Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cõn tại A.. Cho hỡnh chúp S ABCD.. cú SA x và tất cả cỏc cạnh cũn lại cú độ dài bằng a.. Chứng minh rằng đường thẳng BD vuụng gúc với
Trang 1SỞ GD- ĐT HềA BèNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2010-2011
Mụn: Toỏn.
Ngày thi: 23/12/2010
(Thời gian làm bài 180' không kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (5 điểm)
1 Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số sau:
3 sin cos 2 7sin 2
2 Cho hàm số
1
x y
x (C) Lập phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến này cắt cỏc trục Ox, Oy lần lượt tại cỏc điểm A và B thỏa món OA = 4OB
Cõu 2 (6 điểm)
1 Giải phương trỡnh: 2sin (2 ) 2sin2 – tan
4
x x x
2 Giải phương trỡnh: 2 2 1
2
3 Giải hệ phương trỡnh:
6
Cõu 3 (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cõn tại A Gọi G là trọng tõm của tam giỏc đú, biết BC và BG lần lượt cú phương trỡnh là:
x y ;7x 4y 80,và đường thẳng CG đi qua điểm E ( 4;1)
Viết phương trỡnh đường cao AH
Cõu 4 (2 điểm) Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm:
x22mx 1 2x 2
Cõu 5 (4 điểm) Cho hỡnh chúp S ABCD. cú SA x và tất cả cỏc cạnh cũn lại cú độ dài bằng a 1 Chứng minh rằng đường thẳng BD vuụng gúc với mặt phẳng (SAC) 2 Tỡm x theo a để thể tớch của khối chúp S ABCD. bằng 3 2 6 a Cõu 6 (1 điểm). Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC biết: 2sin sin (1 cos ) 1A B C HẾT Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm Họ và tờn thớ sinh:
Số bỏo danh:
Họ tờn Giỏm thị 1 Chữ kớ
Họ tờn Giỏm thị 2 Chữ kớ
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
1
y x x x
Đặt t sinx điều kiện t 1
1;1
2
t x x k
2
t x x k
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
2
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm M x y( ; )0 0 cắt Ox tại A và Oy
tại B sao cho OA=4OB Do OAB vuông tại O nên tan A 1
4
OB OA
số góc của d bằng 1
4 hoặc 1
4
0
0
3
2 5
2
Khi đó có hai tiếp tuyến của (C) thỏa mãn bài toán là:
x y
Cách 2: Gọi tiếp tuyến tại điểm M x y( ; ) ( )0 0 C có dạng
0 0 2
1
x
(d) cắt Ox tại A cho y=0 tìm x suy ra 2
0 0
A x x
(d) cắt Oy tại B cho x=0 tìm y suy ra
2
0 0 2 0
0;
B
x
Theo giả thiết OA=4OB suy ra tìm được 0
0
3 1
x x
Từ đó ta có kết quả
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
1,0
Trang 32
(6đ)
1
ĐK:
2
x k
Phơng trình đã cho tơng đơng với phương trỡnh
(1 sin 2 ) osx x c sin 2xsinx sinx (1 sin 2 )( osx+sinx) x c 0
4
x
x
0,5
0,5
1,0
2 ĐK x 0 Phơng trình đã cho tơng đơng với
2
2
2
1 5
log
2 2 4
x x
x x
KL:
0,5
0,5
1,0
3
Phơng trình thứ nhất đặt t x y 0 ta được 2
2
6 0
3
t
t t
t
thay vào phơng trình thứ hai ta được phương trỡnh:
3 2 2 4 5 0 ( 1)( 2 5) 0 1
1 21 2
x x
+ x 1 y3
+ x1221 y7 221
+ x1 221 y7221
1,0
0,5
0,5
Câu
3
(2đ)
Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ
B 0; 2
Kẻ EF song song với BC F BG Vỡ tam giỏc ABC cõn tại A nờn đường
cao AH là trung trực của EF
Phương trỡnh đường thẳng EF: 1 x 4 2 y 1 0 x 2y 6 0.
Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ
F 4;5
1,0
Trang 4Tọa độ trung điểm I của EF: I 0;3 Phương trỡnh đường trung trực của EF:
2 x 0 1 y 3 0 2x y 3 0.
Câu
4
(2đ)
ĐK: x 1
Phơng trình đã cho tơng đơng với
2 2 1 4 2 8 4
x mx x x
2
Chia cả hai vế cho x 0( vỡ x 1)
1
m
KL:
0,5 1,0 0,5
Câu
5
(4đ)
Cỏch 1: Do B và D cách đều S,A,C nên BD(SAC)
Cỏch 2:
Gọi O là tâm của đáy ABCD Ta cú BDAC(tớnh chất của hỡnh thoi)
BDSO (do SBD cõn)
BD SAC
O
C
A
D B
S
Các tam giác ABD, BCD,SBD là các tam giác cân bằng nhau có đáy BD
chung nên OA=OC=OS Do đó ASC vuông tại S
Ta có:
2 2
a x
V V SC SA SO ax a ax a x
Theo giả thiết ta cú phương trỡnh:
3
2 2
3
x a a
ax a x
x a
1,0 0,5
0,5
1,0
1,0
Trang 56
(1đ)
2sin sin (1 cos ) 1A B C
cos(A B) cos(A B) (1 cos ) 1 C cos(A B) cosC(1 cos ) 1C
Do cos(A B ) 1 cos(A B ) cos C 1 cosC
2
Vậy đẳng thức xảy ra
0 0
0,5
0,5
Mọi lời giải đúng đều được xem xét và cho điểm tương ứng
HẾT