Với những học sinh trung bình trở nên nếu đợc vận đúng định lí vào một chuỗi những bài tập có mức độ khó dần thì chắc chắn t duy của học sinh xẽ đợc nâng nên.. Cơ sở khoa học: Định lí Py
Trang 1I Đặt vấn đề:
Với nội dung chơng trình hiện hành yêu cầu chứng minh định lí đối với học sinh đợc giảm nhiều Việc tiếp cận định lí đối học sinh đợc thực hiện từ đo ,vẽ, trực quan Song thời gian để vận dụng định lí, rèn kĩ năng có nhiều hơn
Nh-ng khôNh-ng phải học sinh nào cũNh-ng vân dụNh-ng thành thạo và ghi nhớ định lí tốt sau khi tiếp cận định lí Với những học sinh trung bình trở nên nếu đợc vận đúng
định lí vào một chuỗi những bài tập có mức độ khó dần thì chắc chắn t duy của học sinh xẽ đợc nâng nên Học sinh khá giỏi sẽ có nhận thức tổng hợp, logicvề kiến thức toán, rèn đợc t duy sáng tạo Với cách nhìn nhận nh vậy tôi thờng chuẩn bị một số bài tập vận dụng định lí, đối với những định lí quan trọng có tính thực hành thực tiễn nhiều
Bài viết sau đây là một ví dụ về cách dạy và rèn kĩ năng vận dụng định lí đối với học sinh
II Cơ sở khoa học:
Định lí Py-ta-go về liên hệ giữa độ dài các cạnh của một tam giác vuông là một định lí đẹp của Hình học Theo chơng trình cũ học sinh học định lí vào cuối học kì 2 lớp 8 Theo chơng trình mới, định lí này đợc học ngay từ học kì 1 của lớp 7 Nên với câu hỏi " Nếu một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 thì cạnh huyền bằng bao nhiêu?" Với học sinh lớp 8 năm học 2003-2004 là lúng túng vì lớp 8 đó cha học căn bậc hai Nhng nếu đặt câu hỏi đó cho học sinh lớp 7
từ cuối học kì 1 của năm học 2003-2004 thì em đó xẽ trả lời quá dễ Đáp số là
2 Định lí Py-ta-go và căn bậc hai trong sách toán 7 mới giúp học sinh 7, 8 có khả năng tiếp cân với nhiều bài toán tính độ dài, diện tích tam giác, tứ giác
Nét đẹp thứ hai: Định lí Py-ta-go là cầu nối giữa hình học và số học Nếu các số
tự nhiên a,b,c là độ dài tơng ứng của cạnh huyền và hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông thì bộ ba số tự nhiên (a,b,c) là nghiệm của phơng trình x 2 = y2 +
z2 Và đợc gọi là bộ ba số Py-ta-go Phơng trình Py-ta-go có vô số nghiệm Nếu (a,b,c) là bộ ba số Py-ta-go thì (ka, kb, kc) cũng là bộ ba số Py-ta-go, ( k là số tự nhiên)
Sau đây là một số bộ ba số Py-ta-go (a,b,c)
(5, 4, 3); (25, 24, 7); (41, 40, 9); (65, 56, 33); (85, 84, 13); (97, 72, 65)
(13, 12, 5); (29, 21, 20); (53, 45, 28); (65, 63, 16); (85, 77, 36)
(17, 15, 8); (37, 35, 12); (61, 60, 11); (73, 55, 48); (98, 80, 39)
III Phơng pháp dạy:
Phát vấn- giải quyết vấn đề
Đã có tam giác vuông nào?
Độ dài cần tính là cạnh tam giác vuông nào?
Làm xuất hiện tam giác vuông bằng cách nào? vẽ nh thế nào?
áp dụng định lí Py-ta-go vào những tam giác vuông nào ? đợc gì?
Biến đổi nh thế nào để đợc phơng trình ẩn là độ dài cần tìm?
Học sinh tham gia trình bàylời giải
Trang 2Định lí phát biểu với học sinh lớp 7 nh sau:
a, Trong một tam giác vuông, bình phơng cạnh huyền bằng tổng bình phơng hai cạnh góc vuông
b, Nếu bình phơng cạnh lớn nhất của một tam giác không bằng tổng bình phơng các cạnh còn lại thì tam giác đó khôngphải là tam giác vuông
c, Trong một tam giác, nếu bình phơng cạnh lớn nhất bằng tổng bình phơng hai cạnh còn lại thì tam giác đó là vuông và góc vuông đối diện với cạnh lớn nhất Việc chứng minh định lí Năm 1968, trong cuốn sách nói về định lí, Elisha Scott
đã thống kê phân loại 367 cách chứng minh khác nhau về định lí
Đối với học sinh trong chơng trình lớp 7 đã là quen song vì lí do s phạm
mà không giới thiệu cách chứng minh Đối với đối tợng học sinh khá, giỏi thì có thể giới thệu một số cách chứng minh đơn giản
Cách 1: Từ xã xa, ở Hy lạp cũng nh ở Trung quốc, ngời ta đã quen với hình vẽ
đợc gọi là "cối xay gió"dùng để chứng minh định lí
Nội dung nh sau:
∆BFC = ∆BAE nên diện tích cũng bằng nhau
Nhng : SBFC = 1/2 SABFJ,
SBAE= 1/2 SBIHE, => SABFJ = SBIHE
Tơng tự SAKGC = SCIHD
Từ đó ta có định lí phát biểu bằng "ngôn ngữ diện
tích"là diện tích hình vuông BCDE bằng tổng diện
tích hai hình vuông ABFJ và ACGK
Cách 2: Hai hình vuông ABDE và GHIK cùng
có cạnh bằng b + c
Gọi Sa, Sb, Sc lần lợt là diện tích các hình vuông
cạch a, b, c ( a là độ dài cạch huyền, b và c là
độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác
vuông)
Ta có :
SABDE =(b + c)2 = Sb + S c +4.bc/2 (1)
SGHIK = ( b+c)2 = Sa + 4 bc/2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : Sa = Sb + Sc
hay a2 = b2+c2
Trang 3Cách 3: Dựng hình vuông có độ dài cạnh là b
+c;
B thuộc AD, C thuộc AF
Lấy I thuộc EF; K thuộc DE sao cho IF= KE =b
Ta nhận thấy ∆ABC =∆DKB = ∆EIK = ∆FCI
BCIK là hình vuông
=> SBCIK +SABC+SDKB+SEIK+SFCI=SADEF
tơng đơng SBCIK+4.SABC= SADEF
a2 +4.bc/2 = (b+c)2
a2= b2 +c2
Cách 4: Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho
CF = c; Dựng điểm D thuộc nửa mặt phẳng có bờ AE,
chứa điểm B , DE vuông AE, DE = b
Ta nhận thấy ABDE là hình thang vuông có hai đáy
AB = c, DE = b, đờng cao AE = b +c;
∆ABC = ∆ECD; ∆BCD vuông cân tại C có cạnh a
=> SABDE = SBCD +SABC +SECD.
SABDE = SBCD+2.SABC.
hay (b+c)(b+c)/2 = a2/2 + 2.bc/2
a2=b2+c2
Cách 5: Tiếp tục quan sát biểu thức cần chứng
minh theo hớng khác ,
a2 = b2 +c2 = ( b-c)2 +2bc
a2 = ( b-c)2 +4.bc/2
Không mất tính tổng quát, giả sử b > c Dựng
hình chữ nhật ABA'C; Hình vuông BCED ( chứa
A'); trên BA' lấy điểm B' sao cho BB' = c; trên DB'
lấy điểm C' sao cho DC' = c; CA' cắt EC' tại D'
Ta chứng minh đợc những kết quả sau :
∆ABC = ∆A'CB = ∆B'BD = ∆C'DE =∆D'EC
Và A'B'C'D'là hình vuông cạnh b - c
=> SBCED = SA'B'C' D' + SA'BC+ SB'BD+ SC'DE+ SD'EC.
<=> SBCDE = SA'B'C' 'D' + 4SABC.
<=> a2 = (b-c)2 +4.bc/2 <=> a2 +b2+c2
V bài tập rèn kĩ năng vân dụng định lí, phát triển t duy Logic giữa đại số và hình học
Bài 1: Tìm độ dài x, y trên hình 1.
Lời giải:
Trang 4áp dụng định lí Py-Ta-go vào các tam giác vuông
AHC, AHB ta có:
x2 = 162 + AH2; y2 = 92 +AH2.
Do đó x2 - y2 = (162 + AH2)- ( 92 + AH2) = 175 (1)
áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuôngBAC:
x2+y2 = (9 +16)2 = 625 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: x2 = 400; y2 = 225
(H1)
Bài 2: Một tam giác có độ dài cạnh bằng 3 và 8, góc xen giữa bằng 600
Tính độ dài cạnh còn lại
Lời giải: ( hình 2)
Xét tam giác ABC có Â = 60 0 ; AB = 8, AC = 3
Kẻ đờng cao AH Tam giác vuông AHB có Â =
600 nên AH = AB: 2 = 8: 2 = 4
Do AC = 3 nên C nằm giữa A và H và
CH = AH - AC = 4- 3 = 1
áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông
CHB, AHB ta có :
BC2 = BH2+ CH2 = (AB2-AH2) + CH2 = 82 - 42
+12 =49 Vậy BC = 7
(H2) (Có thể kẻ đờng vuông góc từ C xuống AB.)
Bài 3:
Tính chu vi của đờng gấp khúc ABCDEA
trên hình 3
Lời giải:
Kéo dài AB và DE sao cho cắt nhau tại I
áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác
vuông AIE, ta tính đợc AE = 5, do đó chu vi
đờng gấp khúc ABCDEA bằng 12
(H3)
Bài 4:
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 dm Tính
diện tích tam giác ABC
Lời giải:
Kẻ đờng cao AH
áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AHC
ta có AH2 = AC2 -HC2 = 12 -0,52 = 0,75
Suy ra AH = 0 75 ≈0.866.
SABC= (AH.BC):2≈ 0.433(dm2)
Trang 5Bài 5:
Tính diện tích một tam giác có 3
cạmh bằng 10 , 20 ; 50
Lời giải : Nhận thấy 10= 32 +12
20 = 22+42
50 = (3+2)2+(1+4)2
vẽ thêm các điểm D,H,E nh trên
hình5
ta tính đợc
SABD = 1,5; SBHC = 4; SBDEH = 2; SAEC
=12,5
Do đó SABC = 12,5 -1,5 - 4 -2 =
5(đvdt)
(H5)
( Có thể hạ đờng vuông góc từ C xuống AB hoặc từ A xuống BC )
Bài 6:
Cho tam giác ABC có AB = 3 cm,
AC = 5 cm Trung tuyến AM = 2 cm
Tính diện tích tam giác ABC
Lời giải :
Gọi K là trung điểm của AC Ta chứng minh
đợc tam giác AMK thoả mãn định lí
Py-ta-go đảo nên góc AMK = 900
Ta tính đợc SAMK = 1,5 cm2
Từ đó SABC = 6 cm2
Bài 7:
Tính diện tích tam giác ABC biết độ
dài 3 trung tuyến lần lợt là : 15cm
36cm, 39cm
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có
đờng trung tuyến AD = 36 cm Lấy
K là trung điểm của GC Tam giác
DGK thoả mãn định lí Py-ta-go đảo
nên góc GDK bẳng 900
Ta tính đợc SDGK = 30cm2
Từ đó SABC =360cm2
Bài 8:
Tứ giác ABCD có AB = BC = 4, AD = DC = DB
= 8 Các đờng chéo AC và BD cắt nhau ở I Tính
độ dài IB, ID
Hớng dẫn :
Đặt ID = x ta có IB = 8-x
Ta có: BD là đờng trung trực của đoạn AC
Trang 6giác vuông AIB và AID.
ta đợc 82 -x2 = 42 -(8-x)2
Từ đó x = 7 Vậy ID = 7, IB = 1
Bài 9:
Hình thang ABCD có AB//CD, AC⊥BD, AC=
20, BD = 15 Tính độ dài đờng trung bình hình
thang
Hớng dẫn :
Qua B kẻ BE//AC cắt DC kéo dài ở E
Ta có DBE vuông , BD = 15, BE = 20
áp dụng định lí Py-ta-go tính đợc
DE = 25
Bài 10:
Tứ giác ABCD có I là giao điểm của
hai đờng chéo Tính AD biết rằng
AB = 6, IA = 8, IB = 4, ID = 6
Hớng dẫn:
Kẻ AH ⊥IB Đặt BH = x, AH = y
Ta tính đợc:
x = 3/2, y2 =135/4
Độ dài AD= 166
Bài11:
Tam giác ABC có AC - AB = 7 cm, đờng
cao AH ( H nằm giữa B và C) Tính độ dài
AB, AC biết HC = 15cm, HB = 6cm
Lời giải: Đặt AB = y, AC = x
áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác
vuông AHB, AHC ta đợc:
AH2 = x2 - 152, AH2 = y2 - 62
=> x2 - y2 = 152 - 62(1)
Theo bài ra ta có : x - y = 7 (2)
Từ (1) và (2) ta tính đợc x = 17, y = 10
Bài 12:
Cho tam giác ABC có Â= 600, AB = 6 cm, AC = 8cm
Tính độ dài BC, diện tích tam giác ABC?
Lời giải:
Kẻ đờng cao BH, ta có : AH = AB/2= 3 cm
Xét tam giác vuông ABH ta có :
BH2 = AB2 - AH2 = 62 - 32 = 27
Xét tam giác vuông BHC ta có :
Trang 7BC = BH + HC = 27 + 5 = 52.
=> BC = 52cm
Diện tích tam giác ABC: SABC= (27.8):2 = 108 cm2
Bài 13:
Tam giác ABC có Â = 1200, BC = a, AC = b,
AB = c
Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 + bc
lời giải:
Kẻ BH ⊥AC, xét ∆BHA vuông:
BH2 = c2 -(c/2)2 = 3c2/4
Xét tam giác vuông BHC:
BC2 = CH2 + BH2 = ( b + c/2)2 + 3c2/4= b2 + bc
+ c2
hay a2 = b2 + bc + c2
Bài 14:
Tam giác ABC cân tại A, có AB = AC = 9 cm, BC = 12 cm, đờng cao BH
Tính độ dài CH và AH?
Lời giải:
Đặt CH = x, AH = y
Ta có: x2 - y2 = ( BC2 - BH2)- ( AB2 - BH2) = BC2 - AB2 = 122 - 92 = 63
Trờng hợp H nằm ngoài cạnh AC (H14b) không xảy ra, vì khi đó x- y = 9, suy ra x + y = =7, vô lí
Vậy điểm H nằm trên cạnh AC ( H14a) Ta có x + y = 9 do dó x - y = 7
Suy ra x = 8, y = 1 hay CH = 8 cm, AH =1cm
Bài 15:
Cho tam giác ABC cân tạu A, đờng cao BK, AB = 9 cm và AK = 7 cm
Tính độ dài BC
Lời giải:
Trang 8Ta có AC = AB = 9 cm, suy ra KC = AC - AK = 2
cm
∆AKB vuông tại K nên theo định lí Py-ta-go ta
có :
BK2 = AB2 - AK2 = 32 cm
∆AKC vuông tại K theo định lí Py-ta-go ta có :
BC2 = BK2 + KC2 = 36 hay BC = 6 cm
Nhận xét : Rất nhiều học sinh khi giải bài toán này thờng vẽ hình, bắt tay vào giải và vui mừng với " kết quả đẹp"mình tìm ra đợc mà quên mất một việc quan trong là phải xem lại bài toán có phụ thuộc vào hình vẽ hay không Điều này dẫn đến việc xét thiếu trờng hợp nhiều bài toán, kể cả với những bài dễ
Trong bài toán trên, độ dài BC phụ thuộc vào độ dài của BK và KC, trong đó độ dài KC phụ thuộc vào độ dài của AK và AC
Tuy nhiên KC = AC - AK hay KC = AC + KA còn phụ thuộc vào K nằm trong hay nằm ngoài AC hay góc BAC nhọn hay tù( trờng hợp vuông A trùng với K không xảy ravì AK khác 0) Điều này rất quen rhuộc nhng nhỉều bạn vẫn bỏ qua
Nh vậy lời giả trên còn thiếu trờng hợp góc BAC tù , khi đó tơng tự trờng hợp trên ta tính đợc BC = 288cm
BàI 16:
Cho đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạmh AB tại D tính số đo góc C biết rằng AC.BC = 2AD DB
T duy: Bài toán tính ssô đo góc mà gt không cho
góc thì góc tính đợc xẽ đặc biết Nhiều khả năng
sủ dụng py-ta-go đảo
Giải:
Gọi E,F là các tiếp điểm của (O) tren cạnh CB,
CA
Ta có: AD = à, BD = BE, CE = CF
Dặt AD = AF = x, BD = BE = y
Theo gt ab = 2 xy (1)
ta có :
AB + AC - BC = (x +y) =( x + CF)-( CE + y) =
2x
nên 2x = b+c - a
Tơng tự: 2y = a +c -b
suy ra: 2x.2y = [c- (a-b)][c + ( a-b)]= c2- ( a-b)2
= c2 - a2 + 2ab - b2 (2)
Từ(1) và (2) suy ra 2ab = c2 - a2 +2ab - b2
hay a2 + b2 = c2
Theo định lý Py-t a-go đảo góc C = 90o
VI Bài tập tơng tự:
Bài 1:
Một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2 cạnh huyền cuả tam giác có giá trị sát nhất với số nào trong các số sau:
Trang 92,6; 2,7; 2,8; 3.
Bài 2:
Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 5 và 7, góc xen giữa bằng 600
Tính độ dài cạnh thứ ba
Bài 3:
Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 5 và 6, góc xen giữa bằng 1200 Tính độ dài cạnh thứ ba
Bài 4:
Tính các cạnh của một hình chữ nhật, bíêt rằng đờng vuông góc kẻ từ một
đỉnh đến một đờng chéo chia đờng chéo đó thành hai đọan độ dài là 9 và 16
Bài 5:
Cho hình vuông ABCD có đờng chéo bằng 2a Gọi d là đờng thẳng bất kì
đi qua giao điểm của hai đờng chéo Tính tổng các bình phơng của các khoảng cách từ A, B, C, D đến đờng thẳng d
Bài 6:
Tam giác ABC có góc B =600, AB = 8 cm, AC = 13 cm
Tính độ dài BC
Bài 7:
Hình thang ABCD có AB//CD, AB = 16 cm, CD = 44cm, AD = 17 cm,
BC = 25 cm
a, Chứng minh rằng C và D là các góc nhọn
b, Tính diện tích hình thang
vIII kết quả thực tiễn:
5 bài toán đầu với học sinh khối 7 đợc thực hiện trong 2 tiết có sự hớng dẫn của thầy, các em học tập tích cực ở mỗi học sinh cũng thu đợc kết quả nhất
định
Với học sinh trung bình bớc đầu vận dụng đợc định lí vào bài tập đòi hỏi t duy logíc và khả năng phân tích không nhiều và ứng dụng thực tế của định lí Với học sinh khá ngoài kĩ năng vân dụng phân tích có đợc sau bài học các em thấy
đợc mối liên hệ giữa đại số và hình học
Những bài toán còn lại cũng vữa sứcđối với học sinh giỏi khối 7
Học sinh đại trà khối 8 có sự hớng dẫn của thầy trong 4 tiết khả năng tiếp thu của các em cũng nhẹ nhàng Tạo cơ hội cho các em tái hiện kiến thức cũ đồng thời thấy đợc khả năng thực tiễn lớn của định lí Py-ta-go và sự logic trong toán học Đặc biệt t duy đại số, đại số hoá hình học của học sinh cũng đợc khắc sâu Các em tự tin hơn trớc bài toán tính độ dài, diện tích
IX Thay cho lời kết
Nhiệm vụ nâng cao chất lợng đại trà, bồi dỡng ơm mẫm học sinh giỏi không dễ chút nào Nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố Trong đó việc thiết kế bài giảng để học sinh tiếp cận kiến thức mới, củng cố kiến thức đại trà với nội dung vừa sức lại logic đòi hỏi ngời thầy phải tìm tòi, làm việc nghiêm túc
Trên đây là những suy nghĩ và cách làm của cá nhân tôi, chắc không tránh
Trang 10VÜnh B¶o, ngµy 20 th¸ng 01 n¨m 2009.
Ngêi viÕt bµi Ph¹m Trung Lùc
