bất đẳng thức có giải

Tìm giá trị nhỏ nhất.

1 Giả sử a≥ 0,b≥ 0, a + b = 1.Chứng minh rằng:

a 2 2 1

2

a +b ≥ b 3 3 1

4

a +b ≥

Giải

Cho a≥ 0, b≤ 0, a + b = 1

a) Chứng minh: 2 2 1

2

2

b) Chứng minh: 3 3 1

4

a b

a b a b a ab b a b ab a b  +  a b

+

2 Cho 3 số dương a ,b ,c sao cho1 1 1 3

a + + =b c Chứng minh rằng : (1 +a)(1 +b)(1 + ≥c) 8

Giải : Cho a, b, c > 0 và 1 1 1 3

a+ + =b c

Ta có:

1 1 1 3 3abc ab bc ca 33 2 2 2a b c abc 1

Chia 2 vế bất đẳng thức cần chứng minh cho abc ta được:

 +  +  + − ≥

Ta có:

a b c ab bc ca abc

ab bc ca abc a b c

4 33 2 2 2 abc1 7

a b c

4 3 7 (do abc 1)

abc abc

4 4 0 (do abc 1)

abc

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : f x y( , ) x44 y44 2 x22 y22 x y

= + −  + ÷+ +

  với x y, ≠ 0

Giải

Tìm giá trị nhỏ nhất của: Đặt t x y

y x

= +

Điều kiện:t ≥ 2

Suy ra:

• 2 2 2 2 2 2 2 2

Do đó f(x) trở thành :

( )

4 4 2 2 2 2 2

4 6 2 6 3

' 4 12 1

z t t t

Bảng biến thiên:

Suy ra:

( , ) 4

f x y ≥ − và khi x=-y thì f(x,y)= -4 Vậy: Min f(x, y) = -4

4 Giả sử x và y thì các số thay đổi thoả mãn :x > 0 , y > 0 và x+ y =1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P 1x 1y

Giải

x > 0, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

P

Ta có:

'

Bảng biến thiên:

Vậy pmin = 2 khi x= =12 y

5 Cho x ,y ,z >0 Chứng minh rằng :

3 2 3 2 3 2 2 2 2

2

x y + y z +z x ≤ x + y +z

Giải

Chứng minh:

2 x3 2 2 y3 2 32 z2 12 12 12 (x , y, z 0)

x y + y z + z x ≤ x + y + z >

Ta có:

.

6 Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 ta luơn cĩ ( ) ( ) ( )2

1 +x 1 +y ≥ + 1 xy

Giải

14

Giải

15

16

Giải

17

Giải

18

Giải