On thi TN 12 giải tich

CÁC KHÁI NIÊM VỀ NGUYÊN HÀM: 1.. Ghi nhớ : Nếu Fx là nguyên hàm của f x thì mọi hàm số có dạng Fx +C C là hằng số cũng là nguyên hàm của fx và chỉ những hàm số có dạng Fx +C mới là ngu

Chương III/ NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

 

Phần 1: NGUYÊN HÀM

§1 CÁC KHÁI NIÊM VỀ NGUYÊN HÀM:

1) Định nghĩa :

Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên ( )a b nếu '( ), F x =f x( )," Îx K .

Ghi nhớ : Nếu F(x) là nguyên hàm của f x( ) thì mọi hàm số có dạng F(x) +C (C là hằng số) cũng là nguyên hàm của f(x) và chỉ những hàm số có dạng F(x) +C mới là nguyên hàm của f(x) Ta gọi F(x) +C là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và ký hiệu là òf x dx( )

Như vậy: òf x dx( ) = F(x) +C

2) Tính chất:

a.Tính Chất 1: ∫kf x dx k f x dx( ) = ∫ ( ) ; (k≠0)

b Tính Chất 2: ∫f x( ) ±g x dx( ) =∫ f x dx( ) ±∫g x dx( )

c Tính Chất 3 Nếu∫ f x dx F x( ) = ( ) +Cthì∫ f u du F u( ) = ( ) +C

3) Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ (a, b∈ & ≠¡ a 0):

1

1

x

+

1

ax b

a

+

+

+

α

dx

x C x

+

∫

e dx e= +C

a

∫

sinxdx=−cosx+C

sinaxdx cosax C

a

∫ cosxdx=sinx+C

cosaxdx sinax C

a

∫

dx

dx

2 cot ,

sin

dx

sin

dx

Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011

• Biểu diễn hàm số f(x) dưới dạng f(x) = a.g(x) + b.k(x) + … trong đó ta đã biết nguyên hàm của các hàm số g(x) , k(x) , … là G(x) , K(x)

• Khi đó F(x) = a.G(x) + b.K(x) + …+ C

4) Bài tập:

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

1 f x( ) x5 3x2 5 1

x

-2 f x( ) 14 13 12

3 f x( )= 3x- x x3

f x = x x−

f x = x x−

6 f x( )=( x+1) (x- x+1)

7

f x

x

-= 8

2 3

f x

x

-

-=

9 f x( ) (2x 3)3

x

-=

10 ( ) 21

4

f x

x

=

−

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

1. f x( )=e x(1- e x)

2. f(x) = ( 2 )3 2

5

e + e

2 ( )

x x

e

f x

e

+

=

4.

2

cos

x

f x e

x

ç

= ççè + ø÷÷

5. f(x) = 2x + 3x

6. f(x) = ( 2x + 3x)2

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

1 f(x) = sin7x + 2cos5x

2 f(x) = sinx cosx

3 f(x) = sin3x cos4x

4 f(x) = cos3x cos4x

5 f(x) = sin3x sin4x

6 f(x) = cos2x

7 f(x) = sin2x

8 f x( )=tan2x

9 f x( )=tan2x

10 ( ) 2 1 2

sin cos

f x

=

11 2cos2 2 ( )

sin cos

x

f x

=

12 f x( )=(tanx+3cotx)2

Bài 4

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số sau:

x

= − + , biết F(1) = 1

2 f x( ) sin 2 cos3= x x+3tan2x , biết ( ) 0F π =

( ) sin

cos

x

 =

 ÷

 

F π

2

( )

f x

=

+ + , biết rằng ( )1 1

3

F = (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2003)

§1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM:

I/ Phương pháp đổi biến số

1) Định lý

Nếu ∫ f t dt( ) =F t( )+C và t = u(x) có đạo hàm liên tục thì ∫ f u x ( ) '( )u x dx F u x=  ( ) + C

2) Các dạng thường gặp

1

( )

f x x dxα α −

∫ , đặt t = xα

1

(ln )

f x dx

x

∫ , đặt t = lnx

(cos )sin

∫ , đặt t = cosx

(s )cos

f inx xdx

∫ , đặt t = sinx

2

1 (tan )

cos

x

2

1 (cot )

s

in x

1 (ln )

f x dx

x

∫ , đặt t = lnx

2

1 1

x x

 

 ÷

 

∫ , đặt t = 1

x

3) Bài tập

Bài 1: Tìm

1 ( 2 )5

4

x x + dx

∫

2 ∫x3 3x4+1dx

3 ( )3

3x+2 dx

∫

4 ( )5

2

x x+ dx

∫

5 ∫x3 x+1dx

6 22x dx

x +3

∫

7 2 x 1 dx

x 2x 3

+ + +

∫

8 2 2 3

1

dx x

+ + +

∫

9 x3 dx

x 2+

∫

Bài 2: Tìm

1 ∫e3x 2− dx

2 ∫23 2x− dx

3

3

x x

e dx

e +

∫

4 x dxx

e +e− +2

∫ 5

e e

dx

e e

−

−

− +

∫

6 3x 2.3x

dx

+

∫

7 3lnx 2dx

x

+

∫

8 ∫x ln x ln x 1(dx + )

Bài 3: Tìm

1 cos 2x dx

3

π

 − 

 ÷

 

∫

2 cos (2 )

dx

x+ π

∫

3 ∫sin x cos xdx3

4 ∫cos x sin xdx5

5 ∫tan xdx

6 ∫co t xdx

7 ∫sin xdx3

8 ∫sin x cos xdx3 5

Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011

9 ∫ 3sinx+2 cosxdx

10 cos x sin xdx

sin x cos x

+

−

∫

11 sin x cos x2dx

(sin x cos x)

− +

∫

12 cos 2x 2dx

(sin x cos x)+

∫

13 ∫esin xcos xdx

14 ∫esin x2 sin 2xdx 15

tan x 2

e dx cos x

∫

16 1 cot x2 dx

sin x

+

∫

17 sin(ln x)dx

x

∫

18 dx2

x cos x

∫

19 12tan 1 dx

 

 ÷

 

∫

II/ I/ Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần

1) Định lý

Nếu hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u x v x dx u x v x( ) ( ) ' = ( ) ( ) −∫u x v x dx'( ) ( )

2) Các dạng thường gặp

* ∫P x e dx( ). x , đặt u(x) = P(x) , v’(x) = ex

* ∫P x( ).sinxdx , đặt u(x) = P(x) , v’(x) = sinx

* ∫P x( ).cosxdx , đặt u(x) = P(x) , v’(x) = cosx

* ∫P x( ).lnxdx , đặt u(x) = lnx , v’(x) =P(x)

3) Bài tập

Bài 1: Tìm

1 ∫x e dx −x

2 ∫(x2+2x 1)e dx− x

3 ∫(2x 1)sin xdx+

4 ∫(1 x)cos xdx−

5 ∫ln x dx

6 ∫x ln xdx3

Bài 2: Tìm

1.∫x cos xdx2

2.∫x cos xdx2

3 2 21 cos

x dx x

−

5 ∫ln x dx2

Phần 2: TÍCH PHÂN

I/TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Lý thuyết

1 nh ngh a: Đị ĩ Cho hàm s f(x) liên t c trên [a ; b] và có nguyên hàm là F(x)ố ụ

( ) [ ( )] ( ) ( )

b

b a a

f x dx= F x =F b −F a

∫ ( Công th c NewTon - Leiptnitz)ứ

2 Các tính ch t ấ :

a/ ( ) 0

a

a

f x dx=

∫

b/ ( ) ( )

f x dx= − f x dx

c/ [ ( ) ( )] ( ) ( )

f x ±g x dx= f x dx± g x dx

d/ ( ) ( )

k f x dx k f x dx=

e/ ( ) ( ) ( )

f x dx= f x dx+ f x dx

f/ ( ) ( ) ( )

f x dx= f t dt= f u du=

Bài tập

Bài 1: Tính

1)1 ( )

0

2 1

x x+ dx

∫

2) 23 ( )

1

2 1

x x+ dx

∫

3)

4

1

1 2

 + − 

∫

4)

2 2 3 1

2

dx x

−

∫

5) 2( )2 1

2

x

dx x

−

∫

6) 3( ) ( )

1

3x 2 1 x

dx x

− −

∫ 7) ( ) ( )

1

1

2

2 3 dx

8)

0 2

dx

−∫ − +

Bài 2: Tính

1)

3

3

x 1dx

−

−

2)

4

2

1

−

− +

∫

3)

5

3

( x 2 x 2 ) dx

−

+ − −

4)

2 2 2 1

2

1

x

+ −

∫

5)

3 x 0

2 −4dx

∫

6)

0

1 cos 2x dx

π

+

Bài 3: Tính

Tài liệu ơn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011

1)

ln 2

0

e (1 e ) dx− −

∫

2)1( )3 2

0

2

e − e dx

∫

3)

ln 5 3

0

1

x x

e dx e

+

∫ 4)

x

2 0

e

cos x

π

−

∫

5)1( 2 3 )

0

3 x 2 x

dx

−

−

∫ 6) 2 ( )

2 log 3

0

2 3 4

x

x dx

−

∫

Bài 4: Tính

1)

/2

0

sin cosx xdx

π

∫

2)

/2

/2

sin 2 cos7x x dx

π

π∫

3)

/3

0

sin 2 sin 7x x dx

π

∫

4)

/3

0

cos 2 cos7x x dx

π

∫ 5)

/2 2 0

cos x dx

π

∫ 6)

/2 2 0

sin x dx

π

∫

7)

/2 2 0

cos s n2x i x dx

π

∫

8) /4( )2 /6

tanx 2cotx dx

π π

−

∫

Bài 5: Tính

1) Tìm A, B c a hàm s ủ ố f (x) A sin x B= π + thỏa f (1) 2' = và

2

0

f(x)dx 4=

∫

2) Tìm A sao cho :

2

0

[a + −(4 4a)x 4x ]dx 12+ =

∫

Tính I =

b

' a

f[u(x)].u (x)dx

∫

B ướ c 1 Đặt t =u(x)⇒dt =u'(x)dx

B ướ c 2: Đổi cận : x x==a b⇒ t t ==u u((a b))

B ướ c 3: Tính

=∫ [ ] = (∫)

) (

) ( )

( ' )

a u

b

a

dt t f dx x u x u f

Bài 1: Tính:

1) 1 ( 2 )4

0

2

ị

2) 1 3( 2 )4

0

2

ị

1

4 2

0

2

ị

4)

1

2 3

0

1

ị dx

5)

1

3 2 0

x 1 x dx−

∫

6)

1 2 0

1

ị

7) ∫

− +

2

11 x 1dx

x

8)

1 2 0

2 1

x dx

x +

ị

9)

1 2 0

1

x

dx

+

ị 10)

1 2

0

1

dx x

+ ị

11)

1

0

1

x dx x

+ + ị

0 3 1

-+ ị

Bài 2: Tính:

1)

2

1

0

x

xe dx

ò

2)

1 1

2

0

1.e dx x

x

ò

3)

1

0

x x

ò

4)

ln3

0 x x 2

dx

e +e- + ò

5)

4

1

2x

dx x

ò

6)

e 2

1

1 ln x

dx x

+

∫

7)

e

1

1 ln x

dx x

+

∫

8)

3

ln (ln 1)

e

e

dx

ò

Bài 3: Tính:

1)

/ 3

0

cos 2

3

p

p

ò

2)

6/

2

2/

1 sin 1 dx

p

p

æö÷

ç ÷

ç ÷

çè ø

ò

/ 2

2

0 sin

4

dx

x

p

p

-ò

4)

/ 4

0

tanxdx

p

ò

5)

/ 2

/ 4

cotxdx

p

pò

6)

/ 2 3 0

sin cosx xdx

p

ò

7)

/ 2 3 0

sin xdx

p

ò

8)

/ 2 3 0

sin cosx xdx

p

ò

9)

/ 2

2 0

sin2 sinx x 1dx

p

+ ò

/ 4

2 0

tan 3 tan cos

x

p

-ò

11)

/ 4 cot 2 / 6sin

x

x

p

pò

12)

/ 2

0

sin cos cos sin

p

-+ ò

13) ∫

+

−

2

4 1 sin2

cos sin

π

x

x x

14) 2 sin 0

(e x sin )cosx xdx

p

+ ò

15) ∫

+

2

0 1 cos

cos 2 sin

π

dx x

x x

Lý thuy t ế

1.Công thức:

Cho u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] Khi đó ' '

b a

u v dx uv= − u vdx

2 Cách giải.

B c 1ướ : Đặt dv u==u v('x()x)dx⇒ v du==v(u x')(x)dx

B c 2ướ : Thay vào công th c : ứ b∫ =[ ] −∫

a

b

a

b

a vdu v

u

B c 3ướ : Tính [ ]b

a v

u. và ∫b

a

vdu

3 Bài t p ậ : Tính

Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011

1)

1

0

x

xe dx

ò

2)

/ 2

0

.sin

p

ò

3)

1

.ln

e

ò

4)

1

0

(2x+1).e dx-x

ò

5)

/ 2

2 0

.sin

p

ò

6) 3 1

.ln

e

ò

7)

/ 2 2 0

.cos

p

ò

9)

1

0

ln(x+1)dx

ò

10) 2 1

ln

e

xdx

ò



Phần 3: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN I/ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 I Diện tích hình thang cong:

Cho hình (H) giới hạn bởi

( ) : ( )

,

Ox

x a x b

=







 = =



Trong đó f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì

diện tích (H) bằng S = | ( ) |

b

a

f x dx

2 Diện tích hình phẳng:

Cho hình (H) giới hạn bởi

1 2

( ) : ( ) ( ) : ( ) ,

x a x b

=





 = =



Trong đó f, g là hai hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

thì diện tích hình (H) là ( ) ( )

b

a

S =∫ f x −g x dx

Chú ý nếu đã có đồ thị minh hoạ, khi trong đoạn [a; b], ta có đồ thị hàm fT nằm phía trên đồ

thị hàm fD thì hình (H) giới hạn bởi

1 2

( ) : ( ) ( ) : ( ) ,

T

D

x a x b

=





 = =



có diện tích

b

a

Bài 1 Tính diện tích của hình giới hạn bởi:

3

1

:

1, 2





 = =



2

2

:





 = =



2

3

:





 = =



4

1 ( ) :

1 :

x

C y

x

−





 = =





5

( ) : sin

2 :

0, 4

x

C y









 = =



π

6

( ) : ln :

x e

=







 =



7

3

( ) : 3 :

0, log 4

x

C y





 = =



Bài 2 Tính diện tích của hình giới hạn bởi:

2 1

2

S

y x

 = −

 =



2

2

2 :

2 3

y x

S

 = −

 = −



2

12 36 :

6

S

 = − +





= −



4: 6

Ox

 =

 = −







3

5:

2

y x

x

 =





 =



6

,

x y

Ox Oy

+

 =





Bài 3: Tính diện tích của hình giới hạn bởi:

a) (P): y = x2 và các tiếp tuyến của (P) đi qua 1; 2

2

b) ( ) :C y= x, trục hoành và tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ x = 1

*Bài 4 Cho (H) là hình giới hạn bởi (P): y = x2 và d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và có hệ

số góc k

a) Tính diện tích hình (H) khi k = -1

b) Tính k để diện tích hình (H) lớn nhất

II.THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:

Tài liệu ôn thi TNTHPT * Năm học 2010 - 2011

Cho hình (H) giới hạn bởi

( ) : ( )

,

Ox

x a x b

=







 = =



( f liên tục trên đoạn [a; b]) Quay hình (H) quanh

Ox ta được vật thể tròn xoay có thể tich [ ]2

( )

b

a

V =∫π f x dx

Bài tập

Tính thể tích tròn xoay khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số 2

1

y x= + , trục hoành và đường thẳng x = 0, x = 2

b) Đồ thị hàm số y=tanx, trục hoành và đường thẳng x = 0, x =

4

p

c) Đồ thị hàm số y = 2x – x2 và đường thẳng y = 0

d) Đồ thị hàm số y = lnx - 1và trục Ox, x = e2



Ch ươ ng IV: S PH C Ố Ứ

§1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC

Lý thuyết

1) Số i: i2 - -1

2) S ph c ố ứ : bi u th c z = a + bi (ể ứ a b R, Î ) g i là s ph c Khi đó a g i là ph n th c, b g i làọ ố ứ ọ ầ ự ọ

ph n oầ ả

3) S ph c liên h p ố ứ ợ : s ph c liên h p c a s ph c z = a + bi là ố ứ ợ ủ ố ứ z = a – bi

4) Modul c a s ph c ủ ố ứ z = a + bi là s th c ố ự z = a2+b2 Khi đó z = z

5) Hai s ph c b ng nhau ố ứ ằ : a bi+ = +c di ìïïa b d=c

Û í =ïïî 6) Các phép toán: cho z1 = a1 + b1i , và z2 = a2 + b2i

a/ z1 + z2 = (a1 + a2) + ( b1 + b2) i

b/ z1 – z2 = (a1 – a2) + ( b1 – b2) i

c/ z1 z2 = (a1 + b1i)( a2 + b2i) (th c hi n t ng t nh nhân 2 nh th c)ự ệ ươ ự ư ị ứ

d/ 1 ( ) ( )

2 2 2

a bi c di z

-=

+

Bài t p ậ

Bài 1/ Tính :

1 (5 + 2i )– 3(-7+ 6i)

2 ( 5 2 − i ) + − (9 i )

3 ( 7 3 + i ) − + (8 2 ) i

4 ( 7 3 (6 4 ) + i ) − i

5 ( ) 1

2

i  i

6 (4 – 5i)2

7 (3i + 1)3

8 2 1

i i

-9 3 2

4 3

i i

-+

10 (1 3 ).(8 7 )(7 4 )i− i i

Bài 2: Xác định phần thực phần ảo của các số phức sau.

a) z = (0 - i) –(2 – 3i) + (7 + 8i) b) z = (0 - i)(2+3i)(5+2i)

c) z = (7 – 3i)2 – (2 - i)2 d) (2 ) 2 3

5 12

i

i

+

Bài 3: Cho số phức z = 4 – 3i.Tìm :

3

z z

c)

3

z

Bài 4: Tìm số thực x, y thỏa :

a x ) + = + 2 i 5 yi b x ) ( + + 1 3 ) ( y − 1 ) i = − 5 6 i

c) x+2i = 5+yi d) (x+y) + 3(y - 1)i = 5 – 6i

§2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Lý thuyết

1) Phương trình bậc hai : ax2 + bx + c với a, b, c Î R

2) Cách giải

• Tính D = -b2 4ac

• Biện luận

a) Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực 1,2

2

b x

a

- ± D

=

b) Nếu D = 0 thì phương trình có 1 nghiệm thực x =

2

b a

-c) Nếu D < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức 1,2

2

b i x

a

=

Bài 1: Giải phương trình:

1) x2 – 6x + 10 = 0;

2) x2 + x + 1 = 0

3/ x2 – 2x + 5 = 0

4) 3 x2 2 – 2x 3 + 2 = 0

5) x2 + 3x + 10 = 0 6) x3 – 8 = 0 7) z4-1=0

Bài 2: Trên mặt phẳng phức , hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:

/a z i− ≤1 b z i/ + = +z 2