Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp Môn Toán 2011(Newfull)

CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN * Phần chung dành cho tất cả thí sinh: 7 điểm Câu I 3 điểm: - Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.. - Các bài toán liên quan đến ứng dụ

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

NĂM 2010-2011

****************************

A CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

* Phần chung dành cho tất cả thí sinh: (7 điểm)

Câu I (3 điểm):

- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị,tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)

Câu III (1 điểm):

Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

* Phần riêng (3 điểm):

Thí sinh học chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2):

Theo chương trình Chuẩn:

Câu IV.a (2 điểm):

Phương pháp tọa độ trong không gian:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Mặt cầu

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu V.a (1 điểm):

- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương trình bậc hai

hệ số thực có biệt thức D âm

- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

Theo chương trình nâng cao:

Câu IV.b (2 điểm):

Phương pháp tọa độ trong không gian:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Mặt cầu

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu V.b (1 điểm):

- Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình bậc hai với

hệ số phức; dạng lượng giác của số phức

- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan

- Sự tiếp xúc của hai đường cong

- Hệ phương trình mũ và lôgarit

- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

B.Những điều cần biết khi ôn thi:

Không nên tăng tốc một cách ghê gớm vào những ngày cận thi mà dẫn đến tình trạng “bão hòa”,kéo theo sự sút giảm sức khỏe, hậu quả là thi không đúng khả năng thường có của mình Cách học

hợp lý vào các ngày cận thi là giảm cường độ: chủ yếu là đọc lại, xem và hệ thống lại các nội dung đãđược học, hệ thống và liên kết các mảng kiến thức khác nhau trong chương trình, huy động các kiếnthức đã học một cách nhanh và hợp lý nhất để giải quyết các vấn đề; khơng nên tìm hiểu những điềuphức tạp mà trước đĩ chưa biết, chỉ nên đọc lại những điều đã học, ghi nhớ những cơng thức hayquên hoặc thường cĩ nhầm lẫn Những ngày cận thi khơng nên học quá nhiều, cần tạo một tâm lýthoải mái và tăng cường sức khỏe

Khơng nên học quá khuya mà cần thay đổi thĩi quen: tập thức dậy sớm Nếu thức dậy sớm mộtcách tự nhiên (chứ khơng phải bị gọi dậy) thì sẽ thấy thoải mái, khi vào phịng thi sẽ dễ dàng suy nghĩ

và làm bài thi với chất lượng tốt hơn Trong ngày thi, khơng nên đến muộn vì như thế khơng cĩ đượctâm lý tốt Trước khi vào phịng thi nên tránh việc cười đùa quá mức với bè bạn vì điều ấy sẽ gây bấtlợi cho việc nhanh chĩng tập trung suy nghĩ để thực hiện bài thi

C Cách làm bài thi:

a)Phần chung là mọi học sinh đều phải làm, phần riêng chỉ được chọn 1 trong 2 (nếu làm cả 2 sẽ vi

phạm qui chế và phần này khơng được chấm điểm)

b) Khi làm bài thi chú ý khơng cần theo thứ tự của đề thi mà theo khả năng giải được câu nào trướcthì làm trước Khi nhận được đề thi, cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các câu hỏi quen thuộc và dễthực hiện (ưu tiên giải trước), các câu hỏi khĩ nên giải quyết sau Cĩ thể ta đánh giá một câu hỏi nào

đĩ là dễ và làm vào giấy thi nhưng khi làm mới thấy là khĩ thì nên dứt khốt chuyển qua câu khác,sau đĩ cịn thì giờ hãy quay trở lại giải tiếp Khi gặp đề thi khơng khĩ thì nên làm rất cẩn thận, đừngchủ quan để xảy ra các sai sĩt do cẩu thả; cịn với đề thi cĩ câu khĩ thì đừng nên nản lịng sớm màcần kiên trì suy nghĩ Phải biết tận dụng thời gian trong buổi thi để kiểm tra các sai sĩt (nếu cĩ) và tậptrung suy nghĩ để giải các câu khĩ cịn lại (nếu gặp phải) Khi làm bài thi bằng nhiều cách khác nhau

mà đắn đo khơng biết cách nào đúng sai thì khơng nên gạch bỏ phần nào hết để giám khảo tự tìm chỗđúng để cho điểm

D MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG

PHẦN I: GIẢI TÍCH

Chủ đề 1: Khảo sát hàm sốI/ Khảo sát hàm đa thức

1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức

1 TXĐ

2 Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên:

Tìm y’, giải phương trình y’= 0 và các bất phương trình y’>0, y’<0 ⇒ Khoảng đồng biến, nghịch biến

x Ghi tập xác định và nghiệm của phương trình y/=0

f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trị của hàm số

Các dạng đồ thị hàm bậc 3:

y y y y

0 x 0 x 0 x 0 x

' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 =   >  y a

' 0 0 ≥ ∀   >  y x a ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 y a =   < 

' 0 0 ≤ ∀   <  y x a Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 luơn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Các dạng đồ thị hàm trùng phương: y y y y 0 x 0 x 0 x

0 x

y' 0 có 3 nghiệm phân biệt a 0 =   >  ' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a =   > 

' 0 có 3 nghiệm phân biệt 0 y a =   < 

' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a =   <  II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x 3 – 9x 2 + 12x– 4 Giải: Miền xác định: D= ¡ y′= 6x 2 – 18x+ 12 y′= 0⇔ 6x 2 – 18x+ 12=0⇔ 1 2 x x =   =  y′> 0 ⇔  > <12 x x ; y′< 0 ⇔ < <1 x 2 Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:(−∞;1) và (2; +∞), nghịch biến trong khoảng: (1;2) Hàm số đạt cực đại tại x=1; y CĐ =1, cực tiểu tại x=2; y CT =0 lim x y →+∞ = +∞, lim x y →−∞ = −∞ Bảng biến thiên:

x −∞ 1 2 +∞

y′ + 0 – 0 +

y 1 +∞

−∞ 0

Điểm đặc biệt

2

2

Ví dụ 2:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= x4 – 2x 2 – 1

Giải:

Miền xác định: D= ¡

y′= 4x 3 – 4x cho y′= 0 ⇔4x 3 – 4x=0⇔

011

x x x

Hàm số đạt cực đại tại x=0; y CĐ = -1, cực tiểu tại x= ±2; y CT = -2

d/ y= 3 - 2x 2 – x 4 e/y=

4

2 53

x x

x4 − 2 + k/ y = x 4 +x 2 -2 l/ y=2x 2 − x 4 -1 m/ y=x 4 -1

II/ Khảo sát hàm nhất biến

1/ Sơ đồ khảo sát hàm y ax b

cx d

+

=+ : (c≠0,ad −bc≠0)

Tiệm cận ngang là: y a

c

= vì

c

a y

±∞

→

Tiệm cận đứng là x = −c d vì lim ( ); lim ( )

= +∞ −∞ = −∞ +∞

d) BBT

3.Đồ thị:

bảng giá trị ( mổi nhánh lấy 2 điểm )

Vẽ đồ thị .

Dạng đồ thị hàm b1/b1

y’< 0 x D∀ ∈ y’> 0 x D∀ ∈

2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số y = 2x x+−12

TXĐ: D= R\{ }−1

y′=

( )2

4

1

x+ > 0 ∀ ∈x D

⇒ Hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác định của nó.

Tiệm cận ngang là: y=2 vì xlim→±∞y=2

Tiệm cận đứng là x=−1 vì → − −y=+∞ → − + y=−∞

x

xlim1 ; lim1 Bảng biến thiên

Điểm đặc biệt: cho x=0⇒y=−2 và cho y =0⇒x=1

Đồ thị:

Bài tập đề nghị: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau

x -∞ -1 +∞

y/ + +

y +∞ 2

2 -∞

2 4 6 8 -2

-4 -6 -8

2 4 6 8

-2 -4 -6 -8

x y

f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trị của hàm số

6 4 2

-2

5 x y

−+ c/ y=

1

x x

−

− d/y=

21

x+ e/y =

1

x x

−

+ h/ y =

2 x

Chủ đề 2: Một số bài toỏn liờn quan đến khảo sỏt hàm số

I Bieọn luaọn soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh baống ủoà thũ

Duứng ủoà thũ bieọn luaọn soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh F(x,m)=0

Phửụng phaựp giaỷi:

B1: Biến đổi đưa về phương trỡnh hoành độ giao điểm F(x,m)=0⇔ f(x)=ϕ(m)

B2: Veừ ủoà thũ (C) cuỷa haứm y = f(x) (Thửụứng ủaừ coự trong baứi toaựn khaỷo saựt haứm soỏ )

Soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh laứ soỏ giao ủieồm cuỷa ủoà thũ (C) vaứ ủửụứng thaỳng

y = ( )ϕ m (cựng phương với trục hoành vỡ ( )ϕ m là hằng số) Tuứy theo m dửùa vaứo soỏ giao ủieồm ủeồ keỏt luaọn

soỏ nghieọm

Vớ duù:

Cho haứm soỏ y = x3 – 6x2 + 9x (C)

Duứng ủoà thũ (C), bieọn luaọn theo m soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh x3 – 6x2 + 9x – m = 0

Giaỷi:

Phửụng trỡnh x3 – 6x2 + 9x – m = 0

⇔ x3 – 6x2 + 9x = m

Soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh laứ soỏ giao ủieồm cuỷa ủoà thũ (C) vaứ ủửụứng thaỳng d: y = m

Dửùa vaứo ủoà thũ ta coự:

Neỏu m > 4 phửụng trỡnh coự 1 nghieọm

Neỏu m = 4 phửụng trỡnh coự 2 nghieọm

Neỏu 0 < m <4 phửụng trỡnh coự 3 nghieọm

Neỏu m= 0 phửụng trỡnh coự 2 nghieọm

Neỏu m < 0 phửụng trỡnh coự 1 nghieọm

Baứi taọp ủeà nghũ:

Baứi 1 : Cho hàm số y =x3−3x2 +2 cú đồ thị (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x3 - 3x2 + m + 1 = 0

Baứi 2: Cho haứm soỏ y= x3 - 3x – 2 coự ủoà thũ (C)

a) Khaỷo saựt vaứ veừ ủoà thũ haứm soỏ

b) Duứng ủoà thũ (C), ủũnh m ủeồ phửụng trỡnh x3 - 3x = m coự 3 nghieọm phaõn bieọt

Bài 3: : Cho hàm số y = x4 – 4 x2 + 5 cú đồ thị (C)

a) Khaỷo saựt và vẽ đồ thị haứm soỏ trờn

b) Duứng ủoà thũ (C) cuỷa haứm soỏ vửứa khaỷo saựt bieọn luaọn theo m soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh x4 – 4 x2+ 5 = m

y x= −2x −1 có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phơng trình

x4−2x2− =m 0 (*)

Bài 5: Cho hàm số y 1 4 2

= − cĩ đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Dùng đồ thị (C ), hãy xác định m để phương trình sau cĩ 4 nghiệm phân biệt

x4 − 4x2 − 4m = 0 (*)

Bài 6 Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 2

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b/ Bằng phương pháp đồ thị, tìm m để phương trình sau cĩ đúng 3 nghiệm

0

3 2

3 + x +m=

x

II Dùng phương trình hồnh độ biện luận số giao điểm của hai đồ thị

Bài tốn Cho hai đồ thị ( )C :y= f( )x và ( )L :y= g( )x Tìm tạo độ giao điểm của hai đường

Phương pháp

B1 : Lập phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường

( )x g( ) ( )x 1

B2 : Giải phương trình ( )1 tìm nghiệm x⇒ y Giả sử phương trình ( )1 cĩ các nghiệm là x1,x2, ,x n, ta thế

lần lượt các nghiệm này vào một trong hai hàm sơ trên ta được các giá trị tương ứng là y1,y2, ,y n suy ra tọa

độ các giao điểm

Chú ý : số nghiệm của phương trình ( )1 bằng số giao điểm của hai đồ thị ( )C và ( )L

Ví dụ Biện luận theo m số giao điểm của hai đường sau

1

12

m hoặc m=0 Pt ( )* cĩ 1 nghiệm kép ⇒ ( )C và ( )L cĩ 1 giao điểm.

III Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp

sau

1/ Tại điểm có toạ độ (x 0 ;f(x 0 )) :

B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0)) là: y = f (x ) (x–x0) + f(x0)/ 0

2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x 0 :

B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0), f(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là:y = f (x ) (x–x0) + f(x0)/ 0

3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y 0 :

B1: Tìm f ’(x)

B2:Do tung độ là y0⇔f(x0)=y0 giải phương trình này tìm được x0⇒ f /(x0)

B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = f (x ) (x–x0) + y0/ 0

4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:

B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm

B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

f′(x0)=k (*)

B3: Giải phương trình (*) tìm x0 ⇒f(x0) ⇒ phương trình tiếp tuyến

Chú ý:

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1

y x x k x

)('

)(

)(

Giải hệ tìm k suy ra phương trình tiếp tuyến

C II :

Lập phương trình tiếp tuyến ( )d với đường cong( )C : y= f x( ) đi qua điểm A x y( A; A)cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số

b1 : Giả sử tiếp điểm làM x y( 0; 0) , khi đĩ phương trình tiếp tuyến cĩ dạng:y f x= '( ) (0 x x− 0)+y0 ( )d .

b2: Điểm A x y( A; A) ( )∈ d , ta được: y A = f x'( ) (0 x A−x0)+y0 ⇒x0.Từ đĩ lập được phương trìnhtiếp tuyến ( )d

Ví dụ 1 :

Cho đường cong (C) y = x3 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :

a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2

c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 ⇔f’(x0)=3 ⇔ 3.x02=3 ⇔ x0= ±1

Với x0=1 ⇒ f(x0)=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2

Với x0=-1 ⇒ f(x0)= -1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = 4

c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3 d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2009.e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= 13x + 2009

f/Biết tiếp tuyến đi qua A(1;-2)

2

23

c x

x y

+

+

= Viết pttt với đồ thị (c) a/ Tại điểm cĩ hồnh độ bằng – 1 b/ Tại điểm cĩ tung độ bằng 2

c/ biết hệ số gĩc bằng 4

Bài 3: Cho y= x3−3x2+2, (c) Viết pttt với đồ thị (c)

a/ Tại điểm cĩ hồnh độ là nghiệm của phương trình y''=0

b/ Biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng 5y – 3x + 4 = 0

Bài 4: Cho y= x4 −2x2 +2, (c) Viết pttt với đồ thị (c) tại các giao điểm ( ) (2;2, − 2;2)

+

+

−+

m x

m m x m

y Xác định các giá trị của m để tại giao điểm của đồ thị với trụchồnh, tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x – 10 Viết pttt đĩ

Chủ đề III: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [ a; b]

B1: Tìm các điểm x1, x2, … ,xn trên (a; b), tại đĩ y’=0 hoặc khơng xác định

B2: Tính f(x1), f(x2), …, f(xn), f(a), f(b)

B3: Kết luận GTLN =Max {f(x1), f(x2), , f(xn), f(a), f(b)}và GTNN=Min{f(x1), f(x2), … f(xn), f(a), f(b)}

2/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn (a; b)

Lập bảng biến thiên và kết luận GTLN và GTNN

3/ Chú ý:

- Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(b) và min f(x) = f(a)

- Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(a) và min f(x) = f(b)

- Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và chỉ cĩ một điểm cực trị x0 thuộc (a; b) thì f(x0) chính làGTNN hoặc GTLN

310202

2++

++

=

x x

x x y

⇔

=+

+

++

=

51

20

42210

0'

;123

42210

2 2

2

x

x x

x y

x x

x x

y

+ Giới hạn

3

20lim =

3

20

CĐ

25

2

R

R y= y=

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y x= −5 5x3+2 trên đoạn [−2;3]

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y= x3− +3x 1 trên đoạn [ ]0;3

Bài 3: Cho hàm số y x= 4−4x2+2, cĩ đồ thị (C) Tìm GTNN và GTLN của hàm số đã cho trên đoạn [−1; 4]

Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=(x−6) x2 +1 trên đoạn [ ]0;3

Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

1

38

2 − +

−

=

x x

x y

Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

3sinsin

2sin

+

=

x x

x y

Bài 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 100 x− 2 trên đoạn [ ]6;8

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ y= lnx– x b/ y= e -x cosx trên [ ]0;π c/ f(x) = x – e2x trên đoạn [−1 ; 0]

Bài 9: Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :y =f(x)= lg2 x + lg x 2

Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K.Nếu f ’(x)≥0 (f’(x)≤0), ∀x∈K và f ’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì

hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K

Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ Tìm TXÐ ?

+ Tính đạo hàm : y / = ? Tìm nghiệm của phương trình y / = 0 ( nếu có )

+ Lập bảng BXD y / (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần Nếu y / > 0 thì hàm số tăng, y / < 0 thì hàm số giảm )

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (−∞ −; 1),(4;+∞)

Hàm số đồng biến trong khoảng: (–1;4)

2

x y

Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 2 +∞

y′ – 0 + + 0 –

y

Hàm số đồng biến trong các khoảng: (0;1), (1;2) Hàm số số nghịch biến trong các khoảng: (−∞;0),(2;+∞) Ví dụ 2 : Định m để hàm số: y= x 3 – 3mx 2 + (m+2)x– m đồng biến trên ¡ Giải: Miền xác định: D= ¡ y′= 3x 2 – 6mx+ m+ 2 ′ ∆ = 9m 2 – 3m– 6 Bảng xét dấu: m −∞ 2

3 − 1 +∞

∆′ + 0 – 0 +

Ta phân chia các trường hợp sau:  Nếu 2 1 3 m − ≤ ≤ Ta có: ∆ ≤′ 0 ⇒y′ ≥ ∀ ∈0, x ¡ ⇒ hàm số đồng biến trên ¡  Nếu 2 3 1 m m  < −   >  Ta có: ∆′> 0 phương trình y′=0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 (giả sử x 1 < x 2 ) Bảng biến thiên: x −∞ x 1 x 2 +∞

y′ + 0 – 0 +

y

Hàm số không thỏa tính chất luôn luôn đồng biến trên ¡  Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: 2 1 3 m − ≤ ≤ B/ Bài tập tự giải Bài 1 Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x 3 +3x 2 +1 b) y = f(x) = 2x 2 - x 4 c) y = f(x) = 2 x 3 x + − . d) y = f(x) = x 1 4 x x 2 − + − . e) y = f(x) = x+2sinx trên (- π ; π ).f) y = f(x) = xlnx g) y = f(x) = 3 x 2 ( x − 5 ) h) y= f(x) = x 3 − 3x 2 i) 1 x 3 x x f(x) y 2 − + − = = j) y= f(x) = x 4 − 2x 2

k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2 π ].

2

1 3

b/ Định m đề hàm số y=−x3 +mx2 −3mx−1 luôn luôn nghịch biến trên TXĐ

2

= x m x m

y luôn luôn đồng biến trên (−1;+∞)

Bài 4 Định m đề hàm số

m x

mx y

+

+

= 1 luôn luôn nghịch biến trên TXĐ

Chủ đề V: Cực trị I/Tĩm tắt lý thuyết:

• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x 9 thì f / (x 0 )=0

• Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên (x0 – h; x 0 + h) với h > 0.

+Nếu y / đổi dấu từ dương sang âm qua x 0 hàm số đạt cực đại tại x 0 ,

+Nếu y / đổi dấu từ âm sang dương qua x 0 hàm số đạt cực tiểu tại x 0

Qui t ắc tìm cực trị = dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?

+ Tính : y / = , tìm nghiệm của ptr y / = 0 Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu cĩ)

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

+ Kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

3) Nếu f(x) cĩ đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại x 0 

/ 0 /

0

( ) 0( )

y x đổi dấu qua x

•Dấu hiệu II:

Cho hàm f(x) cĩ đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x 0 ∈ (a;b)

+Nếu

/

0 //

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những trường hợp mà y/ khĩ xét dấu

( )

u x y

y′= 0 ⇔

011

x x x

Các bài toán có tham số

Bài 1 Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

* Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x=1: f ’(1) = 0 ⇔ 4-m = 0 ⇔ m = 4

* Điều kiện đủ: Với m=4 thì f ’(x)= x 2 – 8 x + 7 cho f ’(x)= 0 ⇔ x 2 – 8 x + 7 = 0 ⇔ 1

7

x x

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Chủ đề VI: Phương trình, bất phương trình mũ logaKiến thức cơ bản về lũy thừa :

Suy ra : loga1 0= , logaa=1

2./ Các tính chất và qui tắc biến đổi loga: Cho a>0,a≠1, ,M N >0 ta cĩ

+ aloga M =M + log ( )a aα =α + logaα ( )bβ β loga b

α

= ; (α ≠0, b>0)+ loga(M N ) =loga M+loga N + loga M loga M loga N

1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :

a/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Bài tập đề nghị:

Phương trình mũ:

oDạng 1 Đưa về cùng cơ số : af (x) = ag(x) (a>0, ≠1) ⇔ f(x) = g(x)

Bài 1 : Giải các phương trình sau

Dạng 3 Logarit hóạ: af(x)=bg(x) ( a, b>0, ≠1) ⇔ f(x)=g(x) logab

Bài 3 Giải các phương trình

a) 2x - 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = 5x2 − + 7x 12

d) 2x− 2 =5x2 − + 5x 6 e) 5 8x x x1 500

−

= f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x

Dạng 4 sử dụng tính đơn điệu

Bài 4: giải các phương trình

Nếu chưa cĩ dạng này cơng việc đầu tiên là đặt điều kiện cho các biểu thức dưới dấu loga cĩ nghĩa rồi mới giải

Bài 5: giải các phương trình

a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)

c) log4x + log2x + 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0

e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2

g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)

h) log3(x+ +2) log3(x− =2) log 53

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 6: giải phương trình

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninhc) logx + 17 + log9x7 = 0 d) log2x + 10log2x+ =6 9

e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

g)log 3log2 log 2 4

2

2 x+ x+ x= h) lg 16 l g 64 3x2 + o 2x =

Dạng 3 mũ hóa

Bài 7: giải các phương trình

a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = 2 – x

Bất phương trình mũ: f (x)

93

f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x

Bài 10: Giải các bất phương trình

a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3≤ 3 c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2)

Bất phương trình logarit:

Nếu chưa cĩ dạng này cơng việc đầu tiên là đặt điều kiện cho các biểu thức dưới dấu loga cĩ nghĩa rồi mới giải

Bài 11: Giải các bất phương trình

a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4

Bài 12: Giải các bất phương trình

a) log2 2 + log2x ≤ 0 b) log1/3x > logx3 – 5/2

c) log2( 5 – x) > x + 1 d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2

Chủ đề VII: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I/TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:

18

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

2/Một số dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa và tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả

Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a) f(x) = x3 – 3x +

x

1 b) f(x) = 2 + x 3 c) f(x) = (5x + 3)x 5 d) f(x) = sin4x cosx

Giảia/

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Phương pháp giải:

B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho

B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm ⇒ nguyên hàm cần tìm

Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(

6

π)= 0

Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – 13 cos3x -π6

Bài tập đề nghị:

1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trị của nguyên hàm bằng − 3

1332

2 3

++

−++

x x

x x

3

=

II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN :

1/Các kiến thức cần nắm vững :

Bảng nguyên hàm thường dùng

Định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân

Các phương pháp tính tích phân

2/Một số dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả.

Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:

x− dx

1 2

∫ =(x- 2 )12 ( 2 )12

Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

20

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh1/I=

π

+

∫20(3 cos2 ).x dx 2/J=∫10(e x+2)dx 3/K=∫1 2 +

0(6x 4 )x dx

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:

Phương pháp giải:

b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) ⇒ dx = u (t) dt′

Ví dụ: Tính :

1

2 0

1 x dx−

∫

Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt Vì x ∈[0;1] nên ta chọn t∈[0; ]

2π

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x= 1 ⇒ t =

2π Vậy :

1

2 0

∫ bằng phương pháp đổi biến.

Phương pháp giải:

b1: Đặt t = ϕ(x) ⇒ dt = '( ) dxϕ x

b2: Đổi cận:

x = a ⇒t =ϕ(a) ; x = b ⇒t = ϕ(b)

b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được

Ví dụ : Tính tích phân sau :

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây NinhĐổi cận: x = 0⇒ t = 3 ; x = 1⇒ t = 2 Vậy J =

Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

Phương pháp giải:

B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du phần còn lại là dv tìm v.

B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.

B3: Tích phân

b

a vdu

∫ suy ra kết quả

Chú ý:

a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho

b

a vdu

∫ dễ tính hơn ∫b

a udv nếu khó hơn phải tìm cách

Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên

- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

  (chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )

vậy I=x cosx 2

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây NinhVậy J= lnx 2

Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

x

e x dx

Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:

a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:

Phương pháp giải:

Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a/

2 1

Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

b/Dạng bậc1 trên bậc 2:

Phương pháp giải:

Tách thành tổng các tích phân rồi tính

Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:

Ví dụ: Tính các tích phân : ( )

2 2 1

Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:

Ví dụ: Tính các tích phân :

1 2 0

= −

23

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

5(2ln x-2 - )

2−

Trường hợp mẫu số vô nghiệm:

Ví dụ: Tính các tích phân :I=

0 2 1

5(x 1) 3dx

1 2

6 x dx9

4 2 2

Ví dụ: Tính tích phân I =

1 3 0

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh 1/∫1 3 −

0 1

x xdx 2/

−∫12 2x− dx

x

Dạng 6: Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp

Dạng: sin cosax bxdx, sin sinax bxdx, cos cosax bxdx

Phương pháp giải:

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải

Phương pháp giải: Đặt t = sinx

Dạng: R(cos ).sinx xdx

Phương pháp giải: Đặt t =cosx

Các trường hợp còn lại đặt x = tant

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a/ 4

0sin3 cos x x dx

1(sin 4 s 2 ) 1 cos4( cos2 ) 1

cos cos x x dx (1 sin ).cos x x dx

đặt u = sinx ⇒ du = cosx dx.

x= 0 ⇒ u =0 ; x = π

2 ⇒ u=1 vậy: I=∫1 − 2 = − 3 1 =

0 0

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

0cos sinx xdx

cos sin cos x x x dx (1 sin )sin cos x x x dx

đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx.

π

π

∫

III/ Diện tích hình phẳng:

1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng.

Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)

B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:

Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.

* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: 2

4

y =42

y

− ⇔ y y=24

 = −

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:

Bài tập đề nghị:

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x2 - 2x và trục 0x

2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): y= x+1

x và các đường thẳng có phương

trình x=1, x=2 và y=0

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 và đường thẳng (d): y=5 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x3 –3 x , và y = x

2/ Dạng toán 3: Thể tích của một vật thể tròn xoay

Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòng xung quanh trục ox là:

Giải: Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 ⇒ y2= R2-x2

Thể tích khối cầu là : V= ( 2 2)

π − 

4

3πR (đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x

Giải: Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là :