích cực, năng động và sử dụng một cách hiệu quả các thành tựu công nghệ mới Với máy tính điện tử và mạng Internet, toán học phổ thông có khả năng tiếp cận tốt hơn tới toán học hiện đại Vì vậy, vấn đề là:

- Làm thế nào để học sinh phổ thông có thể tiếp cận được với những thành tựu mới, thậm chí mới nhất, của toán học hiện đại?

- Từ đây, phải chăng, sẽ hình thành một phong cách học tập mới mang đậm tính chủ động, ham mê khám phá và sáng tạo?

Trang 2

Trong khi đó bài tập toán rất đa dạng và phong phú, việc giải nhanh các bài toán sẽ giúp cho các em học sinh cảm thấy hiệu quả hơn trong quá trình học tập, đồng thời nó trang bị cho học sinh một kỹ năng phân tích tìm ra thuật giải cho một công việc Đây là một nội dung rất quan trọng tạo cho các em hứng thú, cơ sở để tiếp cận với nội dung Giải toán nhanh bằng máy tính điện tử khá phổ biến hiện nay trong chương trình THCS Đồng thời tạo tiền đề cho học sinh khi học cấp 3 hoặc bậc học cao hơn trong các môn học về cấu trúc dữ liệu, lập trình - thuật giải …

Đối với những bài toán có thể giải nhanh bằng máy tính điện tử nó sẽ giúp cho học sinh biết định hướng được kết quả bài tập và tìm ra lời giải đúng, đồng thời nó giúp cho học sinh kiểm tra lại kết quả các bài tập mình giải nhanh hơn, chính xác hơn Rộng hơn nữa các em có thể tự tìm tòi sáng tạo ra một tính chất, hệ quả nào đó hay một qui luật toán học lý thú Điều này sẽ giúp cho các em hứng thú hơn trong học tập, tạo tiền đề cho những ý tưởng tìm kiếm những giải pháp ứng dụng toán học trong cuộc sống sau này

Do đó, sử dụng máy tính điện tử bỏ túi giải nhanh các bài toán sẽ giúp cho giáo viên tiết kiệm được thời gian; giúp cho học sinh rèn luyện được khả năng tính toán chính xác và lập luận lôgíc

II GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN BẰNG MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ BỎ TÚI

(a) Nếu bài toán chưa thấy ngay dạng thì cần phải phân tích biến đổi đưa về dạng toán đã có sẵn thuật giải

(b) Giải bằng chương trình cài đặt sẵn hoặc chương trình tự lập

(c) Nhập dữ liệu và chạy chương trình giải (có cài đặt sẵn hoặc đã tự lập)

Ví dụ: Phân tích tam thức bậc hai F(x) = ax2 + bx + c thành nhân tử

(a) Yêu cầu bài toán là phân tích đa thức thành nhân tử Với bài toán này ta có thể phân tích như sau:

2

2 2

2

Ta có: F(x) = ax bx c

a x

b Đặt b 4ackhiđó F(x) a x

Nếu 0thì F(x) 0.Lúcđo ùF(x) không t

(c)

Nắm vững

thuật toán đúng bài toánNhận dạng Giải theo thuật giải bằng MT Kết quả

Trang 3

2 b Nếu 0thì F(x) = a x

2a

(b) Với phân tích trên thì chỉ cần xác định được  ta sẽ phân tích được bài toán Do đó, chỉ cần cài đặt chương trình để tính  trong máy tính ta sẽ giải được bài toán với hệ số tùy ý

(c) Thay giá trị của các hệ số vào chương trình đã cài đặt rồi so sánh với 0 Tùy vào kết quả so sánh ta phân tích F(x) thành nhân tử theo các trường hợp ở bước (a)

Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức A = 6x2 + 7x + 2 thành nhân tử

(Qui trình với máy Casio Fx 500 MS)

Ấn: ALPHA B x2  4 ALPHA A ALPHA C 

(//Màn hình máy tính sẽ hiện biểu thức: B2 – 4AC)

Ấn tiếp: 6 SHIFT STO A 7 SHIFT STO B 2 SHIFT STO C

(//Gán các hệ số cho biểu thức)

Ấn tiếp:     (//Màn hình hiện kết quả 1)

Vậy  > 0 nên: A =                     

III CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

1 Dạng 1: Tìm ước chung lớn nhất – Tìm bội chung nhỏ nhất

(Chương trình Toán lớp 6)

1.1 Tìm “Ước chung lớn nhất” - Toán 6 – Tập 1.

Các bước giải

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó

Tích đó là ƯCLN.

Như vậy sau bài học này để tìm được ƯCLN của hai số học sinh phải thực hiện đầy đủ cả ba bước trên Điều này chỉ phù hợp khi các em luyện tập về cách tìm ƯCLN, trong nhiều trường hợp việc tìm ƯCLN chỉ là một bước nhỏ trong bài giải toán, nếu áp dụng cách trên sẽ làm mất rất nhiều thời gian Do đó giáo viên có thể trình bày cho các em các thuật toán sau đây để kết hợp với máy tính bỏ túi tìm nhanh kết qủa:

 Thuật toán 1 (Thuật toán Euclide)

Cở sở thuật toán: Giả sử a = bq + c (c 0) thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,c).

Thuật toán: a = bq + r1 (0 < r1 < b)

b = r1q1 + r2 (0 < r2 < b)

r1 = r2q2 + r3 (0 < r3 < b)

Trang 4

rn-2 = rn-1qn-1 + rn (0 < rn < b)

rn-1 = rnqn (rn+1 = 0) Thuật toán kết thúc khi số dư rn+1 = 0

Như vậy ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r1) = ƯCLN(r1,r2) = … = ƯCLN(rn-1,rn) = rn

Ví dụ minh họa 1.1.a: Tìm ƯCLN(7752;5472)

Ấn: 7752 5472  Đáp số: 1,416666667 (số dư khác 0)

1 x 5472

2 x 2280

2 x 912

Vì 2 là số nguyên (hay số dư rn+1 = 0 trong thuật toán) vậy ƯCLN(7752;5472) = 456

 Thuật toán 2

Cở sở thuật toán: Nếu a cb d và phân số dc tối giản thì ƯCLN(a,b) = a:c (=b:d)

Ví dụ 1.1.b: Tìm ƯCLN(7752;5472)

Ấn: 7752 a 5472  Đáp số: b / c 1217

7752 17  Đáp số: 456

Vậy ƯCLN(7752;5472) = 456

1.2 Tìm “Bội chung nhỏ nhất” - Toán 6 – Tập 1.

Các bước giải

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó Tích

đó là BCNN.

Như vậy sau bài học này giáo viên có thể trình bày cho các em thuật toán sau đây để kết hợp với máy tính bỏ túi tìm nhanh kết qủa:

Cở sở thuật toán: Muốn tìm BCNN(a,b) ta sử dụng công thức sau:

a.b BCNN(a,b)

ƯCLN(a,b)



Vì học sinh đã được biết cách tìm ƯCLN(a,b) nên việc tìm BCNN(a,b) trở nên dễ dàng hơn với các em

Ví dụ 1.2.: Tìm BCNN(7752;5472)

Trang 5

Ấn: 7752 a 5472 b / c Đáp số: 1217

7752 17  SHIFT STO A Đáp số: 456

(//Ta được: ƯCLN(7752;5472) = 456)

Ấn tiếp: 7752 x 5472  ALPHA A  Đáp số: 93024

Vậy BCNN(7752;5472) = 93024

2 Dạng 2: Liên phân số

Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó

Bài toán: Cho a, b (a>b)là hai số tự nhiên Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b,

phân số ab có thể viết dưới dạng: 0 0 0

0

b

Vì b0 là phần dư của a khi chia cho b nên b > b0 Lại tiếp tục biểu diễn phân số

1

0

1

b

Cứ tiếp tục quá trình này sẽ kết thúc sau n bước và ta được:

0

1

n 2 n

b

1

1 .a

a





 Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân số, nó được viết gọn a ,a , ,a0 1 n Số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số

Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số 0 1

n 1 n

1

a





 về dạng ab Dạng toán này được gọi là tính giá trị của liên phân số Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng dạng biểu diễn của liên phân số đó

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ví dụ 2.a: Tính giá trị của

1

3 2

 



Giải -

Ấn các phím: 3 1 a b/ c 2 2 1 a  b/ c Ans 1 1 a  b/ c Ans  SHIFT ab/ c ( )23

16

Trang 6

Ví dụ 2.b: Biết

1

a b





trong đó a và b là các số dương Tính a,b?

Giải

Ta có:



Vậy a = 7, b = 2

Nhận xét:  Dạng toán tính giá trị của liên phân thuộc dạng toán kiểm tra

kỹ năng tính toán và thực hành Trong thực hành, liên phân số có bị biến thể đi đôi chút ví dụ như:

8,2

3,12

2



với dạng này thì nó lại thuộc dạng tính toán

giá trị biểu thức Do đó cách tính trên máy tính cũng như đối với liên phân số (tính từ dưới lên, có sử dụng biến nhớ Ans)

3 Dạng 3: Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Lý thuyết: “Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc

vô hạn tuần hoàn Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu

diễn một số hữu tỉ”.

Như vậy những số thập phân vô hạn tuần hoàn như: 0,(31); 0,0(31), … sẽ có thể biểu diễn được dưới dạng số hữu tỉ hay về dạng phân số Giáo viên có thể dạy cho học sinh biết cách biến đổi các số như vậy về dạng phân số bằng cách kết hợp thuật

toán và máy tính bỏ túi (nếu không sử dụng máy tính bỏ túi việc tính toán sẽ phức tạp

hơn rất nhiều lần) như sau:

Nhận xét: Dùng máy tính bỏ túi ta tính được 1 0,(1); 1 0,(01); 1 0,(001);

Như vậy với các số sau dấu phẩy là chu kỳ ta đều có thể viết được về dạng phân số có mẫu là 9; 99; 999; … Chẳng hạn như: 0,(31) 31

99

 ; 0,(541) 541

999

Ví dụ 3a: Đổi số thập phân 1,5(42) ra phân số.

Ta biến đổi như sau: 1,5(42) 1,5 0,1.0,(42) 15 1 42 15 42

10 10 99 10 990

Dùng máy tính để tính: 15 a 10 42 a 990b / c  b / c  Đáp số: 509

330 Vậy 1,5(42) = 509330

4 Dạng 4: Lãi kép – Niên khoản

Trang 7

Bài toán mở đầu: Gởi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng

là r% trong n tháng Tính cả vốn lẫn lãi A sau n tháng?

Giải

Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:

Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)

Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2

………

Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n

Vậy A = a(1 + r) n (*)

Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn

lãi sau n tháng.

Từ công thức (*) A = a(1 + a)n ta tính được các đại lượng khác như sau:

1)

A

ln

a

n

ln(1 r)





; 2)r n A 1

a

  ; 3) A a(1 r) (1 r) 1n

r

Ar a

(1 r) (1 r) 1



(ln trong công thức 1 là Lôgarit Nêpe, trên máy fx-500 MS và fx-570 MS phím ln ấn trực tiếp)

Ví dụ 4.1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng Tính

cả vốn lẫn lãi sau 8 tháng?

Giải

Ta có: A = 58000000(1 + 0,7%)8

Ví dụ 4.2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021

000đ Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng?

Giải

Số tháng tối thiểu phải gửi là:

70021000 ln

58000000 n

ln 1 0,7%





b/ c

Kết quả: 27,0015 tháng Vậy tối thiểu phải gửi là 27 tháng

(Chú ý: Nếu không cho phép làm tròn, thì ứng với kết quả trên số tháng tối thiểu là

28 tháng)

Ví dụ 4.3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61

329 000đ Tìm lãi suất hàng tháng?

Giải

Trang 8

Lãi suất hàng tháng: r 8 61329000 1

58000000

b/ c x

Ví dụ 4.4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng Hỏi sau 10

tháng thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

Giải Số tiền lãnh cả gốc lẫn lãi:

A

580000 1 007 ( 1 007 ^10 1 )    007

Kết quả: 6028055,598

Ví dụ 4.5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao

nhiêu mỗi tháng Với lãi suất gửi là 0,6%?

Giải

a

100000000 1 006 ( 1 006 ( 1 006 ^10 1 ) )   

Kết quả: 9674911,478

Nhận xét:  Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm:

+ Gửi số tiền a một lần -> lấy cả vốn lẫn lãi A

+ Gửi hàng tháng số tiền a -> lấy cả vốn lẫn lãi A

 Cần phân tích các bài toán một cách hợp lý để được các khoảng tính đúng đắn

 Có thể suy luận để tìm ra các công thức từ 1) -> 4) tương tự như bài toán mở đầu

 Các bài toán về dân số cũng có thể áp dụng các công thức trên đây

5 Dạng 5: Đa thức

(Chương trình Toán lớp 7 và 8)

5.1 Tính giá trị của đa thức

Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …

Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức

để tính

Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)

    dưới dạng P(x) ( (a x a )x a )x )x a 0  1  2   n

Vậy P(x ) ( (a x0  0 0 a )x1 0a )x2 0 )x0 an Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2;

…; bn = bn-1x0 + an Suy ra: P(x0) = bn

Trang 9

Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.

Giải trên máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M

- Thực hiện dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak

Ví dụ 5.1.a: Tính    

3 2

A 4x x 3x 5 khi x = 1,8165

Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans

Aán phím: 1 8165 

Kết quả: 1.498465582

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X

Aán phím: 1 8165 SHIFT STO X

Kết quả: 1.498465582

Chú ý:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy

fx-220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp

tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá

trị của biến x nhanh bằng cách bấm CALC , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị

của biến x ấn phím là  xong Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán

giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị

Ví dụ 5.1.b: Tính    

3 2

A 4x x 3x 5 khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321

Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:   235678

SHIFT STO X

Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím  là

xong

5.2 Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r,

trong đó r là một số (không chứa biến x) Thế x b

a

 ta được P( ba) = r

Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(

b

a

 ), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1

Ví dụ 5.2: Tìm số dư trong phép chia:P= x14 x9  xx 1,6245x4x2 x 723



Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723

Ấn các phím: 1 624 SHIFT STO X

ALPHA X ^ 14 ALPHA X ^ 9 ALPHA X ^ 5 ALPHA X ^ 4 ALPHA X ^ 2

ALPHA X 723

Kết quả: r = 85,92136979

Trang 10

Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P( ba) Như vậy bài toán trở về dạng toán 5.1

Ví dụ 5.3: Xác định tham số

5.3.1 Tìm a để x47x32x 13x a2  chia hết cho x+6

- Giải - Số dư a ( 6) 47( 6) 2 6 3  213 6 

Ấn các phím: ( )  6 SHIFT STO X

( )  ( ALPHA X ^ 4  7 ALPHA X x3  2 ALPHA X x 2  13 ALPHA X )



Kết quả: a = -222

5.2.2 Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?

Giải –

Số dư a2 = -3 3 317 3 625  

  => a =  3 3 317 3 625  

3

( ) ( 3 ( ( ) 3 )  x 17 ( ( ) 3 )  625 ) 

Kết quả: a = 27,51363298

Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757 Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298

5.4 Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức

Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3

Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát

Ví du ï 5.4 : Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5 Giải

Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1

Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756

5.5 Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức

Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n

Tiêu đề	Dạy sử dụng máy tính điện tử bỏ túi giải nhanh một số dạng toán ở trường thcs
Tác giả	Nguyễn Tấn Phong
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	659,5 KB