TÍCH PHÂN LUYỆN THI

TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC A.E.CLONG XUYÊN _ AN GIANG 55A TRẦN HƯNG ĐẠO PHAN HUY HOÀNG LƯU HÀNH NỘI BỘ... Hiệu fb –fa được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số fx... Ap dụng: 1 dx xco

TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC A.E.C

LONG XUYÊN _ AN GIANG

55A TRẦN HƯNG ĐẠO

PHAN HUY HOÀNG

LƯU HÀNH NỘI BỘ

Phan Huy Hoàng

TÍCH PHÂN Bài 1 : ĐẠO HÀM

1/ Công thức đạo hàm

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số

hợp( )

1

x / =

( )Uα / =α.Uα−1.U/

/ 2

/

U.U

1U

1gx

cot

xtg1xcos

1

tgx

xsinx

cos

xcos

x

sin

2 2

/

2 2

/ 2 /

/ /

/ /

UUsin

1gU

cot

UUcos

1tgU

U.UsinU

cos

U.UcosU

U.aln.aa

U.ee

1x

UU

log

U

UU

ln

/ /

a

/ /

7/ y = ln(x2+1) 8/ y = ln4(sinx)

9/ y =

xx

−

−

=

++α

=

+

=

1 n n

1

x)1n(

1dx

x

1

C1

xdx

x

Cxdx

=+

++α

+

=+

+

=

+ α α

Cbaxlna

1dxbax1

C1

)bax(a

1dxbax

Caxadx

1

Phan Huy Hoàng

x

3− 3/ f(x) = 2

4

x

3x

2 +

4/ f(x) = x +3 x +4 x

5/ f(x) =

x1x

1

−+ 6/ f(x) = 3 x

1x

1 − 7/ f(x) = tg2x 8/ f(x) = sin2x.cos3x

9/ f(x) = 2sin2

2

x 10/ f(x) = ex(1−ex)

11/ f(x) =

xsin.xcos

x2cos

2

2 12/ f(x) =

5x2

1+13/ Chứng minh rằng F(x) = xlnx – x là một nguyên hàm của

x

sin

1

Ctgxdx

x

cos

1

Cxcosxdx

sin

Cxsinxdx

cos

Caln

a

dx

a

Ce

dx

e

Cxln

x x

−

=+

++

=+

++

−

=+

++

=+

+

=

+

C)bax(gcota

1dx)bax(sin1

C)bax(tga

1dx)bax(cos1

C)baxcos(

a

1dx)baxsin(

C)baxsin(

a

1dx)baxcos(

Cea

1dxe

2 2

x b

ax

14/ Tìm một nguyên hàm cho hàm f định bởi

f(x) = 2x(x3+1).Biết rằng nguyên hàm này bằng

)x(P với bậc tử lớn hơn mẫu, ta chia tử cho mẫu Khi đó ta được

)x(R trong đó bậc R(x) ≤bậc Q(x)

* Do đó ta quan tâm việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỉ

xp

: Đặt

cb

x

B

ax

Ac

xb

)x(P

3 Đặt

bx

Db

x

Cb

x

Bax

Ab

1dx

1dxb

ax

1

2

Phan Huy Hoàng

−β

−α

=β

−α

1x

11

dxx

1dxax

1a

B)

1x(

A)

1x(

1x

+

++

=++

b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)= 3

)1x(

1x++

Đs: A = –2, B = 3, C

1x

3)

1x(

1)

x(

+

−+

=2/ ∫ − + dx

4x

x

2

3

4/ ∫ + +− dx

x2x

x

3x

2

2

2x3x

3x3x3

x

3 2

2x

5x4

x2

8/ ∫ ( + ) dx

1

10/∫ − + dx

6x

1x3

2 3 2

12/∫ − + − dx

)5x)(

2x(x

10x7

NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC

1/ Cần nhớ công thức :

( ) sinx C

a

1dxbax

sin + =− +

∫

( ) atg(ax b) C

1dxbaxcos

* Dạng ∫R(sinx)cosxdx đặt t = sinx

* Dạng ∫R(cosx)sinxdx đặt t = cosx

* Dạng ∫ ( ) dx

xcos

1tgx

R 2 đặt t = tgx

* Dạng ∫ ( ) dx

xsin

1gxcot

cos2 = +

,

2

x2cos1xsin2 = −

* Dạng ∫cosax.sinbxdx dùng công thức biến đổi

a

cos = + + −

)]

bacos(

)ba[cos(

2

1bsin

)ba[sin(

2

1bcos

)ba[sin(

2

1bsin

a

cos = + − −

Phan Huy Hoàng

* Dạng ∫ + + dx

cxsinbxcos

* Dạng ∫ dx

xsin

1 , đặt t = tg

2x

( Cần nhớ sinx = 2

t1

t2+ ,cosx = 2

2

t1

t1+

−)Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau

a) ∫sin2xcos5xdx b)∫sin3xcos2xdx

c) ∫ dx

x cos

x sin

4 d) ∫ dx

xcos

1

6

Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau

a) ∫sin2xcos2 xdx b)∫sin4xdx

c) ∫cos6 xdx d) ∫cos2xdx

e) ∫ dx

3

xsin

Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau

a) ∫ dx

xsin

1

b)∫ dx

xcos

1

c) ∫ + dx

xcos4

5

1

d) ∫ dx

xcos

1

4

Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau

a) ∫sin3xcos2xdx b)∫cosxcos3xdx

Bài 5 : tìm các nguyên hàm sau

Hiệu f(b) –f(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) Kí hiệu :

∫b = = −

a

b

a F(b) F(a))

x(Fdx)

a

dt)t(

f =∫b

a

du)u( 3.Các tính chất :

b

dx)x(

3/ ∫b =

a

dx)x(

f ∫c

a

dx)x( +∫b

c

dx)x(f

4/ ∫b =

a

dx)x(

k ∫b

a

dx)x(.k

5/ ∫b[ + ] =

a

dx)x(g)x( ∫b

a

dx)x(

f +∫b

a

dx)x(

g 6/

(b a)MMdx

b a

b a

*Đặc biệt, nếu f(x) ≥0 , ∀x∈[ ]a,b thì ∫b

a

dx)x( ≥08/ Nếu f(x) liên tục trên đoạn [ ]a,b

vàm≤f(x)≤M,∀x∈[ ]a,b thì m(b-a)≤ ∫b

a

dx)x(

f ≤a)

M(b-4.Bài tập :

Phan Huy Hoàng

1/∫3 + + −

dx

:Đsố: (2 2)3

4 − 2/∫1 +

0

3

dx1x

x

:Đsố :2

132

8

5ln4

7/∫π +

0

dxx2

9/∫π +

0

dxxsin

1 :Đsố 4 2

10/ a) Cho hàm số f(x) =

xcosxsin

xsin

Tìm a ,b để f(x) = a+b

xcosxsin

xsinxcos+

−

b) Tính ∫

π

2 0

dx)x(

f (Đsố

2

1b

a =− = , I =

4

π)11/ a) Tính đạo hàm của hàm số

F(x) = ln

1x2x

1x2x

2

2

++

+

−

Tính I = dx

1x

1x

1x22)x

4 Từ đó giải phương trình f(t) = 0

13/ Tính ∫1( + ) ∈

0

ndx;n N1

x Từ kết quả đó chứng minh rằng :

1+

1n

12

C1n

1

C3

1

−

=+

++

xgcot2

3

15/∫π −

0

2xdxsin

x

1x3x2

18/∫

0

1x2 4x 3dx

19/∫2 + +

0 2

3

dx1x2

1x

1x3

22/ dx

5x6

Bài 4: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SO

1.Tích phân đổi biến loại I :

⇒ dx = acostdt

* Dạng ∫ + dx

xa

tcos

1

a 2 @ Lưu ý : đổi biến phải đổi cận

Bài tập:Tính các tích phân sau

1/∫2 +

dxx4

1

Đặt x = 2 tgt, )

2

,2(

t∈ −π π

2/ ∫3 +

dxx3

1

Đặt x= 3 tgt, )

2

,2(

t∈ −π π

Phan Huy Hoàng

10x2x

2

1x2x

1x(

3tgt, )

2

,2(

4 Đặt x = 2sint, ]

2

,2[

t∈ −π π

7/∫2 −

1

0

2dxx4

1 Đặt x = 12sint, t∈[−π2,2π]

8/ x 4 x dx

2

0

2 2

∫ − Đặt x = 2sint, ]

2

,2[

/

ε

=ψ

ψ

@ Lưu ý : Sử dụng đổi biến loại II khi có mặt ψ( )x và đạo hàm của nó.Chẳng hạn

∫b [ ]

a

/ xdxlnxln

f = ∫b [ ]

a

dxx

1xln

f đặt t = lnx

Cụ thể : dx

x

1xln31

xsin2

dxxsin

4 12/∫1 −

0

2

2 1 x dxx

13/ π∫

0

dxxsinx

cos 14/ dx

xcos1

xsin

Phan Huy Hoàng

3

x2sin

x

1

27/ dx

xsin

1

2 4

31/ ∫2 + −

1

dx1x

1

xsinx

2

sin (KA-05) Đáp số:

2734

x2sin ( KA-06) Đáp số:

32

34/ dx

x2

sin

1

xsin

35/∫e +

1

dxx

xlnxln

3

1

(KB-04) Đáp số:

135116

1

xcos

x

ln 1 7ln2x

41/ dx

1x1

TÍCH PHÂN LIÊN KẾT

VÀ KẾT HỢP

Phan Huy Hoàng

1/Cho I = dx

xcosxsin

xsin

2

π-t Chứng minh rằng :I = J b) Tính I+J rồi suy ra giá trị của I,J Ap dụng:

1) dx

xcosx

sin

xsin

xdxsin

dx)xba(dx)x(f

Ap dụng tính : ∫π +

dxxcos1

xsinx

Bài 5 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG

a

vduuv

3.Hai dạng tích phân từng phần thường gặp

Dạng1: I = ( ) dx

xcosxsin

exp

x b

4.Bài tập: Tính các tích phân sau

2 3/∫π

0

2sinxdxx

ln

x 8/∫3 ( − )

2

2 x dxx

ln 9/∫e

1

xdxlnx

Phan Huy Hoàng

16)∫3 −

2

2 x)dxx

ln( (KD-04) Đáp số: 3ln3 –2

17) ∫1 −

0

xdxe)2x

( (KD-06) Đáp số:

4

e3

5 4 −

19/ )dx

x

1xln(

3ln9[3

1 ( đặt u =

xcos

1

dv = dx

xcos

1

2

thông qua dx ln(1 2)

xcos

1

4 0

dx)x(cosfdx)x

(sin

f HD:Đặt x = 2π−t2) Cho b >0 và f(x) chẵn liên tục trên R CMR

dx)x(f2dx

0dx)x(f

Tính: ∫ [ ]

−

+

1 1

3

2) dxx

1xln(

4) a) Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn

[–a, b] Chứng minh ∫b =∫ + −

a

b a

dx)xba(fdx)x(fb) Tính ∫

π

+

4 0

dx)tgx1ln( Đáp số : 8πln2

xsin2

2) Chứng minh:

2

2dxxx4

12

4x1

1 0

14

4 3

≤ 2

0

2 0

xdxsin2dxx2sin

6) Chứng minh:

7

2dxx8

19

2 1

≤+

Phan Huy Hoàng

"Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

* Nhận xét: + Việc tách ra2, 3 tích phân, hoặc không tách tuỳ thuộc số nghiệm phương trình f(x) = 0

+ Bước 2 có thể thay bằng việc vẽ đồ thị, hoặc lập bảng xét dấu f(x)

Chú ý : Nếu bài toán: " Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số x = f(y) ,hai đường thẵng y = a , y = b và trục Oy

" Thì s = ∫b

a

dy)y(

3/ x = 1 , x = e , y = 0 , y =

x2

xln

4/ y =

1x

1x3

x2

+

++ , x = 0 , x = 1 , y = 0

5/ y=xlnx; y=0; x=e (KB-07) Đsố:

27

)2e5( 3−π6/ parabol y = –x2 –2x +3, tiếp tuyến với (P) tại điểm

M (2, -5) và trục tung Đsố :

3

8đvdt

DẠNG II

được nghiệm x = c∈[a, b]

* Nhận xét: nếu chưa cho hai đường thẳng x = a, x= b

Thì giải phương trình trước , áp dung công thức

tính diện tích sau

Chú ý : Nếu bài toán: " Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số x = f(y) ,x = g (y) hai đường thẵng y = a ,y = b " Thì s = ∫b −

a

dy)y(g)y( Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

1/ y =

xsin

1

2 , y =

xcos

1

2 , x =

6

π , x = 3

π 2/ y = 2x , y = 3-x , x = 0 ( nên vẽ hình )

3/ y=(e+1)x, y=(1+ex)x (KA-07)

4/ y2 =2x, y=2x−2 Đsố:

4

9đvdt 5/ y = x2-2x ; y = -x2+4x

6/ y2-2y+x = 0 ; x+y = 0

7/ y = x2 −4x+3 và y = x+3 (KA-02) Đsố:

6

109đvdt

( vẽ hình =∫ +∫ +∫3

2

2 1

1 0

Phan Huy Hoàng

8/ y = -x2 +2x ; y = -3x 9/ y =

2

3x2

Bước 2 : Thiết lập công thức diện tích

Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

1/

x

27y

;27

xy

;8

xy

Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường x= a, x = b,

y = 0 và y = f(x) Vật thể tròn xoay tạo nên khi quay (H) quanh trục Ox có thể tích là: V= [ (x)] dx

b a

y = 0, y = sin6 x+cos6x Tính thể tích khối tròn xoay khi ta quay (H) quanh trục Ox

8

x4cos38

5xcos

x

sin6 + 6 = + Đsố :

16

5π22/ Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = -1, x = 2

y = 0, y = x −2x

a) Tính diện tích của (H) Đsố :

3

8 b) Tính thể tích khối tròn xoay khi ta quay (H) quanh

y = 0, y = sin4x+cos4x Tính thể tích khối tròn xoay khi ta quay (H) quanh trục Ox

4

x4cos4

3xcos

5/ Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi ta quay

Chung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các parabol

y = x2– 4x+6 và y = –x2 – 2x +6