ĐỀ THI HSG 12 (15)

Gọi V, V1 lần lợt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN... I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD... Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12M«n: To¸n.

đề thi học sinh giỏi lớp 12

Môn: Toán - Bảng A

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: Cho phơng trình:

m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Giải phơng trình trên với m=1

2) Tìm m để phơng trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt ;5

2 2

x∈ − π π 

Bài 2:

1) Giải phơng trình (Sinα)x + (tgα)x = (α)x

(với x là tham số, 0 < x <

2

π )

2) Tìm a để phơng trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt

32-  x - Sin a +1  logπ (x2 + 4x + 6) + ( 3)− −x2 4x.logπ 2(x Sina− 1 + +1 1)=0

Bài 3: Với mọi ∆ABC, ∀k∈ 0,3

4

 

 

  Chứng minh:

Cos − +Cos − +Cos − ≤Cosk A−π +Cosk B−π +Cosk C−π

Bài 4: Xét hai dãy số: { } { } +

+



 >



 = +







= +





1 1 1

1

1

; ; voi

1 (i=1, 2 )

i

i i

i

b

a

b

Chứng minh (a2006 + b2006)2 > 16039

Bài 5: Cho tứ diện ABCD

1) Gọi αi (i= 1, 2, , 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l… ợt là các cạnh của tứ diện

Chứng minh: α

=

≤

∑6

1

2

i i

2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng (α) quay quanh AG, cắt DB tại

M và cắt DC tại N Gọi V, V1 lần lợt là thể tích của tứ diện ABCD và

DAMN Chứng minh:

1

9 ≤ V ≤ 2

V

3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lợt là: Sa, Sb, Sc, Sd I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD Chứng minh:

S IA S IB S IC S ID

Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12

M«n: To¸n B¶ng A

Víi m =1; Ph¬ng tr×nh  =

 2

0

Cosx

π





 =









= −  = ± +



x=

2

k Cosx

1

2

Ph¬ng tr×nh  =

 2

0

Cosx

* Cosx =0 Cã 2 nghiÖm: =π 3π

; x=

x

* Ycbt ⇔ 4Cosx2 - 2 Cosx +m - 3 =0



Cã 2 nghiÖm t1, t2 tháa m·n: − < < < <





2

1 0 1: (a) 0<t<1=t (b)

* Trêng hîp (b) lo¹i (v× nÕu t2=1 th× t1<0)

* Trêng hîp (a) ⇔ − < ⇔

<



( 1) (0) 0

1< m < 3 (0) (1) 0

f f

VËy gi¸ trÞ m cÇn t×m: 1< m < 3

0,5

0,5

0,5

0,5

⇔ ÷ + ÷ =

Chøng minh: ∀ ∈u 0,π2 ÷ cã Sinu < u < tgu

0,5 0,5

0,5

nên: α α α π

 

< <1 : ∈0,2ữ

Sin tg

Khi đó









x =0: VT =2 > VP

x >0: VT > VP

x <0; VT> VP

⇒ Vậy phơng trình vô nghiệm

0,5

Đặt Sina -1 =m (-2≤ m ≤ 0)

ta luôn có: ∀x∈R thì:  + + ≥

 + ≥



2

2 x-m 2 2

x

nên TXĐ của phơng trình là R

− + + +

( 3)x x .log (x 4x 6) 3 x m log (2 x m 2) Xét hàm số: f(t) = ( )3 log ( ) : 2; +t π t [ ∞)

là hàm số đồng biến với ∀x∈[2; +∞)

nên phơng trình ⇔ x2 + 4x +6 = 2 x-m +2 (*)

⇔ 



2

2

2 2 4 0 : (1)

6 4 2 0 : (2)

Theo yêu cầu bài toán ⇔ (*) có 3 nghiệm phân biệt ⇔

≠









(1) có nghiệm kép x ;(2) có 2 nghiệm x

(2) có nghiệm kép x ;(1) có 2 nghiệm x

(1), (2) có 1 nghiệm chung; 2 nghiệm còn lại khác nhau

 = −







 = −





3 2 5 2 2

m

m

m

(loại)

Vậy theo yêu cầu bài toán:





 − = −





− = − 



 = +



6 3

2

6

- "2 2

k Sina

Sina

Có 3 họ giá trị của a cần tìm

0,5

0,25 0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 3 2

Mọi ∆ ABC có − <π − < ⇒ <π − ≤

(1) mà: ≤ −π ≤ 3 −π =1 − <π π

nên: −π ≥ 3 −π >

Cosk B Cos B (2)

Ta có:

Chứng minh tơng tự có:

1

Từ (a), (b), (c) suy ra (đpcm)

Dấu "=" khi A=B = C=

3

π ⇔∆ABC đều

0,5

0,5

0,5

0,5

Ta có Si = (ai + bi) (i=1,2,3 )…

Thì

2 2

i+1 i+1 i+1

2 2

2

1 1

S = (a + b ) = : (i=1,2, )

1 1

i i

i i

i i i i

i i i i

i i

a b

a b

a b

≥ + + + + ữ > + +

nên ta có: (a1 + b1)2 > 0

(a2 +b2)2 > 0

(a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + 8

………

(a2006 +b2006)2 > (a2005 + b2005)2 + 8

Cộng các bđt trên, ta có:

0,5 0,5

0,5

(a2006 +b2006)2 > 8 2005 = 16040 > 16039 0,5

C

A

I

A1 D1

M

H¹ IA1⊥ (BCD); ID1⊥ (ABC)

IB1⊥ (ACD); IC1⊥ (ABD)

Dùng A1M ⊥ BC ⇒ D M IM1 ⊥⊥BC BC



nªn ·A MD1 1= α1 (T¬ng tù víi α2…α6)

Ta cã:

2

2

2 2

6

i i=1

0

4 2 0

Cos 2 : (dpcm)

IA IB IC ID

r IA IB IC ID

r r Cosα Cosα Cosα

α

uur uuur uuur uuur

uur uuur uuur uuur

1,0

1,0

1,0

G

A'

A

B

C

D

O M

N







=

DAMN ABCD

A' lµ träng t©m BCD Gäi:

O lµ trung ®iÓm BC

V

V

T­ong tù

DB DC DA

dt DNA

dt DBC

+

=



 ≥



: (b)

Tõ (a), (b) suy ra:

y(3x-1) =x: (x ) y=

1

x 0 va x

1 3

x 2 1 T­ong tù, suy ra: ; 1

2 V

VËy:

y

dt DBC

x

x y

 

−

2 1

2

1 ( ) : ;1

Cã: f'(x) = =0 x=

x

x x x

vµ:

2

2 3

1

f(x) 1

2

4 9

1 2

4 V 1 1

9 V 2

0,5

0,5

0,5

0,5

I

P' D

A

B

C M'

M P

N'

N

Gọi











M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI)

N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI)

P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI)

vì I ở trong tứ diện, nên: M, M', thuộc các cạnh của tứ diện.…

Do: (DAM) là mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AD nên:

d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)]

điểm M∈ đoạn BC; nên: uuur= − c.uuuur

b

S

S

uuur uuuur r uur uuur uur uuur r

Chứng minh tơng tự:

Mặt khác: I ∈ MM' = (AMD) Λ (BCM')

nên các vecto uuur uuur uuuuurIM IM MM; '; '; song song

Vậy gọi vecto:

thì

( a b) ( c d) ')

v S S IM S S IM song song với uuuuurMM'

Chứng minh tơng tự: r uuuurv NN// ' và r uuurv PP// '

Nhng uuuuurMM'; NNuuuur'; uuurPP'; không đồng phẳng

0,5

0,5

0,5

0,5

nên: rv= 0 ⇒ (đpcm)

Chú ý:

1)Điểm toàn bài là điểm tổng cộng sau khi đã làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5)

2) Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng chính xác thì cho điểm tối đa của câu đó.